Bài Tập Mũ Logarit Lũy Thừa Vận Dụng Cao Có đáp án Chi Tiết

Bài tập mũ logarit lũy thừa vận dụng cao - khó có đáp án chi tiết

Ở phần này ta xét một số Bài tập ở mức độ vận dụng, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit ở các chủ đề sau.

Một số bài tập trắc nghiệm VDC chương 2 lớp 12 có Lời giải chi tiết

Bài tập 1:[Đề thi thử nghiệm Bộ giáo dục 2017] Xét các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>b>1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của biểu thức $P=\log _{\frac{a}{b}}^{2}\left( {{a}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right).$ A. ${{P}_{\min }}=19.$ B. ${{P}_{\min }}=16.$ C. ${{P}_{\min }}=14.$ D. ${{P}_{\min }}=15.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $P={{\left( 2{{\log }_{\frac{a}{b}}}a \right)}^{2}}+3\left( {{\log }_{b}}a-1 \right)=\frac{4}{{{\left( {{\log }_{a}}\frac{a}{b} \right)}^{2}}}+\frac{3}{{{\log }_{a}}b}-3=\frac{4}{{{\left( 1-{{\log }_{a}}b \right)}^{2}}}+\frac{3}{{{\log }_{a}}b}-3$

Đặt $t={{\log }_{a}}b$ (Do $a>b>1\Rightarrow 0<t<1).$ Xét $f\left( t \right)=\frac{4}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}+\frac{3}{t}-3$

Khi đó $f'\left( t \right)=\frac{-8}{{{\left( t-1 \right)}^{3}}}-\frac{3}{{{t}^{2}}}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}.$ Ta có: $\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=\underset{t\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty ;f\left( \frac{1}{3} \right)=15$

Do đó ${{P}_{\min }}=15.$ Chọn D.

Bài tập 2: Cho các số thực dương $1>a>b>0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=-3{{\log }_{{{a}^{4}}}}\frac{a}{b}+\log _{b}^{2}\left( ab \right).$ A. ${{P}_{\min }}=3$ B. ${{P}_{\min }}=4$ C. ${{P}_{\min }}=\frac{5}{2}$ D. ${{P}_{\min }}=\frac{3}{2}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $P=-\frac{3}{4}{{\log }_{a}}\frac{a}{b}+{{\left( {{\log }_{b}}\left( ab \right) \right)}^{2}}=\frac{-3}{4}\left( 1-{{\log }_{a}}b \right)+{{\left( {{\log }_{b}}a+1 \right)}^{2}}$

Đặt $t={{\log }_{b}}a$ $\left( 0<t<1 \right)$ ta có: $P=\frac{-3}{4}\left( 1-\frac{1}{t} \right)+{{\left( t+1 \right)}^{2}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4t}+{{t}^{2}}+2t=f\left( t \right)$

Khi đó $f'\left( t \right)=\frac{-3}{4{{t}^{2}}}+2t+2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}.$ Lại có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty ;\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=4;f\left( \frac{1}{2} \right)=3$

Do đó ${{P}_{\min }}=3$ khi $t=\frac{1}{2}.$ Chọn A.

Bài tập 3: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Xét các số thực dương $a,b$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}\frac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a+2b.$ A. ${{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{10}-3}{2}.$ B. ${{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{10}-5}{2}.$ C. ${{P}_{\min }}=\frac{3\sqrt{10}-7}{2}.$ D. ${{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{10}-1}{2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\log }_{2}}\frac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 1-ab \right)-{{\log }_{2}}\left( a+b \right)=2ab-2+a+b-1$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 1-ab \right)+1+2\left( 1-ab \right)={{\log }_{2}}\left( a+b \right)+a+b\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2\left( 1-ab \right) \right]+2\left( 1-ab \right)={{\log }_{2}}\left( a+b \right)+a+b$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ $\left( t>0 \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ $\left( \forall t>0 \right)$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$ Khi đó $f\left[ 2\left( 1-ab \right) \right]=f\left( a+b \right)\Leftrightarrow 2\left( 1-ab \right)=a+b.$

Suy ra $2ab+a+b=2\Rightarrow a=\frac{2-b}{1+2b}\Rightarrow P=\frac{2-b}{1+2b}+2b\Rightarrow P'=\frac{-5}{{{\left( 1+2b \right)}^{2}}}+2=0\Rightarrow b=\frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{5}{2}}-1 \right)$

Khi đó ${{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{10}-3}{2}.$ Chọn A.

Bài tập 4: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của $P=x+y$ A. ${{P}_{\min }}=\frac{9\sqrt{11}-19}{9}.$ B. ${{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{11}-3}{3}.$ C. ${{P}_{\min }}=\frac{18\sqrt{11}-29}{21}.$ D. ${{P}_{\min }}=\frac{9\sqrt{11}+19}{9}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\log }_{3}}\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 1-xy \right)-{{\log }_{3}}\left( x+2y \right)+3-3xy+1=x+2y$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}3\left( 1-xy \right)+3-3xy={{\log }_{3}}\left( x+2y \right)+x+2y.$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ $\left( t>0 \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 3+1}>0$ $\left( \forall t>0 \right)$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$ Do đó $f\left( 3-3xy \right)=f\left( x+2y \right)\Leftrightarrow 3-3xy=x+2y$

Khi đó $x\left( 1+3y \right)=3-2y\Rightarrow P=y+\frac{3-2y}{1+3y}\Rightarrow P'\left( y \right)=1-\frac{11}{{{\left( 1+3y \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow y=\frac{-1+\sqrt{11}}{3}$ (do $y>0).$

Từ đó suy ra ${{P}_{\min }}=P\left( \frac{-1+\sqrt{11}}{3} \right)=\frac{2\sqrt{11}-3}{3}.$ Chọn B.

Bài tập 5: Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn ${{\log }_{4}}\left( x+y \right)+{{\log }_{4}}\left( x-y \right)\ge 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{Min}}$ của $P=2x-y$ A. ${{P}_{\min }}=4.$ B. ${{P}_{\min }}=-4.$ C. ${{P}_{\min }}=2\sqrt{3}.$ D. ${{P}_{\min }}=\frac{10\sqrt{3}}{3}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\log }_{4}}\left( x+y \right)+{{\log }_{4}}\left( x-y \right)\ge 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}\ge 4\Rightarrow x\ge \sqrt{{{y}^{2}}+4}$

Do đó $P\ge 2\sqrt{{{y}^{2}}+4}-y=f(y).$ . Khi đó $P'=\frac{2y}{\sqrt{{{y}^{2}}+4}}-1=0\xrightarrow{y>0}y=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Suy ra ${{P}_{\min }}=2\sqrt{3}.$ Chọn C.

Bài tập 6: Cho hai số thực dương $x,y$ thay đổi thỏa mãn hệ thức $3+\ln \frac{x+y+1}{3xy}=9xy-3x-3y.$ Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $P=xy.$ A. $m=\frac{1}{3}.$ B. $m=1.$ C. $m=\frac{1}{2}.$ D. $m=0.$

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết, ta có $3+\ln \frac{x+y+1}{3xy}=9xy-3x-3y\Leftrightarrow 3+\ln \left( x+y+1 \right)-\ln \left( 3xy \right)=9xy-3x-3y$

$\Leftrightarrow \ln \left( x+y+1 \right)+3\left( x+y+1 \right)=\ln \left( 3xy \right)+3\left( 3xy \right)\Leftrightarrow f\left( x+y+1 \right)=f\left( 3xy \right)\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)=\ln t+3t$ với $t>0,$ ta có $f'\left( t \right)=3+\frac{1}{t}>0;\forall t>0\Rightarrow f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến.

Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow x+y+1=3xy\Leftrightarrow 3xy-1=x+y\underbrace{\ge }_{AM-GM}2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 3xy-2\sqrt{xy}-1\ge 0.$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{xy}-1 \right)\left( 3\sqrt{xy}+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{xy}\ge 1\Leftrightarrow xy\ge 1\Rightarrow {{P}_{\min }}=1\Rightarrow m=1.$ Chọn B.

Bài tập 7: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>1,b>1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{27}{2}{{\left( 2.lo{{g}_{ab}}a+{{\log }_{ab}}b \right)}^{2}}+4{{\log }_{a}}ab.$ A. ${{P}_{\min }}=36.$ B. ${{P}_{\min }}=24.$ C. ${{P}_{\min }}=32.$ D. ${{P}_{\min }}=48.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $P=\frac{27}{2}{{\left( 2.lo{{g}_{ab}}a+{{\log }_{ab}}b \right)}^{2}}+4{{\log }_{a}}ab=\frac{27}{2}{{\left( \frac{2}{{{\log }_{a}}ab}+\frac{1}{{{\log }_{b}}ab} \right)}^{2}}+4.{{\log }_{a}}b+4.$

Đặt $t={{\log }_{a}}b$ $\left( t>0 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=\frac{1}{t},$ khi đó $P=\frac{27}{2}.{{\left( \frac{2}{t+1}+\frac{t}{t+1} \right)}^{2}}+4t+4=\frac{27}{2}.{{\left( \frac{t+2}{t+1} \right)}^{2}}+4t+4.$

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{27}{2}.{{\left( \frac{t+2}{t+1} \right)}^{2}}+4t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$

Ta có $f'\left( t \right)=\frac{\left( t-2 \right){{\left( 2t+5 \right)}^{2}}}{{{\left( t+1 \right)}^{3}}};f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2.$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng $f\left( t \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $f\left( 2 \right)=32\Rightarrow {{P}_{\min }}=36.$

Chọn A.

Bài tập 8: Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn các điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$ và ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\left( a+b \right)\ge 1.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=2a+4b-3$ là: A. $\sqrt{10}$ B. $\frac{1}{\sqrt{10}}$ C. $\frac{1}{2}\sqrt{10}$ D. $2\sqrt{10}$

Lời giải chi tiết:

Do ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$ và ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\left( a+b \right)\ge 1$ nên $a+b\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\le \frac{1}{2}\left( 1 \right)$

Ta có: $a+2b=\left[ \left( a-\frac{1}{2} \right)+2\left( b-\frac{1}{2} \right) \right]+\frac{3}{2}\left( 2 \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho hai dãy số $a-\frac{1}{2},b-\frac{1}{2}$ và $1,2$ ta có:

$\left[ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\ge {{\left[ \left( a-\frac{1}{2} \right)+2\left( b-\frac{1}{2} \right) \right]}^{2}}$

$\Leftrightarrow 5\left[ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]\ge {{\left( a+2b-\frac{3}{2} \right)}^{2}}\text{ }\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có: $5.\frac{1}{2}\ge {{\left( a+2b-\frac{3}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow a+2b-\frac{3}{2}\le \frac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow 2a+4b-3\le \sqrt{10}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align} & \frac{a-\frac{1}{2}}{1}=\frac{b-\frac{1}{2}}{2} \\ & {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=\frac{5+\sqrt{10}}{10} \\ & b=\frac{5+2\sqrt{10}}{10} \\ \end{align} \right..$ Chọn A.

Bài tập 9: Xét các số thực $a,b$ thỏa mãn $a\ge b>1.$ Biết rằng biểu thức $P=\frac{1}{{{\log }_{ab}}a}+\sqrt{{{\log }_{a}}\frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $b={{a}^{k}}.$ Khẳng định nào sau đây đúng? A. $k\in \left( 0;\frac{3}{2} \right).$ B. $k\in \left( -1;0 \right).$ C. $k\in \left( \frac{3}{2};2 \right).$ D. $k\in \left( 2;3 \right).$

Lời giải chi tiết:

Với điều kiện $a\ge b>1$ và $b={{a}^{k}}\Rightarrow k={{\log }_{a}}b\Rightarrow k\in \left( 0;1 \right].$

Với $b={{a}^{k}}$ thế vào biểu thức $P$, ta được $P={{\log }_{a}}ab+\sqrt{{{\log }_{a}}\frac{a}{b}}=1+{{\log }_{a}}b+\sqrt{1-{{\log }_{a}}b}$

$\Rightarrow P=1+{{\log }_{a}}{{a}^{k}}+\sqrt{1-{{\log }_{a}}{{a}^{k}}}=1+k+\sqrt{1-k}.$ Khi đó ${{P}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left\{ f\left( k \right)=1+k+\sqrt{1-k} \right\}}_{\max }}.$

Xét hàm số $f\left( k \right)$ trên khoảng $\left( 0;1 \right],$ ta có $f'\left( k \right)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-k}};f'\left( k \right)=0\Leftrightarrow k=\frac{3}{4}.$

Vậy giá trị lớn nhất của $f\left( k \right)$ bằng $f\left( \frac{3}{4} \right)=\frac{9}{4}.$ Dấu = xảy ra khi $k=\frac{3}{4}\in \left( 0;\frac{3}{2} \right).$ Chọn A.

Bài tập 10: Cho $x,y>0$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}{{\left[ \left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \right]}^{y+1}}=9-\left( x-1 \right)\left( y+1 \right).$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+2y.$ A. ${{P}_{\min }}=\frac{11}{2}.$ B. ${{P}_{\min }}=\frac{27}{5}.$ C. ${{P}_{\min }}=\frac{-1+6\sqrt{3}}{2}.$ D. ${{P}_{\min }}=-3+6\sqrt{2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\log }_{3}}{{\left[ \left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \right]}^{y+1}}=9-\left( x-1 \right)\left( y+1 \right)\Leftrightarrow \left( y+1 \right){{\log }_{3}}\left[ \left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \right]=9-\left( x-1 \right)\left( y+1 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( y+1 \right)=\frac{9}{y+1}-\left( x-1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x+1=2-{{\log }_{3}}\left( y+1 \right)+\frac{9}{y+1}$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x+1={{\log }_{3}}\left( \frac{9}{y+1} \right)+\frac{9}{y+1}$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t\left( t\in \left( 0;+\infty \right) \right)$ ta có: $f'\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 3}+1>0\left( \forall t\in \left( 0;+\infty \right) \right).$

Do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$

Khi đó $f\left( x+1 \right)=f\left( \frac{9}{y+1} \right)\Leftrightarrow x+1=\frac{9}{y+1}\Rightarrow P=\frac{9}{y+1}-1+2y=2\left( y+1 \right)+\frac{9}{y+1}-3$

Mặt khác $2\left( y+1 \right)+\frac{9}{y+1}\ge 2\sqrt{2\left( y+1 \right).\frac{9}{y+1}}=6\sqrt{2}\Rightarrow {{P}_{\min }}=6\sqrt{2}-3.$ Chọn D.