Bài Tập Giải Tich 3 Bách Khoa Hà Nội - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (9 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Đại cương
>>
3. Toán cao cấp

Bài tập Giải tich 3 Bách Khoa Hà Nội

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (318.51 KB, 9 trang )

1Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học - 2014 BÀI TẬP GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân và chuỗi) Kiểm tra giữa kỳ : Tự luận, vào tuần học thứ 9 Thi cuối kỳ : Tự luận I. CHUỖI 1) Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của các chuỗi sau a) 2 21 1 1 1 1 12 32 3 2 3n n                     b) 1 1 11.2.3 2.3.4 3.4.5   c)    2 21 29 2252 1 2 1nn n      2) Sử dụng các tiêu chuẩn: So sánh; D’Alembert; Cauchy; Tích phân, xét sự hội tụ cả các chuỗi sau a) 2110 1nnn b)   21 2nnn n  c) 22211nnn    d) 3/ 411 1nn nn   e) 211 1nnnnn    f) 21lnnn g) 2lnnnn h) 21 1ln1nnnn i) 11 1lnnnn n    k) 22 221ln tannn nn n n l)  213 1 !8nnnn m)   221.3.5 2 12 1 !nnnn 3) Xét sự hội tụ của các chuỗi số a) 211 115nnnn    b)   213 !2 !nnnn c) 2152nnn d) 1111n nnnn    e)  2217 !nnnnn f) 214 3nnnnn    2g) 211lnnnn h)*  1sin 2 3nn   i)  231ln lnlnnn n n k) 1. !nnne nn 4) Xét sự hội tụ của các chuỗi số a) 1211nnn e b)  21 1lnnnn n  c)  1arcsinnne d)  2 21sinnn a, a e)  11.3.5 2 13 . !nnnn f) 31cosnnan   , a g)  22121n nnnnn h)  31, ( 0, 0)lnnn n   i)   3231 2cos, ( )lnnnnn n  k)  21, ( , 0 1)1nnnaa aa   5) Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau a) 111nnx b) 211nnnxx c) 11xnnxn d) 1cos2nxnnx e)  12111nnn x f) 11lnnnnxx e g)  13 2,1nnn xxn    h) 112nn nnxx    i) 1nnnnxx k)   1 2512 121nnnxn 6) Dùng tiêu chuẩn Weierstrass, chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên các tập tương ứng a)  211nnnxx trên  b) 111 2 122nnnxx    trên 1;1 3c) 1112 1nnnx trên [0 ; )  d) 2 221n xnen trên . 7) Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau a)  212nnxn b)  2111nnn x c)  2 52134nnxn d)  212 12nnnxn e) 112 112nnnn xx    f)  111nnxn g)  2 1152 .4nnnxn h)      1 2211 2 1 13 2n n nnnn xn   i)  1!3nnnnxn 8) Tính tổng của các chuỗi sau a)   2 520, 3 ; 33 2 1nnnxxn  b)   11112 1 .3nnnn c)    2 20, 1;12 1 2 2nnxxn n   d)  211 2, 1;1nnnx xn n     9) Khai triển thành chuỗi Maclaurin a)  3214 3x xf xx x   b) sin 3 cos3f x x x x  c)  214f xx d)  2ln 1 2f x x x   10) a) Khai triển ( )f x x thành chuỗi luỹ thừa của x  4 b) Khai triển  xsin3f x thành chuỗi luỹ thừa của x  1 c) Khai triển  213x+2f xx thành chuỗi luỹ thừa của x + 4 d) Khai triển lnf x x thành chuỗi luỹ thừa của 11xx 11) a) Khai triển Fourier các hàm số sau 1/ , 1f x x x , 2/ 2 , 0 1f x x x  , 3/ 10 , 5 15f x x x    b) Cho  2f x x trên ;  . Hãy khai triển Fourier của hàm f x, sau đó tính tổng các chuỗi số  2111nnn, 211nn 4II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1) Phương trình phân li: a) tan ln 0y dx x x dy  b) cosy x y c) 224 3 214 13y yyxx x   d) cos , 0y a y b b a    e) 23 4 0y y y    f) 2 1y x y  g) sin 1y y x   h) 12x yyx y   i)  2 3 3 25 5 , 0 1x y dx y y dy y    k) 2 21 1 0, 8 1xy dx y x dy y     2) Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một a) 1y xyx y   b) sinyxy x yx  c) 2 2 20x y y xy x    d) 2 0x y dx x dy   e)  22yxxy dy y dx x y e dx   f) 2 3 2 1 0x y dy x y dx      g)  ln , 1 1yxy y yx  h)  0, 1 1xy x dy y dx y    3) Phương trình vi phân tuyến tính cấp một a) 22 1 2y xy x   b)  12 2x xy y xe ex   c) 21 arctanx x y y x   d) 2y x y y  e)  22 3 0xy dy y dx   f)  21 arctany dx y x dy   g) cos sin cos , 0 0y y x x x y   h)  21 arcsin , 0 0y x y x y    4) Phương trình Bernoulli a) 21xyy x yx  b) 2 4yy x yx  c) 2 22 tan sin 0y y x y x   d) 2 20y dx x x y dy   e)  33 1 3 sin 0, / 2 1dy y y x dx y    f)  2 22 2 0, 1 0y y x y x y     5) Phương trình vi phân toàn phần 5a)  22 0x y dx x y dy    b) 2 22 30y dx x dyx y           c) sin cos 0x ye y y dx e x x y dy      d)  2 0, 1 0y ye dx xe y dy y    6) Tìm thừa số tích phân (y) để phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải phương trình đó với  tìm được 2 3 22 3 3 0xy y dx y xy dy    7) Tìm thừa số tích phân (x) để phương trình sau là phương trình vi phân toàn phần và giải phương trình đó với  tìm được  1 1ln 0x y dx dyx y x y        8) Giải các phương trình sau a) 4 2 1y x y   b)  2 23 2 0, 0 1y x dy xy dx y    c) 2101yyx  d)  2, 0 9/ 4xy y e y y   9) Chứng minh rằng a) 21xty x e dt là nghiệm của phương trình 22xxy y x e  b)  21nnxy xn n  là nghiệm của phương trình 1 1x dy x y dx    10) Giải các phương trình sau a) 22 0y yy   b) 21yy y   c) 1y xy y    d) 2xy y x yy    e) 4 siny y x x  f) 0y y x    g) 3x xy y xe e   h) 22 1xy y y    i) 23 10xy y y xe    k) 2cos cos2y y x x  l) 24 8 sin 2xy y y e x     m) 2 sin sinhy y y x x     n) 323 42xx y xy y   ,    11 , 1 02y y  o) 22y yyx xx   11) Giải các phương trình sau a) 1xxey ye  b) tany y x   c) 2xey y yx    612) Giải các phương trình sau a) 2xy xy y   , 2 2, 2 1y y  b)    21 0, 1 0, 1 1yy y y y       13) Giải phương trình  22 2 1 2 2x x y x y y       biết nó có hai nghiệm riêng 1 2, 1y x y  14) Giải phương trình   22 224 21 211y xx y xyxx     với phép biến đổi tanx t 15) Giải phương trình 32cosyyx y e yyy    bằng cách coi x là hàm của y. 16) Giải các phương trình sau a)  22 1 2sin ,mxy my m y x e x m       b)  2 2 1 2xxey y y x ex       17) Tìm bốn số hạng đầu tiên khác không của chuỗi luỹ thừa mà tổng của chuỗi đó là nghiệm của phương trình sau a)    20, 0 0, 0 1y x y y y      b) 2 1 1, 0 0, 0 1y x y y y      c)    21 4 2 0, 0 0, 0 1x y xy y y y        d) 0, 0 0, 0 2y xy y y y       18) Giải các hệ phương trình sau a) dyy zdxdzx y zdx    b) 2 55 6dxx ydtdyx ydt   c) 1cosdxydtdyxdt t   d) dx ydt x ydy xdt x y III. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE 3.1. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược 1. Sử dụng định nghĩa, tìm trực tiếp biến đổi Laplace của các hàm số sau a) f(t) = t ; b) f(t) = e3t + 1 ; c) f(t) = sinh(kt) d) f(t) = sin2t 2. Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace của hàm số sau 7a) 3f t t t  b) f(t) = t  2e3t c) f(t) = 1 + cosh(5t) d) f(t) = cos2(2t) e) f(t) = (1 + t)3 f)  tf t te g) sin 3 cos3f t t t h)  2sinh 3f t t 3. Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace ngược của hàm số sau a)  43F ss b)  5/ 21 2F sss  c)  34F ss d)  25 39sF ss e)  210 325sF ss f)  1 32sF s s e  3.2. Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu 1. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải bài toán giá trị ban đầu a) x'' + 4x = 0, x(0) = 5, x'(0) = 0 b) x''  x'  2x = 0, x(0) = 0, x'(0) = 2. c) x'' + x = sin2t, x(0) = 0, x'(0) = 0 d) x'' + x = cos3t, x(0) = 1, x'(0) = 0 e) 4 3 1x x x   , 0 0 0x x  f) 3 2 , 0 0, 0 2x x x t x x       2. Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau a)  2 , 0 16 3 , 0 2x x y xy x y y      b)  2 0, 0 00, 0 1x y x xx y y y         c)  2 0, 0 (0) 14x 2 0, (0) 0 0x x y x y x yy x y y x y                   d)    2 4 0, 0 0 02 0, 0 0 1x x y x yy x y x y            3. Dùng Định lí 2 để tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo của các hàm số sau a)   13F ss s b)   214F ss s c)   2 211F ss s d)   2 211F ss s e)    11 2F ss s s  4. Sử dụng Định lí 1, chứng minh rằng a)    1n at n atnt e t es aL L b)   1!, 1, 2, 3 n atnnt e ns a L 8c)   2 22sinhskt kts kL d)   2 222 2coss kt kts kL e)   2 222 2coshs kt kts kL 3.3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản 1. Áp dụng Định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace của hàm số sau a) f(t) = t4et b) f(t) = e2t sin3t c)  2cos28tf t e t     2. Áp dụng định lí phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau a)  32 4F ss b)  214 4F ss s  c)  23 56 25sF ss s  3. Sử dụng các phân thức đơn giản để tìm phép biến đổi Laplace ngược của các hàm số sau a)  214F ss b)  25 27 10sF ss s  c)  3 215F ss s d)  4116F ss e)  24 225 4s sF ss s  g)   22232 2sF ss s  4. Sử dụng phép phân tích 4 4 2 2 2 24 2 2 2 2s a s as a s as a     , chứng minh rằng a) 314 4cosh cos4sat ats a   L b)  214 41cosh sin sinh cos24sat at at atas a    L c) 14 4 21sinh sin4 2sat ats a a   L 5. Giải phương trình vi phân cấp cao với điều kiện ban đầu a) x'' + 6x' + 25x = 0, x(0) = 2, x'(0) = 3 b) x''  4x = 3t , x(0) = x'(0) = 0 c)       36 0, 0 0, 0 0 1x x x x x x         d)        4 30, 0 0, 0 0 0, 0 1x x x x x x       e)        4 38 16 0, 0 0 0 0, 0 1x x x x x x x         f)    4 13 , 0 0, 0 2tx x x te x x       9g) 6 18 cos2 , 0 1, 0 1x x x t x x        3.4. Đạo hàm, Tích phân, và tích các phép biến đổi 1. Áp dụng định lí tích chập để tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau a)   13F ss s b)   2219F ss c)   2224sF ss d)    23 1sF ss s  2. Dùng các định lí vi, tích phân của phép biến đổi Laplace để tìm phép biến đổi Laplace của các hàm sau a) f(t) = t sin3t b)  2cos3tf t te t c)  sintf tt d)  31tef tt 3. Tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo của các hàm sau a)  2ln2sF ss b)    21ln2 3sF ss s  c)  21ln 1F ss     4. Biến đổi các phương trình vi phân sau để tìm nghiệm không tầm thường sao cho 0 0x a) 2 0,tx t x x     b) tx''  (4t + 1)x' + 2(2t + 1)x = 0, c) 2 0,tx x tx    d) 4 2 13 4 0tx t x t x      5. Giải bài toán với giá trị ban đầu , 0 0 0mx cx kx f t x x       a)  1, 01, 4, 0,0,tm k c f tt     b)  sin , 0 21, 9, 0,0, 2t tm k c f tt     c)  , 0 21, 4, 4,0, 2t tm k c f tt    

Tài liệu liên quan

• Bai tap giai tich 12 hay
  • 4
  • 953
  • 9
• Bai tap Giai tich 11 Chuong 1
  • 20
  • 755
  • 0
• BÀI TẬP GIẢI TÍCH TỔ HỢP
  • 71
  • 852
  • 1
• bài tập giải tích 12
  • 143
  • 973
  • 2
• Bài tập Giải tich 2 Bách Khoa Hà Nội
  • 11
  • 3
  • 2
• Bài tập Giải tich 3 Bách Khoa Hà Nội
  • 9
  • 11
  • 221
• 750 bài tập giải tích 12
  • 119
  • 684
  • 1
• Đề thi Olympic Toán sinh viên Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội- Môn GIẢI TÍCH docx
  • 1
  • 3
  • 26
• Bài tập giải tích
  • 20
  • 602
  • 1
• Bài giảng giải tích 3 đại học bách khoa hà nội
  • 88
  • 7
  • 9

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(318.51 KB - 9 trang) - Bài tập Giải tich 3 Bách Khoa Hà Nội Tải bản đầy đủ ngay ×