Bài Tập Hàm Số Lượng Giác Toán 11 - O₂ Education

Bài tập hàm số lượng giác Toán 11

Để làm được các Bài tập hàm số lượng giác Toán 11 dưới đây, các em cần nắm vững phần lý thuyết về Hàm số lượng giác và thành thạo các Công thức lượng giác, Giá trị lượng giác của góc ở Lớp 10

1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp. Sử dụng tính chất: $ -1\le \sin x\le 1,-1\le\cos x\le 1 $.

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: $ y=3+\sin x $.

Hướng dẫn. Ta có \begin{align*} &-1\le \sin x\le 1\\ \Leftrightarrow\;& 2\le 3+\sin x\le 4 \end{align*}

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi $ \sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi. $

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ 2, $ đạt được khi $ \sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi. $

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=5-3\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) $.

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số$ y=\sin x\cos x $.

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số$ y=\sin x+\cos x $.

2. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Phương pháp. Để tìm tập xác định của một hàm số lượng giác, chúng ta cần sử dụng các kết quả:

• Hàm số \( \sin x, \cos x \) xác định với mọi \( x\in \mathbb{R} \)
• Hàm số \( \tan x \) xác định với mọi \( x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \)
• Hàm số \( \cot x \) xác định với mọi \( x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z} \)

Ngoài ra cần nhớ thêm \( \frac{A}{B} \) xác định khi và chỉ khi \( B\ne 0 \); \( \sqrt{A} \) xác định khi và chỉ khi \( A \geqslant 0 \).

Ví dụ. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1. $ y=\frac{\sin2x}{\sin3x} $
2. $ y=\cot\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) $
3. $ y=\tan\left(3x+\frac{2\pi}{3}\right) $
4. $ y=\frac{1}{\sin x+\cos x-1} $

3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

Nhắc lại. Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên miền $ \mathcal{D}. $

• Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  • Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  • $ f(-x)=f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
• Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số lẻ nếu nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  • Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  • $ f(-x)=-f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $

Như vậy, để xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác, chúng ta cần:

• Tìm tập xác định của hàm số và kiểm tra điều kiện $ \forall x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $.
• Sử dụng các tính chất về cung có liên quan đặc biệt (cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tang) để so sánh \( f(-x) \) và \( f(x) \).

4. Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác

Sử dụng các tính chất:

• Hàm số y=sinx đồng biến trên mỗi khoảng (−π2+k2π;π2+k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (π2+k2π;3π2+k2π) với k∈Z.
• Hàm số $y=\cos x $ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;\,\,k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( k2\pi ;\,\,\pi +k2\pi \right)$ với $k\in \mathbb{Z}.$

5. Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

Sử dụng các tính chất:

• Hàm số \( \sin x, \cos x \) tuần hoàn với chu kì \( 2\pi \).
• Hàm số \( \tan x, \cot x \) tuần hoàn với chu kì \( \pi \).
• Hàm số \( \sin ax, \cos ax \) tuần hoàn với chu kì \( \frac{2\pi}{a} \).

6. Bài tập hàm số lượng giác tự luyện

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

1. $ y=2+3\sin x $
2. $ y= -1+3\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$
3. $ y=\frac{1+2\sin^2x}{2} $
4. $ y=5-3|\sin x| $
5. $ y=5-7\sin x\cos x $
6. $ y=\cos^2x-\sin^2x+3 $
7. $y=2\cos 2x+{{\sin }^{2}}x$
8. $y={{\sin }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-x \right)+{{(\sin x-\cos x)}^{2}}$
9. $ y=\sin x+\cos x+2 $
10. $ y=3\sin x-4\cos x $

Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

1. $ y=\sin^4x-\cos^4x $
2. $ y=1-8\sin^2x \cos^2x $
3. $ y=\sin^6x-\cos^6x $
4. $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$
5. $ y=\sqrt{7-4\sin^2x \cos^2x } $

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1. $ y=\sin \frac{1}{x} $
2. $ y=\frac{\sin2x}{\cos x} $
3. $ y=\frac{1}{\tan x-\sqrt{3}} $
4. $ y=\frac{1}{\tan x}$
5. $ y=\frac{1}{\cos x-\sin x} $
6. $ y=\tan x\sqrt{2-\sin x} $
7. $ y=\sqrt{\frac{\cos x+3}{\cos x+1}} $
8. $ y=\sqrt{2-\sin x}+\cot x $

Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số $ y=\sqrt{1+\sin x\cos x} $.

Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số $ y=\frac{\tan x}{\sqrt{\cos^2x-\sin^2x+3}} $.

Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $ y=-2\cos2x-4\sin x+6 $.

Đáp số. $ \min y=2, \max y=12 $

Bài 7. Chứng minh rằng \[\frac{1}{3+\sin x}+\frac{1}{3-\sin x}\le \frac{2}{2+\cos x}\] Hướng dẫn. Vì $ 3+\sin x>0,3-\sin x>0 $ và $ 2+\cos x>0 $ nên bất đẳng thức đã cho tương đương với \begin{align*} & 6(2+\cos x)\le 2(9-\sin^2x) \\ \Leftrightarrow\;& 12+6\cos x\le 18-2(1-\cos^2x) \\ \Leftrightarrow\;& 2\cos^2x-6\cos x+4\ge 0 \\ \Leftrightarrow\;& (\cos x-1)(\cos x-2)\ge 0 \end{align*} Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì $ \cos x\le 1. $