Bài Tập đạo Hàm Riêng, đạo Hàm Theo Hướng Có đáp án - 123doc

• Đạo hàm riêng theo biến y, tương tự xem x là tham số... Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong trên tại 2, −1.. Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong đ

Đạo hàm riêng 1

Mục lục

1 Đạo hàm riêng 1

2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến 5

3 Gradient và đạo hàm theo hướng 6

1 Đạo hàm riêng

• Đạo hàm riêng theo biến x, xem y là tham số, cho y = y0, thay vào f (x, y)

thu được g(x), tính g0

• Đạo hàm riêng theo biến y, tương tự xem x là tham số

• Thực hiện tương tự với hàm n ≥ 3 biến

• Định lí cơ bản của phép tính tích phân:

– Cho F (x) =

ψ(x)

Z

ϕ(x)

f (t)dt, với f (t) là hàm số liên tục

– Khi đó:

F0(x) = d

dx

ψ(x)

Z

ϕ(x)

f (t)dt = ψ0(x)f (ψ(x)) − ϕ0(x)f (ϕ(x))

1 Tính ∂f

∂x và

∂f

∂y của các hàm số được cho sau:

(a) f (x, y) = 2x2− 3y − 4

(b) f (x, y) = x2 − xy + y2

(c) f (x, y) = (x2− 1)(y + 2)

(d) f (x, y) = 5xy − 7x2− y2+ 3x − 6y + 2

(e) f (x, y) = (xy − 1)2

(f) f (x, y) = (2x − 3y)3

(g) f (x, y) =px2+ y2

(h) f (x, y) =x3+ y

2

23

(i) f (x, y) = 1

x + y

2 Đạo hàm riêng

(j) f (x, y) = x

x2+ y2

(k) f (x, y) = x + y

xy − 1

(l) f (x, y) = arctany

x

(m) f (x, y) = ex+y+1

(n) f (x, y) = e−xsin(x + y)

(o) f (x, y) = ln(x + y)

(p) f (x, y) = eeyln y

(q) f (x, y) = sin2(x − 3y)

(r) f (x, y) = cos2(3x − y2)

(s) f (x, y) = xy

(t) f (x, y) = logyx

(u) f (x, y) =

y

Z

x

g(t)dt, với g(t) là hàm số liên tục

(v) f (x, y) =

∞

X

n=0

(xy)n, |xy| < 1

Đáp án:

(a) ∂f

∂x = 4x;

∂f

∂y = −3

(b) ∂f

∂x = 2x − y;

∂f

∂y = 2y − x

(c) ∂f

∂x = 2x(y + 2);

∂f

∂y = x

2− 1

(d) ∂f

∂x = 5y − 14x + 3;

∂f

∂y = 5x − 2y − 6

(e) ∂f

∂x = 2y(xy − 1);

∂f

∂y = 2x(xy − 1)

(f) ∂f

∂x = 6(2x − 3y)

2; ∂f

∂y = −9(2x − 3y)

2

(g) ∂f

∂x =

x

p

x2+ y2; ∂f

∂y =

y

p

x2+ y2

(h) ∂f

∂x = 2x

2x3+ y

2

−1/3

; ∂f

∂y =

1

3



x3+y

2

−1/3

(i) ∂f

∂x =

∂f

∂y = −

1

(x + y)2;

(j) ∂f

∂x =

y2− x2

(x2+ y2)2; ∂f

∂y = −

2xy

(x2+ y2)2

Đạo hàm riêng 3

(k) ∂f

∂x = −

1 + y2

(xy − 1)2; ∂f

∂y = −

1 + x2

(xy − 1)2

(l) ∂f

∂x = −

y

x2+ y2; ∂f

∂y =

x

x2+ y2

(m) ∂f

∂x =

∂f

∂y = e

x+y+1

(n) ∂f

∂x = −e

−xsin(x + y) + e−xcos(x + y); ∂f

∂y = e

−xcos(x + y)

(o) ∂f

∂x =

∂f

∂y =

1

x + y

(p) ∂f

∂x = 0;

∂f

∂y = e

ey+1ln y + e

ey

y

(q) ∂f

∂x = sin 2(x − 3y);

∂f

∂y = −3 sin 2(x − 3y)

(r) ∂f

∂x = −3 sin 2(3x − y

2); ∂f

∂y = 2y sin 2(3x − y

2)

(s) ∂f

∂x = yx

y−1; ∂f

∂y = x

yln x

(t) ∂f

∂x =

1

x ln y;

∂f

∂y = −

1

y ln x log2xy

(u) ∂f

∂x = −g(x);

∂f

∂y = g(y)

(v) ∂f

∂x =

∞

X

1

nxn−1yn; ∂f

∂y =

∞

X

1

nyn−1xn

2 Tính fx0, fy0, fz0 của các hàm số sau:

(a) f (x, y, z) = 1 + xy2− 2z2

(b) f (x, y, z) = xy + yz + xz

(c) f (x, y, z) = x −py2+ z2

(d) f (x, y, z) = (x2+ y2+ z2)−1/2

(e) f (x, y, z) = arcsin(xyz)

(f) f (x, y, z) = ln(x + 2y + 3z)

(g) f (x, y, z) = yz ln(xy)

(h) f (x, y, z) = e−(x2+y 2 +z 2 )

(i) f (x, y, z) = e−xyz

Đáp án:

(a) fx0 = y2; fy0 = 2xy; fz0 = −4z

(b) fx0 = y + z; fy0 = x + z; fz0 = x + y

4 Đạo hàm riêng

(c) fx0 = 1; fy0 = −p y

y2+ z2; fz0 = −p z

y2+ z2

(d) fx0 = −p x

(x2+ y2+ z2)3; fy0 = −p y

(x2+ y2+ z2)3; fz0 = −p z

(x2+ y2+ z2)3

(e) fx0 = p yz

1 − (xyz)2; fy0 = p xz

1 − (xyz)2; fz0 = p xy

1 − (xyz)2

(f) fx0 = 1

z + 2y + 3z; f

0

y = 2

z + 2y + 3z; f

0

z = 3

z + 2y + 3z

(g) fx0 = yz

x; f

0

y = z(ln(xy) + 1); fz0 = y ln(xy)

(h) fx0 = −2xe−(x2+y 2 +z 2 ); fy0 = −2ye−(x2+y 2 +z 2 ); fz0 = −2ze−(x2+y 2 +z 2 )

(i) fx0 = −yze−xyz; fy0 = −xze−xyz; fz0 = −xye−xyz

3 Tính đạo hàm riêng của hàm số với biến tương ứng của hàm số đó:

(a) f (t, α) = cos(2πt − α)

(b) g(u, v) = v2e2uv

(c) h(ρ, φ, θ) = ρ sin φ cos θ

(d) g(r, θ, z) = r(1 − cos θ) − z

(e) W (P, V, δ, v, g) = P V + V δv

2

2g

(f) A(c, h, k, m, q) = km

q + cm +

hq

2

Đáp án:

(a) ft0 = −2π sin(2πt − α); fα0 = sin(2πt − α)

(b) gu0 = 2ve2u/v; gv0 = 2ve2u/v− 2ue2u/v

(c) h0ρ= sin φ cos θ; h0φ= ρ cos φ cos θ; h0θ = −ρ sin φ sin θ

(d) gr0 = 1 − cos θ; gθ0 = r sin θ; ; gz0 = 1

(e) WP0 = V ; WV0 = P + δv

2

2g ; W

0

δ= V v

2

2g

Wv0 = V δv

g ; W

0

g = −V δv

2

2g2 ;

(f) A0c= m; A0h = q

2; A

0

k = m

q; A

0

m = k

q + c; A

0

q = −km

q2 +h

2

Đạo hàm riêng 5

2 Ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến

• Vector ~n = (f0

x, fy0, −1) = (a, b, −1) là vector pháp tuyến của tiếp diện tại

P (x0, y0, z0 = f (x0, y0))

• Phương trình tiếp diện

a(x − x0) + b(y − y0) − (z − z0) = 0

• Phương trình đường thẳng pháp tuyến của (S) tại P

x − x0

a =

y − y0

b =

z − z0

−1

hay











x = x0+ at

y = y0+ bt

z = z0+ (−1)t

1 Mặt phẳng x = 1 cắt paraboloid z = x2 + y2 theo giao tuyến là một parabola Hãy tìm

độ dốc của tiếp tuyến của parabola đó tại điểm M (1, 2, 5)

2 Cho hàm số z = f (x, y) = 2x + 3y − 4 Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của

mặt cong trên tại (2, −1)

3 Cho hàm số z = f (x, y) = x2+ y3 Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt

cong đó tại (−1, 1)

Đáp án:

1 Tiếp tuyến của parabola thuộc mặt phẳng x = 1 do đó độ dốc của tiếp tuyến tại (1, 2, 5)

là:

zx0(1, 2, 5) = (x2+ y2)0x

(x,y,z)=(1,2,5) = 2x

x=1 = 2.1 = 2

2 zx0 = 2, zy0 = 3 ⇒ pháp véctơ (2, 3, −1)

Phương trình tiếp diện tại (2, −1, f (2, −1)) = (2, −1, −3)

2(x − 2) + 3(y + 1) − (x + 3) = 0

hay

2x + 3y − z − 4 = 0

Pháp tuyến của mp tại điểm trên: x − 2

2 =

y + 1

3 =

z + 3

−1 .

6 Gradient và đạo hàm theo hướng

3 zx0 = 2x, zy0 = 3y2 ⇒ zx0(−1, 1) = −2, zy0(−1, 1) = 3

Phương trình tiếp diện: 2x − 3y + z + 3 = 0

Phương trình pháp tuyến: x + 1

−2 =

y − 1

3 =

z − 2

−1

3 Gradient và đạo hàm theo hướng

• Gradient của hàm số f (x, y) tại điểm P (x, y) là vector:

∇f (P ) = ∇f (x, y) = gradf (x, y) = fx0(x, y).~i + fy0(x, y).~j = (fx0, fy0)

• Với ~u(u1, u2) là vector đơn vị (tức

q

u2

1+ u2

2 = 1), ta có đạo hàm theo hướng

của ~u:

D~ uf (x0, y0) = fx0(x0, y0).u1+ fy0(x0, y0).u2 = ~u.∇f (x0, y0)

• Hàm số f (x, y) tăng (giảm) nhanh nhất theo hướng của vector ∇f (x0, y0)

(−∇f (x0, y0))

• Bất kì vector nào vuông góc với ∇f (x0, y0) 6= 0 thì đạo hàm theo hướng của

vector đó đều bằng 0

1 Tìm Gradient của hàm số tại điểm được cho:

(a) f (x, y) = y − x (2, 1)

(b) f (x, y) = ln(x2+ y2) (1, 1)

(c) f (x, y) = xy2 (2, −1)

(d) f (x, y) = x

2

2 − y

2

2 (

√

2, −1)

(e) f (x, y) =p2x + 3y (−1, 2)

(f) f (x, y) = arctan

√

x

y (4, −2)

(g) f (x, y, z) = x2+ y2− 2z2+ z ln x (1, 1, 1)

(h) f (x, y, z) = 2z3− 3(x2+ y2)z + arctan(xz) (1, 1, 1)

(i) f (x, y, z) = (x2+ y2+ z2)−1/2+ ln(xyz) (−1, 2, −2)

(j) f (x, y, z) = ex+ycos z + (y + 1) arcsin x (0, 0,π

6)

Đáp án:

Gradient và đạo hàm theo hướng 7

(a) ∇f (x, y) = −−→i +−→

j

⇒ ∇f (2, 1) = −−→i +−→

j = (−1, 1)

(b) ∇f (x, y) = 2x

x2+ y2

−

→

i + 2y

x2+ y2

−

→

j

⇒ ∇f (1, 1) =−→i +−→

j = (1, 1)

(c) ∇f (x, y) = y2, 2xy

⇒ ∇f (2, −1) = (1, −4)

(d) ∇f (x, y) = (x, −y) ⇒ ∇f√2, −1=√

2, 1

(e) ∇f (x, y) =



1

√

2x + 3y,

3

2√

2x + 3y



⇒ ∇f (−1, 2) = 1

2,

3

4



(f ) ∇f (x, y) =



y

2√

x (x + y2),

−√x

x + y2



⇒ ∇f (4, −2) = −1

8

 1

2, 2



(g) ∇f (x, y, z) =2x + z

x, 2y, −4z + ln x



⇒ ∇f (1, 1, 1) = (3, 2, −4)

(h) ∇f (x, y, z) =



−6xz + z

1 + (xz)2, −6yz, 6z

2− 3 x2+ y2
+ x

1 + (xz)2



⇒ ∇f (1, 1, 1) =



−11

2 , −6,

1

2



(i) ∇f (x, y, z) = −x

(x2+ y2 + z2)3/2 +

1

x,

−y

(x2+ y2+ z2)3/2 +

1

y,

−z

(x2+ y2+ z2)3/2 +

1

z

!

⇒ ∇f (−1, 2, −2) = −26

27 ,

23

54,

−23

54



(j) ∇f (x, y, z) =



ex+ycos z + √y + 1

1 − x2, ex+ycos z + arcsin x, −ex+ysin z



⇒ ∇f0, 0,π

6



=

√

3

2 + 1,

√

3

2 , −

1

2

!

2 Tìm đạo hàm của hàm số tại P0 theo hướng được cho:

(a) f (x, y) = 2xy − 3y2, P0(5, 5), ~u = 4~i + 3~j

(b) f (x, y) = 2x2+ y2, P0(−1, 1), ~u = 3~i − 4~j

(c) f (x, y) = x − y

xy + 2, P0(1, −1), ~u = 12~i + 5~j

(d) f (x, y) = arctany

x +

√

3 arcsinxy

2 , P0(1, 1), ~u = 3~i − 2~j

(e) f (x, y, z) = xy + z + zx, P0(1, −1, 2), ~u = 3~i + 6~j − 2~k

(f) f (x, y, z) = x2+ 2y2− 2z2, P0(1, 1, 1), ~u = ~i + ~j + ~k

8 Gradient và đạo hàm theo hướng

(g) f (x, y, z) = 3excos(yz), P0(0, 0, 0), ~u = 2~i + ~j − 2~k

(h) f (x, y, z) = cos(xy) + eyz+ ln(xz), P0(1, 0,1

2), ~u = ~i + 2~j + 2~k

Đáp án:

(a) • Chuẩn hóa ~u thành vector đơn vị

~v = ~u

|~u| =

(4, 3)

5 =

 4

5,

3

5



• Tính Gradient của f tại điểm P0

∇f (P0) = (2y, 2x − 6y)

(5,5)

= (10, −20)

• Tính đạo hàm theo công thức:

D~f (5, 5) = ~v ∇f (5, 5) = 4

5,

3

5



(10, −20) = 8 − 12 = −4

(b)

−

→v = −→u

|−→u | =

 3

5, −

4

5



∇f (P0) = (4x, 2y)|(−1,1) = (−4, 2)

D− →vf (P0) =  3

5, −

4

5



(−4, 2) = −4

(c)

−

→v = −→u

|−→u | =

 12

13,

5

13



∇f (P0) =



2 + y2

(xy + 2)2,

−2 − x2

(xy + 2)2



(1,−1)

= 1

3, −

1

3



D− →vf (P0) =  12

13,

5

13

  1

3, −

1

3



= 7

39

(d)

−

→v = −→u

|−→u | =



3

√

13, −

2

√

13



∇f (P0) =





−y

x2+ y2 +

√

3y

q

4 − (xy)2

, x

x2+ y2 +

√

3x

q

4 − (xy)2





(1,1)

= 3

2,

5

2



D− →vf (P0) = 1

2√

13(3, −2) (3, 5) = −

1

2√

13

(e)

−

→v = −→u

|−→u | =

1

7(3, 6, −2)

∇f (P0) = (1, 3, 0)

D− →vf (P0) = 3

Gradient và đạo hàm theo hướng 9

(f)

−

→v = −→u

|−→u | =

1

√

3(1, 1, 1)

∇f (P0) = (2, 4, −4)

D− →vf (P0) = √1

3(1, 1, 1) (2, 4, −4) =

2

√

3

(g)

−

→v = −→u

|−→u | =

1

3(2, 1, −2)

∇f (P0) = (3excos (yz) , −3zexsin (yz) , −3yexsin (yz))|(0,0,0) = (3, 0, 0)

D− →vf (P0) = 1

3(2, 1, −2) (3, 0, 0) = 2

(h)

−

→v = −→u

|−→u | =

1

3(1, 2, 2)

∇f (P0) =



−y sin (xy) + 1

x, −x sin (xy) + ze

yz, yeyz+ 1

z



(1,0,12)

=



1,1

2, 2



D− →vf (P0) = 1

3(1, 2, 2) (1, 1/2, 2) = 2

3 Tìm hướng mà theo đó hàm số tăng nhanh nhất tại điểm P0, tính giá trị đạo hàm theo

hướng vừa tìm được

(a) f (x, y) = x2 + xy + y2 P0(−1, 1)

(b) f (x, y) = x2y + exysin y P0(1, 0)

(c) f (x, y, z) = x

y − yz P0(4, 1, 1)

(d) f (x, y, z) = xey + z2 P0(1, ln 2,1

2)

(e) f (x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz) P0(1, 1, 1)

(f) f (x, y, z) = ln(x2+ y2− 1 + y + 6z) P0(1, 1, 0)

Đáp án:

(a) Hàm số tăng nhanh nhất theo hướng ∇f (P0), khi đó vector đơn vị ~u = ∇f (P0)

|∇f (P0)|

Và giá trị đạo hàm theo hướng :

D~uf (P0) = ∇f (P0).~u = ∇f (P0) ∇f (P0)

|∇f (P0)| =

|∇f (P0)|2

|∇f (P0)| = |∇f (P0)|

Áp dụng:

∇f (−1, 1) = (−1, 1) ⇒ ~u



−√1

2,

1

√

2



D~uf (−1, 1) =p(−1)2+ 12 =√

2

10 Gradient và đạo hàm theo hướng

(b) ∇f (x, y) = 2xy + yexysin y, x2+ xexysin y + exycos y

⇒ ∇f (P0) = (0, 2)

⇒ D~ uf (P0) =

√

22 = 2

(c) ∇f (P0) = (1, −5, −1)

⇒ D~uf (P0) =

q

12+ (−5)2+ (−1)2 = 3√

3

(d) ∇f (P0) = (2, 2, 1)

⇒ D~uf (P0) = 3

(e) ∇f (P0) = (2, 2, 2)

⇒ D~uf (P0) = 2√

3

(f) ∇f (x, y, z) =



2x

x2+ y2− 1 + y + 6z,

2y + 1

x2 + y2− 1 + y + 6z,

6

x2+ y2− 1 + y + 6z



∇f (P0) = (1, 3/2, 3)

⇒ D~uf (P0) = 7/2

4 Cho hàm số f (x, y) = x2 − xy + y2 Tìm vector đơn vị ~u và giá trị của D~uf (1, −1) biết

rằng:

(a) D~uf (1, −1) lớn nhất

(b) D~uf (1, −1) nhỏ nhất

(c) D~uf (1, −1) = 0

(d) D~uf (1, −1) = 4

(e) D~uf (1, −1) = −3

Đáp án:

(a) Tương tự bài trên ta có: giá trị đạo hàm lớn nhất tại P0 khi đạo hàm theo hướng

tăng nhanh nhất tại P0

∇f (x, y) = (2x − y, 2y − x) ⇒ ∇f (1, −1) = (3, −3) ⇒ ~u = √1

2(1, −1)

D~uf (1, −1) = 3√

2

(b) Giá trị đạo hàm nhỏ nhất khi f’ giảm nhanh nhất, vậy:

~u = −√1

2(1, −1) và

D~uf (1, −1) = −3√

2

(c) Giá trị đạo hàm là 0 khi vector ~u vuông góc với vector gradient:

⇒ ~u.∇f (1, −1) = 0 ⇒ ~u = √1

2(1, 1)

(d) Với đạo hàm theo hướng tại P0 có giá trị m bất kì ta giả sử ~u = (a, b) Khi đó ~u

Gradient và đạo hàm theo hướng 11

thỏa:







~

u.∇f (P0) = m

|~u| =√

a2+ b2 = 1

Áp dụng:







(a, b).(3, −3) = 3a − 3b = 4

a2+ b2 = 1

⇔







a2 = b2+ 83b + 169

2b2+ 83b + 79 = 0

⇒







b = −4+

√

2

6 ⇒ a = 4+√2

6

b = −4−

√

2

6 ⇒ a = 4−√2

6

⇒ kết luận

(e) Lý luận như bài (d) tính được: ~u(1, 0) hoặc ~u(0, 1)

5 (Tương tự câu trên) Cho hàm số f (x, y) = x − y

x + y Tìm vector đơn vị ~u và giá trị của

D~uf



−1

2,

3

2



biết rằng:

(a) D~uf



−1

2,

3

2



lớn nhất ( ~u = √1

13(3, 2))

(b) D~uf



−1

2,

3

2



nhỏ nhất (~u = −√1

13(3, 2))

(c) D~uf



−1

2,

3

2



= 0 (~u = √1

13(2, −3) hoặc ~u = √1

13(−2, 3))

(d) D~uf



−1

2,

3

2



= −2 (~u = (0, −1), ~u = (−1213 ,135))

(e) D~uf



−1

2,

3

2



= 1 (~u =3+4

√

3

13 ,2−6

√

3

13



, ~u =3−4

√

3

13 ,2+6

√

3

13



)

6 Theo hướng nào thì đạo hàm của hàm số f (x, y) = x

2− y2

x2+ y2 tại điểm (1, 1) bằng 0

(Hướng vuông góc với vector gradient và ~u = (1, 1))

7 Tồn tại hay không vector ~u mà theo hướng đó đạo hàm hàm số f (x, y) = x2− 3xy + 4y2

tại điểm P (1, 2) có giá trị 14 (Giải tương tự bài 4.(d)⇒ không tồn tại)

8 Tồn tại hay không vector ~u mà theo hướng đó tốc độ biến thiên hàm nhiệt độ

T (x, y) = 2xy − yz với nhiệt độ tính bằngoC, khoang cách tính bằng feet, tại điểm

P (1, −1, 1) có giá trị −3 (oC/f t) (Không)

9 Đạo hàm của hàm số f (x, y) tại điểm P0(1, 2) theo hướng ~i + ~j là 2√

2 và theo hướng

−2~j là −3 Đạo hàm của hàm f theo hướng −~i − 2~j nhận giá trị là bao nhiêu?

Đáp án: Gọi ~u = (1, 1), ~v = (0, −2), ~w = (−1, −2), ta có hệ:







D~ u

|~ u|

f (P0) = √1

2~u∇f (P0) = 2√

2 ⇒ ~u∇f (P0) = 4

D~

|~ f (P0) = 12~v∇f (P0) = −3

mà ~w = −~u +1

2~v nên

12 Gradient và đạo hàm theo hướng

⇒ D w ~

| ~ w|f (P0) = √1

5w∇f (P~ 0) =

1

√

5(−~u +

1

2~v)∇f (P0) =

−4 − 3

√

5

Hoặc giả sử ∇f (P0) = (a, b) giải hệ được (a, b) rồi áp dụng công thức với vector w

10 Hàm số đạo hàm của hàm f (x, y, z) tại điểm P đạt giá trị lớn nhất theo hướng

~v = ~i + ~j − ~k và giá trị lớn nhất đó là 2√

3

(a) Tìm tọa độ ∇f tại P (∇f (P ) = (2, 2, −2))

(b) Tính đạo hàm của hàm f tại P theo hướng ~v = ~i + ~j (2√

2)

9 Đạo hàm hàm số f (x, y) điểm P0(1, 2) theo hướng ~i + ~j 2√

2 theo hướng

−2~j −3 Đạo hàm hàm f theo hướng −~i − 2~j nhận giá trị bao nhiêu?

Đáp án: Gọi...

(e) D~uf (1, −1) = −3

Đáp án:

(a) Tương tự ta có: giá trị đạo hàm lớn P0 đạo hàm theo hướng

tăng nhanh P0

∇f (x, y)... 1, 0)

Đáp án:

(a) Hàm số tăng nhanh theo hướng ∇f (P0), vector đơn vị ~u = ∇f (P0)

|∇f (P0)|

Và giá trị đạo hàm theo hướng :

D~uf