Bài Tập Hệ Thức Vi-et Và Các ứng Dụng - Toán 9

Trang chủ » định Lý Viet Và ứng Dụng Lớp 9 » Bài Tập Hệ Thức Vi-et Và Các ứng Dụng - Toán 9

Có thể bạn quan tâm

Bài tập hệ thức Vi-et là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10 môn Toán.

Bài tập về hệ thức Viet tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, ví dụ minh họa, các dạng bài tập tự luyện kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập hệ thức Vi-et. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc -1 Vi du 1: Nhầm nghiệm của các phương trình sau:

a) 3 x^{2}+8 x-11=0\(3 x^{2}+8 x-11=0\)

b) 2 x^{2}+5 x+3=0\(2 x^{2}+5 x+3=0\)

1.2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số cho biết, cho truớc một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:

Vi dụ 2:

a) Phương trình x^{2}-2 p x+5=0\(x^{2}-2 p x+5=0\) có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.

b) Phương trình x^{2}+5 x+q=0\(x^{2}+5 x+q=0\) có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

c) Phương trình x^{2}-7 x+q=0\(x^{2}-7 x+q=0\) biết hiệu hai nghiệm bằng 11 . Tìm q và hai nghiệm của phương trình

d) Phương trình x^{2}-q x+50=0\(x^{2}-q x+50=0\) có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó.

Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình

a) 5x^{2}+24 x+19=0\(x^{2}+24 x+19=0\)

b) x^{2}-(m+5) x+m+4=0\(x^{2}-(m+5) x+m+4=0\)

Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình

a) x^{2}+m x-35=0\(x^{2}+m x-35=0\) biết một nghiệm bằng -5

b) 2 x^{2}-(m+4) x+m=0\(2 x^{2}-(m+4) x+m=0\) biết một nghiệm bằng -3

c) m x^{2}-2(m-2) x+m-3=0\(m x^{2}-2(m-2) x+m-3=0\) biết một nghiệm bằng 3

2. Dạng 2: Lập phương trình bậc hai

2.1. Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Vi dụ 1: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2

Ví dụ 2: Cho \mathrm{x}_{1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} ; \mathrm{x}_{2}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}\(\mathrm{x}_{1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} ; \mathrm{x}_{2}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}\)

Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm: \mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2}.\(\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2}.\)

2.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.

Vi dụ 1: Cho phương trình x^{2}-3 x+2=0\(x^{2}-3 x+2=0\) có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}.\(x_{1} ; x_{2}.\)

Vi dụ 2: Cho phương trình 3 x^{2}+5 x-6=0\(3 x^{2}+5 x-6=0\) có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}.\(x_{1} ; x_{2}.\) . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y_{1}=x_{1}+\frac{1}{x_{2}} ; y_{2}=x_{2}+\frac{1}{x_{1}}\(y_{1}=x_{1}+\frac{1}{x_{2}} ; y_{2}=x_{2}+\frac{1}{x_{1}}\)

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: \mathrm{x}^{2}+\mathrm{px}+\mathrm{q}=0\(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{px}+\mathrm{q}=0\) sao cho hai nghiệm x_{1} ; x_{2}.\(x_{1} ; x_{2}.\) của phương trình thoả mãn hệ:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}=5 \\ \mathrm{x}_{1}^{3}-\mathrm{x}_{2}^{3}=35\end{array}\right.\(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}=5 \\ \mathrm{x}_{1}^{3}-\mathrm{x}_{2}^{3}=35\end{array}\right.\)

* Bài tập áp dụng:

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:

a) 8 và -3

b) 36 và -104

c) 1+\sqrt{2} và 1-\sqrt{2}\(1+\sqrt{2} và 1-\sqrt{2}\)

d) \sqrt{2}+\sqrt{3}\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) và \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\)

Bài 2: Cho phương trình x^{2}-5 x-1=0\(x^{2}-5 x-1=0\) có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\). Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y_{1}=x_{1}^{4} ; y_{2}=x_{2}^{4}\(y_{1}=x_{1}^{4} ; y_{2}=x_{2}^{4}\)

Bài 3: Cho phương trình x^{2}-2 x-8=0\(x^{2}-2 x-8=0\) có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y_{1}=x_{1}-3 ; y_{2}=x_{2}-3\(y_{1}=x_{1}-3 ; y_{2}=x_{2}-3\)

Bài 4: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương x^{2}+m x-2=0\(x^{2}+m x-2=0\)

Bài 5: Cho phương trình x^{2}-2 x-m^{2}=0\(x^{2}-2 x-m^{2}=0\) có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\). Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y_{1}=2 x_{1}-1 ; y_{2}=2 x_{2}-1\(y_{1}=2 x_{1}-1 ; y_{2}=2 x_{2}-1\)

Bài 6: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn \left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=2 \\ x_{1}^{3}-x_{2}{ }^{3}=26\end{array}\right.\(\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=2 \\ x_{1}^{3}-x_{2}{ }^{3}=26\end{array}\right.\)

3. Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

Ví du 1: Tìm hai số a và b biết S=a+b=-3, P=a b=-4

Ví dụ 2: Tìm hai số a và b biết S=a+b=3, P=a b=6

* Bài tập áp dụng:

1: Tìm hai số biết tổng S =9 và tích P=20

2. Tìm x, y biết

a) x+y=11 ; x y=28

b) x-y=5 ; x y=66

Bài 3: Tìm hai số x, y biết: x^{2}+y^{2}=25 ; x y=12\(x^{2}+y^{2}=25 ; x y=12\)

4. Dạng 4: Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.

4.1. Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm.

Ví dụ

1: Cho phương trình x^{2}-8 x+15=0\(x^{2}-8 x+15=0\) có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) hãy tính

a) x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\)

b) \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\)

c) \frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}\(\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}\)

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho phương trình 8 x^{2}-72 x+64=0\(8 x^{2}-72 x+64=0\) có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) hãy tính

a) x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\(a) x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\)

b) \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\(b) \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}\)

Bài 2: Cho phương trình x^{2}-14 x+29=0\(x^{2}-14 x+29=0\) có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) hãy tính

a) x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\(a) x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\)

b) \frac{1-x_{1}}{x_{1}}+\frac{1-x_{2}}{x_{2}}\(b) \frac{1-x_{1}}{x_{1}}+\frac{1-x_{2}}{x_{2}}\)

4.2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc tham Số

Ví dụ 1: Cho Phương trình m x^{2}-(2 m+3) x+m-4=0\(m x^{2}-(2 m+3) x+m-4=0\) (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\)

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) không phụ thuộc vào m

Ví dụ 2: Gọi x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) là nghiệm của phương trình (m-1) x^{2}-2 m x+m-4=0\((m-1) x^{2}-2 m x+m-4=0\)

Chứng minh biểu thức A=3\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-8\(A=3\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-8\) không phụ thuộc giá trị của m

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho phương trình x^{2}-(m+2) x+2 m-1=0\(x^{2}-(m+2) x+2 m-1=0\) có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\). Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m

Bài 2:

Cho phương trình x^{2}-2(m+1) x+m^{2}-1=0 (1)\(x^{2}-2(m+1) x+m^{2}-1=0 (1)\)

a) Giải phương trình (1) khi m=7

b) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) của (1) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m

4.3. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước.

Ví dụ 1: Cho phương trình m x^{2}-6(m-1) x+9(m-3)=0\(m x^{2}-6(m-1) x+9(m-3)=0\). Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệmx_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn x_{1}+x_{2}=x_{1} x_{2}\(x_{1}+x_{2}=x_{1} x_{2}\)

Ví dụ 2: Cho phương trình m x^{2}-2(m-4) x+m+7=0\(m x^{2}-2(m-4) x+m+7=0\). Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn x_{1}-2 x_{2}=0\(x_{1}-2 x_{2}=0\)

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 3 x^{2}+4(m-1) x+m^{2}-4 m+1=0\(3 x^{2}+4(m-1) x+m^{2}-4 m+1=0\) có hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)\)

Ví dụ 4: Cho phương trình x^{2}-2(m-1) x+2 m-5=0\(x^{2}-2(m-1) x+2 m-5=0\)

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm \mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2}\(\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2}\) với mọi m

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm \mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2}\(\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2}\) thỏa mãn điều kiện:

Bài tập áp dụng:

\left(x_{1}^{2}-2 m x_{1}+2 m-1\right)\left(x_{2}^{2}-2 m x_{2}+2 m-1\right)<0\(\left(x_{1}^{2}-2 m x_{1}+2 m-1\right)\left(x_{2}^{2}-2 m x_{2}+2 m-1\right)<0\)

Bài 1: Cho phương trình x^{2}+(m-1) x+5 m-6=0\(x^{2}+(m-1) x+5 m-6=0\). Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn 4 x_{1}+3 x_{2}=1\(4 x_{1}+3 x_{2}=1\)

Bài 2: Cho phương trình m x^{2}-2(m-1) x+3(m-2)=0\(m x^{2}-2(m-1) x+3(m-2)=0\). Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x_{1} ; x_{2}\(x_{1} ; x_{2}\) thỏa mãn x_{1}+2 x_{2}=1\(x_{1}+2 x_{2}=1\)

Bài 3: Cho phương trình x^2-2 m x+4 m-3=0\(x^2-2 m x+4 m-3=0\)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm \mathrm{x}_1,\mathrm{x}_2\(\mathrm{x}_1,\mathrm{x}_2\) thỏa mãn:\mathrm{x}_1{ }^2+\mathrm{x}^2{ }_2=6\(\mathrm{x}_1{ }^2+\mathrm{x}^2{ }_2=6\)

Bài 4: Cho phương trình x^2+(2 m-1) x-m=0\(x^2+(2 m-1) x-m=0\)

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1 ; x_2\(x_1 ; x_2\) thỏa mãn x_1-x_2=1\(x_1-x_2=1\)

Bài 5: Cho phương trình x^2-(2 m+1) x+m^2+2=0\(x^2-(2 m+1) x+m^2+2=0\). Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x_1 ; x_2\(x_1 ; x_2\) thỏa mãn 3 x_1 x_2-5\left(x_1+x_2\right)+7=0.\(3 x_1 x_2-5\left(x_1+x_2\right)+7=0.\)

Bài 6: Cho phương trình 8 x^2-8 x+m^2+1=0\left(^*\right) ( \mathrm{x}\(8 x^2-8 x+m^2+1=0\left(^*\right) ( \mathrm{x}\) là ẩn số)

Định m để phương trình có hai nghiệm x_1, x_2\(x_1, x_2\) thỏa điều kiện:

x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3\(x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3\)

Bài 7: Cho phương trình:3 x^2-(3 m-2) x-(3 m+1)=0.\(3 x^2-(3 m-2) x-(3 m+1)=0.\)

Tìm m để 2 nghiệm x_1 và x_2\(x_1 và x_2\) thoả mãn hệ thức: 3 x_1-5 x_2=6\(3 x_1-5 x_2=6\)

Bài 8: Cho phương trình: \mathrm{x}^2-(\mathrm{m}+1) \mathrm{x}+\mathrm{m}-5=0.\(\mathrm{x}^2-(\mathrm{m}+1) \mathrm{x}+\mathrm{m}-5=0.\)

Xác định tham số m để phương trình có hai nghiệm \mathrm{x}_1, \mathrm{X}_2\(\mathrm{x}_1, \mathrm{X}_2\) thỏa mãn \left\{\begin{array}{l}x_1-x_2=4 \\ x_1^3-x_2^3=32\end{array}\right.\(\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2=4 \\ x_1^3-x_2^3=32\end{array}\right.\)

Bài 9: Định m để phương trình \mathrm{x}^2-(\mathrm{m}-1) \mathrm{x}+2 \mathrm{~m}=0\(\mathrm{x}^2-(\mathrm{m}-1) \mathrm{x}+2 \mathrm{~m}=0\) có hai nghiệm phân biệt \mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2\(\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2\) là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 .

Bài 10: Cho phương trình x^2-2(m+1) x+4 m=0 \quad (1)\(x^2-2(m+1) x+4 m=0 \quad (1)\)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm \mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2\(\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2\) thỏa mãn \left(\mathrm{x}_1+\mathrm{m}\right)\left(\mathrm{x}_2+\mathrm{m}\right)=3 \mathrm{~m}^2+12\(\left(\mathrm{x}_1+\mathrm{m}\right)\left(\mathrm{x}_2+\mathrm{m}\right)=3 \mathrm{~m}^2+12\)

Bài 11: Cho phương trình x^2-3 x+m=0\(x^2-3 x+m=0\) (1) ( x là ấn).

Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x_1, x_2\(x_1, x_2\) thỏa mãn \sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}=3 \sqrt{3}\(\sqrt{x_1^2+1}+\sqrt{x_2^2+1}=3 \sqrt{3}\)

Bài 12: Cho phương trình: x^2-2 m x+m^2-m+1=0\(x^2-2 m x+m^2-m+1=0\)

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm \mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2\(\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2\) thỏa mãn: \mathrm{x}_1^2+2 \mathrm{mx_{2 }}=9\(\mathrm{x}_1^2+2 \mathrm{mx_{2 }}=9\)

..................

Mời các bạn tải file tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Từ khóa » định Lý Viet Và ứng Dụng Lớp 9