Bài Tập Hệ Tọa độ Trong Không Gian Trong đề Thi Đại Học Có Lời Giải (4 ...

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

• HOT Ra mắt Sách tổng ôn 12 (2k8) toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Trang trước Trang sau

Bài viết Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp môn Toán với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Hệ tọa độ trong không gian.

• Cộng, trừ hai vecto. Tìm tọa độ của điểm, vecto thỏa mãn điều kiện T
• Hai vecto cùng phương. Sự đồng phẳng của ba vecto
• Tích vô hướng của hai vecto và góc giữa hai đường thẳng
• Tích có hướng của hai vecto và ứng dụng

(4 dạng) Bài tập Hệ tọa độ trong không gian ôn thi Tốt nghiệp

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST

Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Dạng 1. Cộng, trừ hai vecto. Tìm tọa độ của điểm, vecto thỏa mãn điều kiện T.

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

Tính chất: Cho

M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0

Tính chất: Cho A(xA; yA; zA); B(xB; yB; zB)

• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A( 1; 2; 3); B( -1; 2; 0) và C(3; 2; -3) và G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P= a+ b+ c?

A. P = 0 B. P = 3 C. P = 2 D. P = 9

Hướng dẫn giải:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên

=> G( 1; 2; 0)

Vậy P= 1+ 2+ 0= 3.

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ . Tính tọa độ vectơ

A. (0; -1; -5) B. (2; -1; 1) C. (2; 3; 1) D. (0; -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Do nên tọa độ b(1; 1; -2)

Suy ra: = (1+1; 2+ 1; 3+ (-2)) = (2; 3; 1)

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a→ (1; 5; 2); ON→ (3; 7; -4). Gọi P là điểm đối xứng với M qua N. Tìm tọa độ điểm P.

A. P( 5; 9; 10). B. P(5; 9; -10) C. P(1; 2; - 4) D. P( -2; 1;1)

Hướng dẫn giải:

Ta có OM→ (1;5;2) nên tọa độ điểm M( 1; 5; 2); ON→ (3; 7; - 4) nên tọa độ điểm N(3; 7; -4).

Vì P là điểm đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP nên ta suy ra được

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(1;0;1); B’(2;1;2); D’(1; -1;1) ; C(4 ; 5 ; -5). Gọi tọa độ của đỉnh A’(a ; b ;c). Khi đó P = abc bằng

A. 1 B. 0 C. 2 D. 3

Hướng dẫn giải:

Ta có

Theo quy tắc hình hộp, ta có:

Vậy P= abc = 0

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 3); B(-2; 4; 1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. BA→ (4;4;2) B. M(0; 2; 2) C. AB = 6 D. AB→ (-4;4;-2)

Hướng dẫn giải:

Do M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là:

Độ dài đoạn thẳng AB là:

Tọa độ vecto AB→ (-4; 4; -2)

Chọn A

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho AM = √5 . Tọa độ của điểm M là

A. M(0; 0; 3) B. M(0; 0; 2) C.M( 0; 0; -3) D. M(0; 0; 2)

Hướng dẫn giải:

Do điểm M thuộc trục Oz nên tọa độ điểm M có dạng M(0; 0; m)

Theo giả thiết AM = √5 nên ta có:

⇔ 5+ (z – 3)2 = 5 ⇔ (z – 3)2 = 0

⇔ z= 3

Do đó, tọa độ điểm M cần tìm là M(0; 0; 3)

Chọn A.

Dạng 2. Hai vecto cùng phương. Sự đồng phẳng của ba vecto

1. Phương pháp giải

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho a→(a1; a2; a3), b→(b1; b2; b3); k ∈ R. Khi đó:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vecto u→ (m; -2; m+1) và v→(3; -2m – 4; 6). Tìm tất cả các giá trị của m để hai vecto u→, v→ cùng phương.

A. m = 0 B. m = 2 C. m = 1 D. m = -1

Hướng dẫn giải:

* Trường hợp 1. Nếu m = -2. Khi đó,

* Trường hợp 2: Nếu m ≠ -2 thì để hai vecto đã cho cùng phương khi và chỉ khi:

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2; -1); B( 5;4; 3). Gọi điểm M thuộc tia đối của tia BA sao cho AM/MB = 2. Tọa độ của điểm M là

A. (3; 4; 4) B. (-2; 1; 3) C. (7;6; 7) D. (11; -1; 9)

Hướng dẫn giải:

Gọi M(x; y; z). Do điểm M thuộc tia đối của BA và

Ta có:

Do đó, có hệ phương trình:

Vậy tọa độ điểm M( 7; 6; 7)

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); M(x; y; 1). Với giá trị nào của x và y thì ba điểm A,B, M thẳng hàng?

A. x = 4 và y= 7. B. x= -4 và y= - 7. C. x= 4 và y= - 7 D. x= - 4 và y= 7

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ba điểm A,B, M thẳng hàng khi AM→, AB→ cùng phương

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho a→(1;-3;2); b→(m+1;m-2;1-m); c→(0;m-2;2) . Tìm m để ba vectơ đó đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: [a→, b→] = (m+1; 3m+1; 4m+1)

Ba vectơ a→, b→, c→ đồng phẳng khi [a→, b→]c→ = 0

⇔ 0(m+ 1) + (m- 2).(3m+ 1) + 2(4m+ 1) = 0

⇔ 0+ 3m2 + m- 6m – 2 + 8m + 2= 0

⇔ 3m2 + 3m = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2; -3; 4); B(1; y; -1); C(x; 4; 3). Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì tổng giá trị P = 5x - y là:

A. - 41. B. - 40. C. - 23. D. -36

Hướng dẫn giải:

Có AB→(-1;y+3;-5); AC→(x-2;7;-1)

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì AB→ cùng phương AC→

* Trường hợp 1. Nếu x= 2 thì AC→ (0; 7; -1).

Ta thấy: không cùng phương trong trường hợp này.

* Trường hợp 2. Nếu x ≠ 2 => x - 2 ≠ 0.

Điều kiện để 2 vecto AB→;AC→ cùng phương là:

=> P = 5x- y = - 23

Chọn C

Dạng 3. Tích vô hướng của hai vecto và góc giữa hai đường thẳng.

1. Phương pháp giải

Cho a→(a1; a2; a3) ; b→(b1; b2; b3); k ∈ R

• Tích vô hướng của hai vecto là:

a→. b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

• Cosin góc tạo bởi hai vecto được xác định bởi:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A( -1; 2; 4); B(-1; 1; 4) và C(0; 0; 4). Tìm số đo của ∠ABC .

A. 135o B. 45o C. 60o D. 120o

Hướng dẫn giải:

Ta có:

=> ∠ABC = 1350

Chọn A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(2; 1; 1); B(1; 2; 1); C(0; 0; 1); D(-2; 1; -1). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A. 45o B. 60o C.90o D. 135o

Hướng dẫn giải:

Gọi φ là góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.

Ta có: AB→(-1;1;0); CD→(-2;1;-2)

Khi đó, cosin góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD là:

=> φ = 45o

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45o

Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(-4; 9; -9); B( 2; 12; -2); C( -m- 2; 1- m; m+ 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

A. m = 3 B. m = -3 C. m= 4 D. m = - 4

Hướng dẫn giải:

Ta có: BA→(-6;-3;-7); BC→(-m-4;-m-11;m+7)

Để tam giác ABC vuông tại B khi và chỉ khi: BA→ ⊥ BC→

⇔ BA→ . BC→ = 0 hay - 6( - m - 4) - 3( - m-11) – 7.(m+ 7) = 0

⇔ 6m+ 24 + 3m + 33 – 7m - 49 =0

Hay 2m + 8 = 0 ⇔ m = -4

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hai vectơ a→(1;1;-2); b→(1;0;m). Tìm m để góc giữa hai vecto đó bằng 450

A. m = 2 +√6 B. m = 2 - √6 C. m = 2 ±√6 D. m = 26

Hướng dẫn giải:

Ta cosin góc tạo bởi hai vecto đã cho là:

Để góc giữa hai vecto a→; b→ có số đo 45o thì

Chọn B .

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ giác ABCD có A(2; -1; 5); B(5; -5; 7); C(11; -1; 6) và D( 5; 7; 2). Tứ giác ABCD là hình gì?

A. Hình thang vuông. B. Hình thoi. C. Hình bình hành. D. Hình vuông.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB→(3;-4;2); BC→(6;4;-1);CD→(-6;8;-4)

Suy ra CD→ = -2AB→

+ Do đó,hai đường thẳng AB và CD song song với nhau.

=> tứ giác ABCD là hình thang.

+ Lại có:

AB→.BC→ = 3.6 + 4.(-4) + 2.(-1) = 0

=> AB ⊥ CD

=> ABCD là hình thang vuông.

Chọn A.

Dạng 4. Tích có hướng của hai vecto và ứng dụng

1. Phương pháp giải

Định nghĩa: Cho a→(a1; a2; a3); b→(b1; b2; b3) . Ta có:

Tính chất:

Ứng dụng:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;2;1); B(2;1;3); C(3;2;2). Diện tích tam giác ABC bằng

A. √11/2 . B. √3 . C. √13/2 . D. √14/2.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

+ Diện tích tam giác ABC là:

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 2; 1); B(-1; 2; 1) và C(-2;1; 2). Tính chiều cao AH của tam giác?

A. √2 B. √3 C. 2√2 D. √6

Hướng dẫn giải:

+ Diện tích tam giác ABC là:

Lại có:

Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1;2;1); B( 2;1; 3); C(3; 2;2) và D(1; 1; 1). Tính chiều cao DH của tứ diện

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

+ Diện tích tam giác ABC là:

Chọn A

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1;1;1); B(2;1;2); E(-1; 2; -2) và D(3; 1; 2). Khoảng cách từ A đến mp (DCGH) bằng

A. √3 B. √3/3 C. 2√3 D. 1/3

Hướng dẫn giải:

Thể tích của hình hộp ABCD.EFGH là:

+ Lại có:

+ Mặt khác

Chọn B

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxyz, cho A( 2;1; -1); B(3;0;1); C( 2; -1; 3), điểm D nằm trên trục Oy sao cho thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ điểm D là:

A. (0; -7; 0) B. (0; -7; 0) hoặc (0; 8; 0)

C.(0; 8; 0) D. (0; 7; 0) hoặc (0; - 8; 0)

Hướng dẫn giải:

Do điểm D thuộc trục Oy nên tọa độ điểm D( 0; y; 0).

Ta có: AB→(1;-1;2), AC→(0;-2;4); AD→(-2;y-1;1)

[AB→,AC→] = (0; -4; -2); [AB→,AC→]AD→ = 0.(-2)+ (- 4). (y - 1)+ (-2).1= 2- 4y

Do thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 nên ta có :

Vậy có 2 điểm D thỏa mãn là D1 (0; -7; 0) và D2(0; 8; 0)

Chọn B.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác MNP có ba đỉnh M(1; 2; 3); N(-1; 2; 0) và P(3; 2; -3) và G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P = abc?

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 3); B(-1; 4; -1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Tìm tọa độ điểm M?

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(2; -1; 5); N(5; -5; 7); E(x; y; 1). Với giá trị nào của x và y thì ba điểm E, M, N thẳng hàng?

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi P(a,b,c) là điểm đối xứng với M(1;5;2) qua N. Biết ON→=2;5;−4. Tìm P?

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm M(2; 1; 1); N(1; 2; 1); P(0; 0; 1); Q(-2; 1; -1). Tính góc giữa hai đường thẳng MN và PQ.

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:

• 21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)
• 21 dạng bài tập Viết phương trình mặt phẳng ôn thi Tốt nghiệp có lời giải (Phần 2)
• 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)
• 19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng ôn thi Tốt nghiệp có lời giải (phần 2)
• 4 dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu ôn thi Tốt nghiệp (có lời giải)

👉 Giải bài nhanh với AI Hay:

• HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2026 cho 2k8:

• Sổ tay toán, lý, hóa, văn, sử, địa 12 (29k/ 1 cuốn)
• Tổng ôn tốt nghiệp 12 toán, sử, địa, kinh tế pháp luật.... (80k/1 cuốn)
• 30 đề Đánh giá năng lực đại học quốc gia Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2026 (cho 2k8)

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 12 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 12 Friends Global
• Lớp 12 Kết nối tri thức
• Soạn văn 12 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 12 - KNTT
• Giải sgk Vật Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 12 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 12 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 12 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - KNTT
• Giải sgk Tin học 12 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 12 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 12 - KNTT
• Giải sgk Mĩ thuật 12 - KNTT
• Lớp 12 Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 12 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 12 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 12 - CTST
• Giải sgk Vật Lí 12 - CTST
• Giải sgk Hóa học 12 - CTST
• Giải sgk Sinh học 12 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 12 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 12 - CTST
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - CTST
• Giải sgk Tin học 12 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 12 - CTST
• Lớp 12 Cánh diều
• Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 12 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải sgk Vật Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 12 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 12 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 12 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 12 - Cánh diều