Bài Tập Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.doc) (8 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Toán học

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (112.73 KB, 8 trang )

Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vnChuyên đề 7: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC TÓM TẮT GIÁO KHOAI. Các ký hiệu:• A, B, C: là các góc đỉnh A, B, C• a, b, c : là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C• ha, hb, hc : là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C• ma, mb, mc : là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C• la, lb, lc : là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C• R : là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC• r : là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC• p = 21(a+b+c) : là nữa chu vi tam giác ABC• S : là diện tích tam giác ABC cabmalahaHDMBACII. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông :Trong tam giác vuông ABC . Gọi b', c' là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền ta có các hệ thức: =========+==+===gBbtgCbcgCctgBcbBaCacCaBabcbhacbhcbhcbacababcot cot .7cos.sin.cos.sin..6 5111.4 3.2 1222''2222''2 c & 2 44Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vncbahc'b'HABCII. Các hệ thức lượng trong tam giác thường 1. Đònh lý hàm số CÔSIN: Trong tam giác ABC ta luôn có : CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222−+=−+=−+= cbaABCGhi nhớ: Trong một tam giác, bình phương mỗi cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai lần tích hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa chúng.Hệ quả: Trong tam giác ABC ta luôn có : bcacbA2cos222−+=, acbcaB2cos222−+= , abcbaC2cos222−+=2. Đònh lý hàm số SIN: Trong tam giác ABC ta có : RCcBbAa2sinsinsin===Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có: CRcBRbARa sin2,sin2,sin2 === 45Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vncabOABCGhi nhớ:Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.3. Đònh lý về đường trung tuyến: Trong tam giác ABC ta có : 424242222222222222cbambcamacbmcba−+=−+=−+=4. Đònh lý về diện tích tam giác: Diện tích tam giác ABC được tính theo các công thức sau: a b c1 1 11. S ah bh ch2 2 21 1 12. S absinC acsinB bcsinA2 2 2abc3. S4R4. S pr5. S p(p a)(p b)(p c)= = == = ==== − − − 46cabmaMBACChun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vncabhaHBAC5. Đònh lý về đường phân giác: baCablcaBaclcbAbclcba+=+=+=2cos2;2cos.2;2cos.2CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢNDạng 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁCĐể chứng minh đẳng thức lượng giác A=B ta có thể thực hiện theo một trong các phương pháp sauPhương pháp 1: Biến đổi vế này thành vế kiaPhương pháp 2: Xuất phát từ một một hệ thức đúng đã biết để suy ra đẳng thức cần chứng minhVÍ DỤ MINH HỌA:Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:a) A B CsinA sinB sinC 4.cos .cos .cos2 2 2+ + = b) 2 2 2sin A sin B sin C 2 2cosA.cosB.cosC+ + = +Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:a) tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + = (∆ABC không vuông)b) A B B C C Atg .tg tg .tg tg .tg 12 2 2 2 2 2+ + =Dạng 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁCI. Bất đẳng thức trong tam giác :Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :• a > 0, b > 0, c > 0•b c a b c− < < +•c a b c a− < < +•a b c a b− < < +•a b c A B C> > ⇔ > >II. Các bất đẳng thức cơ bản :1. Bất đẳng thức Cauchy:47Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vnCho hai số không âm a; b ta có : 2a bab+≥Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=bTổng quát :Cho n số không âm a1,a2, an ta có : 1 21 2 . nnna a aa a an+ + +≥Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an2 . Bất đẳng thức Bunhiacốpski :Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : 2 2 2 2 2( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + +Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bxTổng quát :Cho hai bộ số 1 2( , , )na a a và 1 2( , , , )nb b b ta có : 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )( )n n n na b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi 1 21 2 nnaa ab b b= = = với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 3) Bất đẳng thức cơ bản: a) Cho hai số dương x, y ta luôn có: 1 1 1 1( )4≤ ++x y x y Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi x = yb) Với mọi số thực x, y ta luôn có: xyyx 222≥+ Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi x = yIII. Bất đẳng thức JENSEN : 1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) < 0 );( bax ∈∀ (f là hàm lồi) thì Với mọi );(, ,,21baxxxn∈ ta có: ) ()( )()(2121nxxxfnxfxfxfnn++≤+++ )2( ≥n Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi nxxx === 21 2) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > 0 );( bax ∈∀(f là hàm lõm) thì Với mọi );(, ,,21baxxxn∈ ta có:48Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ) ()( )()(2121nxxxfnxfxfxfnn++≥+++ )2( ≥n Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi nxxx === 21Để chứng minh đẳng thức lượng giác A<B (>,≥≤,) ta có thể thực hiện theo một trong các phương pháp sau:Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến một bất đẳng thức hiển nhiên đúngPhương pháp 2: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đã biết (Cô si, BCS, ) để suy ra bất đẳng thức cần chứng minhVÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 812sin.2sin.2sin ≤CBAVí dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) 2332cos2cos2cos ≤++CBA b) 233sinsinsin ≤++ CBA c) 3222≥++CtgBtgAtgVí dụ 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) 8332cos.2cos.2cos ≤CBA b) 33≥++ tgCtgBtgA c) 3312.2.2≤CtgBtgAtgDạng 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁCKIỂU ĐỀ TOÁN 1:∆⇒ biệt đặc góc có giác tamlà đều giác tamlà cân giác tamlà cân vuông giác tamlà vuông giác tamlà ABC trước" cho kiệnĐiều" mãn thỏa ABC giác tam ChoTHÌKIỂU ĐỀ TOÁN 2:49Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn∆⇔ biệt đặc góc có giác tamlà đều giác tamlà cân giác tamlà cân vuông giác tamlà vuông giác tamlà ABC trước" cho kiệnĐiều" mãn thỏa ABC giác tam ChoVÀ ĐỦ CẦN"Điều kiện cho trước" có thể là:• Đẳng thức lượng giác về góc • Đẳng thức lượng giác + độ dài (cạnh, trung tuyến, phân giác, )• Đẳng thức độ dài• Hệ đẳng thức1) Nhận dạng tam giác vuông Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến một đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận được tính chất của tam giác2) Nhận dạng tam giác cân Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến một đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận được tính chất của tam giác3) Nhận dạng tam giác đều Ngoài phương pháp đã nêu trên ta có thể giải quyết bài toán theo cách sau Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Gồm 2 bước (áp dụng khi "Điều kiện cho trước" có dạng đẳng thức A = B Bước 1: CM bất đẳng thức BA ≥ hoặc BA ≤ (1) Bước 2: Lập luận để đẳng thức ở (1) xãy ra mà khi đẳng thức (1) xảy ra thì tam giác ABC đềuVÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Tam giác ABC có tgAABBA=++cossincossin. Chứng minh rằng ∆ABC vuôngVí dụ 2: Chứng minh rằng nếu ABC∆ thỏa mãn điều kiện 012cos2cos2cos =+++ CBA thì tam giác đó là tam giác vuôngVí dụ 3: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện sau là tam giác cân1) CtgA tgB 2.cotg2+ = 2) sinA sinB sinC A Ccot g .cotgsinA sinB sinC 2 2+ +=+ −Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện sau là tam giác đều 1) 1cosA.cosB.cosC8= 2) A B Ccos cos cos2 2 231 cosA 1 cosB 1 cosC+ + =+ + + 3) A B CcosA cosB cosC sin sin sin2 2 2+ + = + + 4) 1 1 1 1 1 1A B CcosA cosB cosCsin sin sin2 2 2+ + = + +Ví dụ 5: Xác đònh dạng của tam giác ABC biết: 1) Ca b tg (a.tgA b.tgB)2+ = + 2) b c acosB cosC sinB.sinC+ =50Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3) b ccosB cosCa++ = 4) a.cosA b.cosB c.cosC 1a b c 2+ +=+ +Ví dụ 6: Hãy tính các góc của tam giác ABC nếu trong tam giác đó ta có :2 2 2 29sin A sin B sin C 3cosC cos C4+ + = + +Ví dụ 7: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng−=≤−83322sin2sin2sin)(4CBAbcapp trong đó BC = a, AB = c, 2cbap++= Hết 51