Bài Tập Dinh Thuc1 - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (25 trang)

Trang chủ

Cao đẳng - Đại học

Chuyên ngành kinh tế

bài tập dinh thuc1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (564.79 KB, 25 trang )

§ 2. ĐỊNH THỨCCác nội dung chính:1. Hoán vị của n số tự nhiên đầu2. Định nghĩa định thức cấp n3. Tính các định thức cấp thấp (n = 1, 2, 3)4. Các tính chất cơ bản của định thứcI. Hoán vị của n số tự nhiên đầuĐịnh nghĩa: Cho tập= 1,2, … ,Mỗi cách cách sắp xếp n phần tử củatập hợptheo một thứ tự nhất địnhđược gọi là một hoán vị của n số tựnhiên đầu tiên.Ký hiệu,,…,,…,,…,Là một hoán vị của n số tự nhiên đầutiên.Số lượng hoán vị của tập n số tự nhiênđầu là: n!.Nghịch thế trong một hoán vịĐịnh nghĩa: Trong hoán vịnếusố,,…,thì ta nói haitạo thành một nghịch thế.+ Nếu tổng số nghịch thế của một hoánvị là số chẵn thì hoán vị đó được gọi làhoán vị chẵn.+ Nếu tổng số nghịch thế của một hoánvị là số lẻ thì hoán vị đó được gọi làhoán vị lẻ.Ví dụ: Cho= 1,2,3,4,5,6Xét hoán vị:3,1,6,2,4,5Cho biết hoán vị trên chẵn hay lẻ?Giải:Đếm số nghịch thế của hoán vị này:3,1,6,2,4,5+ Số 3 có hai số nhỏ hơn đứng sau nó(số 1 và 2).+ Số 1 không có số nhỏ hơn đứng saunó.+ Số 6 có ba số nhỏ hơn đứng sau nó(số 2, 4 và 5).+ Số 2 không có số nhỏ hơn đứng saunó.+ Số 4 không có số nhỏ hơn đứng saunó.⟹ số nghịch thế của hoán vị trên là:2 + 0 + 3 + 0 + 0 = 5 (lẻ)Vậy hoán vị: 3,1,6,2,4,5 là hoán vị lẻBây giờ, bạn hãy đổi chỗ 3 và 5 chonhau, để được hoán vị: 5,1,6,2,4,3.Số nghịch thế là: ???4+0+3+0+1=8Vậy hoán vị đổi thành hoán vị chẵn.Kết quả trên được khái quát:Định lý: Nếu đổi chỗ hai số trong mộthoán vị (giữ nguyên vị trí của những sốcòn lại) thì hoán vị thay đổi tính chẵn lẻ(tức là hoán vị chẵn biến thành hoán vị lẻvà ngược lại).≥ 2 thì trong số n!Hệ quả 1: Nếuhoán vị của n số tự nhiên đầu có mộtnửa là hoán vị chẵn và một nửa là hoánvị lẻ.Hệ quả 2: Với,,…,là một hoánvị của n số tự nhiên đầu, bằng cách đổichỗ các cột ta đưa được ma trận:1 2  n      12n 1 2  n về dạng 1 2  nthì hai hoán vị, ,…,,,…,có cùng tính chẵn lẻ.vàII. Định nghĩa định thức cấp nCho ma trận vuông cấp n:=⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯×Trước tiên ta trả lời câu hỏi: “Có baonhiêu cách chọn ra các bộ gồm n phầntử của A lấy trên các dòng khác nhau vàcác cột khác nhau, tức là không có haiphần tử nào cùng nằm trên một dònghay một cột”Để chọn một bộ gồm n phần tử như vậy:Ta lấy một hoán vị bất kỳ của n số tự nhiênđầu tiên(sau này gọi là hoán vị chỉ số cột):,,…,Theo hoán vị đó ta chọn n phần tử của matrận A như sau:+ Trên dòng 1 lấy phần tử thuộc cột:+ Trên dòng 2 lấy phần tử thuộc cột:……………………………………………….+ Trên dòng n lấy phần tử thuộc cột:Và lập tích số: −1..(h:là số nghịch thế của hoán vị:…,(∗),…,)Nhận xét:∘ Mỗi tích số dạng (∗) là tích của một bộ nphần tử của ma trận A lấy trên các dòng khácnhau và các cột khác nhau và được gán dấutheo quy tắc sau:∗Gán dấu “+” nếu là hoán vị chỉ số cột làhoán vị chẵn.∗Gán dấu “–” nếu là hoán vị chỉ số cột làhoán vị lẻ.∘ Có n! tích số dạng (∗).Định nghĩa: Tổng của tất cả n! tích số dạng(∗) được gọi là định thức của ma trận vuôngA và được ký hiệu là:hoặc dethoặccó thể viết dưới dạng một bảng số có ndòng, n cột đặt giữa hai dấu gạch đứng:⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯∘ Định thức của một ma trận vuông cấp nđược gọi là định thức cấp n.∘ Mỗi tích số T = −1..…được gọi là một thành phần của định thức.Như vậy, định thức cấp n là tổng của n!thành phần của nó:det=−1 .(,,…,.)Tổng trên lấy cho tất cả cáchoán vị của…Chú ý:∘ Khái niệm định thức chỉ áp dụng đối với matrận vuông.∘ Định thức là một số thực xác định (điều nàykhác với ma trận là một bảng số):∈+∀ , = 1,⟹ d = det( ) ∈(Lời: ”…”)∈+∀ , = 1,⟹ d = det( ) ∈(Lời: ”…”)Ví dụ 1: Có bao nhiêu thành phần của địnhthức cấp 5 chứa các phần tử,,.Viết công thức tính các phần tử đó.Giải:Một thành phần của định thức cấp 5 có dạng:= −1,Ở đó,,.,,∈ 1,2,3,4,5 và h làsố nghịch thế của hoán vị này (chỉ số cột).Từ giả thiết ta suy ra:= −1Như vậy,TH1:,= 2,∈ 2,3= 3: hoán vị chỉ số cột là:4,2,1,5,3 ⟶ ℎ = 3 + 1 + 0 + 1 = 5 (lẻ)VậyTH1:=−= 3,= 2: hoán vị chỉ số cột là:4,3,1,5,2 ⟶ ℎ = 3 + 2 + 0 + 1 = 6 (chẵn)Vậy=+Ví dụ 2: Cho đa thức một biến x:5431P  x   3x 35 27 93 x 76 2 41 9 104 11 2x8 5 11hệ số của lũy thừa cao nhất của P(x) là:50:50A: – 256B: 344C: 354D: – 276Ví dụ: Cho định thức:51=31421311211Chỉ sử dụng định nghĩa hãy tìm thànhphần của định thức chứaGiải. SV tự giải.và.