Bài Tập Nâng Cao Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông

• Trang Chủ
• Đăng ký
• Đăng nhập
• Upload
• Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học›Toán 9 Bài tập nâng cao hệ thức lượng trong tam giác vuông 13 trang khoa-nguyen 21552 3 Download Bạn đang xem tài liệu "Bài tập nâng cao hệ thức lượng trong tam giác vuông", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên BÀI TẬP NÂNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUễNG Bài 1: Cho hỡnh thang cõn ABCD, đỏy lớn CD = 10cm, đỏy nhỏ bằng đường cao, đường chộo vuụng gúc với cạnh bờn. Tớnh độ dài đường cao của hỡnh thang cõn đú. Bài giải sơ lược: Kẻ AH CD ; BK CD. Đặt AH = AB = x HK = x AHD = BKC (cạnh huyền- gúc nhọn) Suy ra : DH = CK = . Vậy HC = HK + CK = x + = Áp dụng hệ thức lượng cho tam giỏc ADC vuụng ở A cú đường cao AH Ta cú : AH2 = DH . CH hay 5x2 = 100 Giải phương trỡnh trờn ta được x = và x = – (loại) Vậy : AH = Bài 2: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, đường cao ứng với cạnh đỏy cú độ dài 15,6cm, đường cao ứng với cạnh bờn dài 12cm. Tớnh độ dài cạnh đỏy BC. Giải: Đặt BC = 2x, từ tớnh chất của tam giỏc cõn ta suy ra CH = x Áp dụng định lớ Pitago tớnh được AC = Từ KBC HAC hay Đưa về phương trỡnh 15,62 + x2 = 6,76x2 Giải phương trỡnh trờn ta được nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC = 2.6,5 = 13(cm) Bài Tập 3 : Cho . Qua trung điểm I của AC, dựng ID BC. Chứng minh : Giải: Hạ . Ta cú : HD = DC ( t/c đường trung bỡnh) Ta cú : BD2 – CD2 = ( BC - CD)2 – CD2 = BC2 + CD2 – 2BC.CD – CD2 = BC2 – BC.(2CD) = BC2 – BC.HC = BC2 – AC2 = AB2 ( Chỳ ý : AB2 = BC2 – AC2) Bài Tập 4 : Cho ABC vuụng tại A. Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuụng gúc với AB, AC. Chứng minh rằng: a) b) BC . BE . CF = AH3 Giải: a) Trong cú HB2 = BE . BA (1) ; cú HC2 = CF . CA (2 ) Từ (1) và (2) cú : . (1) Trong cú :AB2 = BH . BC và AC2 = HC . BC suy ra (2) Từ (1) và (2). Ta cú : . b) . Thay (3) Tương tự ta cũng cú ( 4) . Từ (3) và (4) Ta cú : BE .CF = . Mà AB. AC = BC . AH nờn BC . BE . CF = = AH3 Bài 5: Cho hỡnh vuụng ABCD. Qua A, vẽ cỏt tuyến Bất kỡ cắt cạnh BC, tia CD lần lượt tại E và F. Chứng minh : . Giải: Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho BE = HD. Ta cú : ( c – g –c ) . Áp dụng hệ thức lựơng cho . Ta cú : nờn Bài 6: Cho hỡnh thoi ABCD cú , tia Ax tạo với Tia AB gúc , cắt BC, CD lần lượt tại M, N. Chứng minh: Giải: Từ A, dựng đường thẳng vuụng gúc với AN Cắt CD tại P, hạ . Ta cú : ( g – c – g) Áp dụng hệ thức lượng cho Ta cú : nờn (1) Mà AH2 = sinD.AD = sin600.AD = (2) Thay (2) và (1). Ta cú : Bài 1: Trong hỡnh vẽ sau biết , , ; , . Hóy tớnh (làm trũn đến số thập phõn thứ tư ). a) CN b) c) d) AD. Bài 2 : Trong hỡnh vẽ sau biết , , , . Hóy tớnh : a) PT b) Diện tớch tam giac PQR. Hướng dẫn : Từ T và R hạ cỏc đường vuụng gúc với PQ. Bài 3: Cho tam giỏc ABD vuụng tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trờn cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nú cắt đường thẳng AC tại E. a) Tớnh AD. b) Tớnh cỏc gúc BAD, BAC. c) Chứng minh AC là tia phõn giỏc của gúc BAD. d) Chứng minh tam giỏc ADE cõn tại D. Hướng dẫn cõu c: Hạ . Chứng minh : AB = CI. Bài 4: Cho ABC cú gúc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hỡnh vẽ) . Hóy tỡm a) Tớnh AP ? ; BP ? b) CP ? Bài 5: Cho rABC cú . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB. a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giỏc đều Hướng dẫn : Cõu a : Từ KH = BC.CosA Cõu b: Vận dụng tớnh chất đường trung tuyến trong tam giỏc vuụng và chỳ ý Bài 6: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC. Nối AF và BE. a) Chứng minh AF = BE.cosC. b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tớnh diện tớch tứ giỏc ABFE. c) AF và BE cắt nhau tại O. Tớnh . Hướng dẫn : Cõu a : Tương tự cỏch giải bài 5. Cõu b: Sử dụng tớnh chất 2 diện tớch miền đa giỏc hỡnh học 8. Cõu c : Rất khú: Hạ AH, FK vuụng gúc với BE.Tớnh SABFE = SABE + SBFE . Suy ra Bài 7: Cho tam giỏc vuụng ABC ( = 900 ). Lấy điểm M trờn cạnh AC. Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM. a) Chứng minh : . b) Chứng minh : . Hướng dẫn : Cõu a : Tương tự cỏch giải bài 5. Cõu b: Tiếp tục vận dụng cõu a lần 2. Bài 8: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đ.chộo AC lớn hơn đ.chộo BD. Kẻ CH ^ AD và CK ^ AB. a) Chứng minh rCKH rBCA. b) Chứng minh . c) Tớnh diện tớch tứ giỏc AKCH biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm. Bài 9: Cho , trực tõm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh: tgB.tgC = 2. ĐÁP ÁN Bài 1: Trong hỡnh vẽ sau biết , , ; , . Hóy tớnh (làm trũn đến số thập phõn thứ tư ). a) CN b) c) d) AD. Bài giải a) . b) ị. c) ị. d) ị . Bài 2 : Trong hỡnh vẽ sau biết , , , . Hóy tớnh : a) PT b) Diện tớch tam giac PQR. Bài giải a) Xột DPTQ, kẻ đường cao TK , ta cú . ; ị ; ị . b) Ta cú ; Kẻ đường cao RH, ta cú . Xột DPTQ, ta cú : ; ị . Diện tớch tam giỏc PQR : . Bài 3: Cho tam giỏc ABD vuụng tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trờn cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nú cắt đường thẳng AC tại E. a) Tớnh AD. b) Tớnh cỏc gúc BAD, BAC. c) Chứng minh AC là tia phõn giỏc của gúc BAD. d) Chứng minh tam giỏc ADE cõn tại D. Giải :a) Áp dụng định lớ Pitago. Ta cú : b) Áp dụng tỉ số lượng giỏc. Ta cú : (*) c) Hạ . Ta cú : ( g-g) nờn (CH-CGV) Suy ra : (**) Từ (*) và (**). Ta cú : hay AC là tia phõn giỏc của . d) Mặt khỏc : ( cặp gúc soletrong) nờn hay cõn tại D. Bài 4: Cho ABC cú gúc A = 200 ; = 300 ; AB = 60cm . Đường cao kẻ từ C đến AB cắt AB tại P ( hỡnh vẽ) . Hóy tỡm a) Tớnh AP ? ; BP ? b) CP ? Hướng Dẫn a) Kẻ AH BC ; AHB tại H AH = AB . SinB = 60.Sin300 = 60. = 30 AHC ( = 1v) AH = AC. Cos400 AC = = = 39,164 APC cú ( = 1v) AP = AC.Cos 200 = 39,164 . 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP = 60 – 36,802 = 23, 198 b) APC ( = 1v) CP = AC. Sin200 = 39,164 . 0,342 = 13, 394 Bài 5: Cho rABC cú . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB. a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giỏc đều Giải : a) ( g-g) và chung Suy ra : Mặt khỏc : Hay HK = cosA.BC b) . Mặt khỏc : HM = KM = ( Tớnh chất đường trung tuyến trong tam giỏc vuụng) nờn HK = HM = KM hay rMKH là tam giỏc đều. Bài 6: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC. Nối AF và BE. a) Chứng minh AF = BE.cosC. b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tớnh diện tớch tứ giỏc ABFE. c) AF và BE cắt nhau tại O. Tớnh . Giải: a) ( g-g) nờn ( c -g- c) Vậy AF = BE.cosC b) Vỡ rABC (= 900 ). nờn AB = SinC. BC = 0,6.10 = 6cm. nờn AE = EC = 4cm. Mặt khỏc : EF = SinC. EC = 0,6. 4 = 2,4cm. ( Định lớ Pitago) SABFE = SABC - SCFE = = 20,16 (cm2) c) Hạ AH BE; FK BE. Ta cú : SABFE = SABE + SBFE = (1) mà + BE = ( Định lớ Pitago) (2) + ( g - g) và chung nờn ( c-g-c) nờn (3) Từ (1), (2) và (3). Ta cú : SinAOB = Bài 7: Cho tam giỏc vuụng ABC ( = 900 ). Lấy điểm M trờn cạnh AC. Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM. a) Chứng minh : . b) Chứng minh : . Giải: a) Ta cú : ( g - g) Vỡ ; ( cựng phụ với ) b) Từ cõu a), ta cú : mà Suy ra : (1) Mặt khỏc : ( g - g) = = ( 2) Thay (2) vào (1). Ta cú : Bài 8: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đ.chộo AC lớn hơn đ.chộo BD. Kẻ CH ^ AD và CK ^ AB. a) Chứng minh rCKH rBCA. b) Chứng minh . c) Tớnh diện tớch tứ giỏc AKCH biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm. GIẢI: a) ( g - g) Vỡ ( cựng bằng ) (*) Mặt khỏc : Xột tứ giỏc AKCH Ta cú : ; Suy ra : (**) Từ (*) và (**). Ta cú : rCKH rBCA( c-g-c). b) mà ( cặp gúc đồng vị) nờn c) SAKCH = SABCH + SBKC = = + = =2. ( 10+4cos600).sin600 + Bài 9: Cho hai hỡnh chữ nhật cú 2 kớch thước 3 và 5; 4 và 6 được đặt sao cho cỏc cạnh hỡnh chữ nhật song song với nhau. Tớnh diện tớch tứ giỏc ANCQ? Giải: Ta cú : SANCQ = SANQ + SCNQ = mà AH = ; ; + ( cặp gúc sole trong) = Ta chứng minh số đo khụng đổi. Thật vậy : ( Tớnh chất gúc ngoài đỉnh O) mà Suy ra : ( Cố định ) Vậy = = Và tgMQN = ; Vậy : = (cm2) Bài 10: Cho , trực tõm H là trung điểm của đường cao AD. Chứng minh: tgB.tgC = 2. Giải : ; nờn tgB.tgC = mà AD = 2HD nờn tgB.tgC = Bài tập 11: Cho . Tớnh số đo gúc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM. Giải: Ta cú : tg = Mặt khỏc : BH - HC = ( BM + MH) - ( MC - MH ) = 2MH. mà nờn MH = Vậy Bài 12: Cho , phõn giỏc AD, đường cao CH và trung tuyến BM gặp nhau tại một điểm. Chứng minh : aCosA = bCosB. Bài 13: a) Cho tam giỏc DEF cú ED = 7 cm, . Kẻ đường cao EI của tam giỏc đú. Hóy tớnh: a) Đường cao EI. b) Cạnh EF. b) Giải tam giỏc vuụng ABC, biết rằng , AB = 5, BC = 7. Giải: a) Áp dụng hệ thức lượng . Ta cú : + EI = sinD. DE = sin 400.7 (cm) + EF = (cm) b) CosB + Bài 14: Cho . Vẽ phõn giỏc AD, đường cao AH. a) Tớnh độ dài đoạn thẳng BD; DC. b) Từ H, kẻ HK AC. Chứng minh : . c) Tớnh độ dài đoạn thẳng AK và KC ? Giải : a) Áp dụng định lớ Pitago, ta cú : + Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc, ta cú : Suy ra : . CD = b) ( g-g) c) Ta cú : AH .BC = AB .AC Từ ; a) Áp dụng tớnh chất đường phõn giỏc, ta cú : Vậy CosB = 0,25 + nờn AB = + Áp dụng cụng thức tớnh chiều dài đường phõn giỏc trong. Ta cú : hay AC = Cõu 4 1)Cho tam giỏcABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn AB và AC. Chứng minh: a) DE2=BH.HC b) AH3=BC.BD.CE 2)Cho tam giỏc ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh Kẻ phõn giỏc AD của kẻ BE AD; CF AD BED vuụng tại E BE BD CFD vuụng tại F CF CD BE + CF BD + CD = a 0.5 điểm ABE (= 1v) BE = AB. SinA1 = c. sin 0.5 điểm ACF (= 1V) CF = AC. SinA2 = b. sin 0.5 điểm BE + CF = (b + c) sin a sin 0.5 điểm Cõu 4. (2,5 điểm) Cho ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của điểm H trờn cạnh AB và AC. a) Chứng minh rằng: EA.EB + FA.FC = HB.HC b) Xỏc định số đo của sao cho SinB + CosB đạt giỏ trị lớn nhất. Cõu 5. (1,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn ở A và cú =1000. Đường phõn giỏc của gúc cắt cạnh AC ở D. Chứng minh rằng: BD + DA = BC. Bài 4 ( 3 điểm ): Cho DABC vuụng cõn tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điờ̉m của AH, E là hình chiờ́u của M trờn AB. EM cắt BC tại D. Chứng minh rằng: a/ AE = AB b/ DAEH ∽ DCAD c/ Đường thẳng qua C và vuụng gúc với EH cắt AB tại K. c/m: BM // KH a) DE ^ AB ị DE ∥AC ị = = b) C/m : = ị D AEH ∽ D CDA ( c.g.c ) c) C/m : D KBC ∽ D EMH (g.g) ị = = ị BK = AB ị BM ∥KH Bài 4( 3,5 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD. Trờn cạnh BC lấy điểm M, trờn cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuụng gúc với AK cắt CD tại I. 1.Chứng minh : 2.Biếtsố đo =450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm.Tớnh số đo =? 3. Từ điểm O trong tam giỏc AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuụng gúc với IK, AK, AI ( P IK, QAK, R AI). Xỏc định vị trớ điểm O để đạt giỏ trị nhỏ nhất. a)Ta có Trong tam giác AIK vuông tại A ta có: . và AB = AD Từ (1) và (2) b)Kẻ AH vuông góc với MN . Do CM + CN =7 và CN- CM=1cmCN=4cm; CM= 3cm, MN = 5 cm Ta có mà Ta lại có : và CM+MB = CN + ND CN- CM = MB- ND =1 DN =2cm; BM =3cm; BC = AD = AH = 6 cm -Tan AMH = => = . Hay = . Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD.

Tài liệu đính kèm:

• Bai_tap_chuong_I_hinh_9.doc

Đề thi liên quan

• Đề thi chọn giáo viên giỏi cấp trường năm học 2015 - 2016 môn Toán - Trường PTDTBT THCS Trung Thượng

  Lượt xem: 1069 Lượt tải: 1

• Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Thái Bình môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Thái Bình (Có đáp án)

  Lượt xem: 129 Lượt tải: 0

• Đề kiểm tra chất lượng học kỳ I năm học: 2016 - 2017 môn: Toán học 9

  Lượt xem: 706 Lượt tải: 0

• Đề thi tuyển sinh 10 THPT môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Hải Dương (Có đáp án)

  Lượt xem: 12 Lượt tải: 0

• Đề thi chọn HSG lớp 9 vòng huyện năm học: 2011- 2012 môn: Toán

  Lượt xem: 5642 Lượt tải: 0

• Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bắc Ninh môn Toán

  Lượt xem: 1102 Lượt tải: 1

• Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Hoàng Hoa Thám (Có đáp án)

  Lượt xem: 84 Lượt tải: 0

• Kiểm tra 1 tiết môn: Hình học khối lớp 9

  Lượt xem: 697 Lượt tải: 0

• Đề tham khảo thi giải toán trên máy tính cầm tay năm học: 2014-2015 Trường THCS Tân Bình

  Lượt xem: 1311 Lượt tải: 1

• Đề kiểm tra học kỳ I năm học 2016 - 2017 môn: Toán lớp 9 - Mã đề: 340

  Lượt xem: 904 Lượt tải: 3

Copyright © 2024 ThuVienDeThi.com, Thư viện đề thi mới nhất, Đề kiểm tra, Đề thi thử