Bài Tập Nguyên Hàm Cơ Bản Có Lời Giải Chi Tiết – Vi Phân

Bài tập nguyên hàm cơ bản có Lời giải chi tiết – vi phân

Một số bài tập trắc nghiệm tìm họ nguyên hàm có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Tìm nguyên hàm$\int{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}}dx.$ A. $\frac{1}{\sin x+\cos x}+C.$ B. $\frac{-1}{\sin x+\cos x}+C.$ C. $\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C.$ D. $-\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $\int{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}}dx=-\int{\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}}dx=-\int{\frac{(\sin x+\cos x{)}'}{\sin x+\cos x}}dx$

$=-\int{\frac{d\left( \sin x+\cos x \right)}{\sin x+\cos x}}=-\ln \left| \sin x+\cos x \right|+C.$Chọn D.

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I=\int{\frac{x+1}{{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}}dx}.$ A. $-\frac{1}{2}\ln \left| {{x}^{2}}+2x \right|+C.$ B. $\frac{-1}{2{{x}^{2}}+4x}+C.$ C. $\frac{1}{{{x}^{2}}+2x}+C.$ D. $\frac{-2}{{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{3}}}+C.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\int{\frac{x+1}{{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{2x+2}{{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( {{x}^{2}}+2x \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+2x \right)}^{2}}}}$

Áp dụng $\int{\frac{du}{{{u}^{2}}}=\frac{-1}{u}+C}\Rightarrow I=\frac{-1}{2({{x}^{2}}+2x)}+C.$Chọn B.

Bài tập 3: Tìm nguyên hàm $I=\int{\frac{xdx}{\sqrt[3]{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}}.$ A.$\frac{3}{2}\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$ B. $\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}+C.$ C. $\frac{2}{3}\sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}+C.$ D. $\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}+C.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $I=\int{\frac{xdx}{\sqrt[3]{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{\sqrt[3]{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}}=\frac{1}{2}\int{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{-2}{3}}}d\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$

$=\frac{1}{2}.3.{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{\frac{1}{3}}}+C=\frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}+C.$Chọn B.

Bài tập 4: Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1+\sin x}{x-\cos x}.$ A. $\ln \left| 2x-2\cos x \right|.$ B.$\ln \left| x-\cos x \right|+1.$ C.$\frac{1}{2}\ln {{\left( x-\cos x \right)}^{2}}.$ D. $\ln {{\left( 2x-2\operatorname{cosx} \right)}^{2}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $F\left( x \right)=\frac{1+\sin x}{x-\cos x}dx=\int{\frac{{{\left( x-\cos x \right)}^{\prime }}}{x-\cos x}dx}=\int{\frac{d\left( x-\cos x \right)}{x-\cos x}}=\ln \left| x-\cos x \right|+C$

Với $C=\ln 2$ta được $F\left( x \right)=\ln \left| 2x-2\cos x \right|.$

Với $C=1$ ta được $F\left( x \right)=\ln \left| x-\cos x \right|+1.$

Với $C=0$ ta được $F\left( x \right)=\frac{1}{2}\ln {{\left( x-\cos x \right)}^{2}}=\ln \left| x-\cos x \right|.$

Đáp án sai là D. Chọn D.

Bài tập 5: Giả sử $F\left( x \right)$là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{\cos x}{\sqrt{4\sin x-3}}$. Biết rằng $F\left( \frac{\pi }{2} \right)=1.$ Tìm $F\left( x \right)$. A.$F\left( x \right)=\frac{1}{2}\sqrt{4\sin x-3}+\frac{1}{2}.$ B.$F\left( x \right)=\sqrt{4\sin x-3}.$ C.$F\left( x \right)=-\frac{1}{2}\sqrt{4\sin x-3}+\frac{3}{2}.$ D. $F\left( x \right)=-\sqrt{4\sin x-3}+2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $F\left( x \right)=\int{\frac{\cos xdx}{\sqrt{4\sin x-3}}}=\int{\frac{d\left( \sin x \right)}{\sqrt{4\sin x-3}}=\frac{1}{4}\int{\frac{d\left( 4\sin x-3 \right)}{\sqrt{4\sin x-3}}}}$

Áp dụng $\int{\frac{du}{2\sqrt{u}}=\sqrt{u}}+C\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{1}{2}\sqrt{4\sin x-3}+C$

Do $F\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{1}{2}+C=1\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{1}{2}\sqrt{4\sin x-3}+\frac{1}{2}.$Chọn A.

Bài tập 6: Giả sử $F\left( x \right)$là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{x{{\left( 2+3\ln x \right)}^{2}}}$. Biết rằng $F\left( \frac{1}{e} \right)=1.$ Tìm $F\left( x \right).$ A. $F\left( x \right)=\frac{1}{9\ln x+6}+\frac{4}{3}.$ B.$F\left( x \right)=\frac{-1}{9\ln x+6}+\frac{2}{3}.$ C.$F\left( x \right)=\frac{1}{3\ln x+2}+2.$ D. $F\left( x \right)=\frac{-1}{3\ln x+2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $F\left( x \right)=\int{\frac{dx}{x{{\left( 2+3\ln x \right)}^{2}}}=}\int{\frac{d\left( \ln x \right)}{{{\left( 2+3\ln x \right)}^{2}}}=\frac{1}{3}}\int{\frac{d\left( 3\ln x+2 \right)}{{{\left( 2+3\ln x \right)}^{2}}}}=\frac{-1}{3\left( 3\ln x+2 \right)}+C$

Do $F\left( \frac{1}{e} \right)=\frac{-1}{-3}+C=1\Rightarrow C=\frac{2}{3}\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{-1}{9\ln x+6}+\frac{2}{3}.$Chọn B.

Bài tập 7: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{x\sin x+\left( x+1 \right)\cos x}{x\sin x+\cos x}.$ A.${{x}^{2}}+\ln \left| x\sin x+\cos x \right|+C.$ B.$x+\ln \left| x\sin x+\cos x \right|+C.$ C.$x+\frac{{{\left( x\sin x+\cos x \right)}^{2}}}{2}+C.$ D.$x+\left| x\sin x+\cos x \right|.$

Lời giải chi tiết:

Nhận xét ${{\left( x\sin x+\cos x \right)}^{\prime }}=\sin x+x\cos x-\operatorname{sinx}=x\cos x$

Ta có: $\int{\frac{x\sin x+\left( x+1 \right)\cos x}{x\sin x+\cos x}}dx=\int{\left( 1+\frac{x\operatorname{cosx}}{x\sin x+\cos x} \right)dx}=\int{dx+\int{\frac{x\cos x}{x\sin x+\cos x}dx}}$

$x+\int{\frac{d\left( x\sin x+\cos x \right)}{x\sin x+\cos x}=x+\ln \left| x\sin x+\cos x \right|}+C.$Chọn B.

Bài tập 8: Cho hàm số $f\left( x \right)$luôn dương và thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right).\sqrt{f\left( x \right)}$với mọi $x\in \mathbb{R}$. Biết rằng $f\left( 2 \right)=16$. Gía trị của $f\left( 1 \right)$bằng: A. 2. B.$\frac{5}{2}.$ C.4. D. 5.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${f}'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right).\sqrt{f\left( x \right)}\Leftrightarrow \frac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}=2x+1$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $\int{\frac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}dx}=\int{\left( 2x+1 \right)}dx\Leftrightarrow \int{\frac{d{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}}={{x}^{2}}+x+C$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+x+C$

Thay $x=2$ta có: $2.\sqrt{6}={{2}^{2}}+2+C\Rightarrow C=2$

Thay $x=1$ta có: $2\sqrt{f\left( 1 \right)}={{1}^{2}}+1+2\Rightarrow f\left( 1 \right)=4.$Chọn C.

Bài tập 9: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2008] Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f\left( 2 \right)=-\frac{2}{9}$và ${f}'\left( x \right)=2x{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}$với mọi $x\in \mathbb{R}$. Giá trị của $f\left( 1 \right)$bằng: A.$-\frac{35}{36}$. B.$\frac{-2}{3}.$ C.$\frac{-19}{36}.$ D. $\frac{-2}{15}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${f}'\left( x \right)=2x{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}\Rightarrow \frac{{f}'\left( x \right)}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}=2x$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $\int{\frac{{f}'\left( x \right)}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}dx=}\int{2xdx\Leftrightarrow \int{\frac{d\left[ f\left( x \right) \right]}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}}}}={{x}^{2}}+C\Leftrightarrow \frac{-1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+C.$

Mặt khác $f\left( 2 \right)=-\frac{2}{9}\Rightarrow \frac{9}{2}={{2}^{2}}+C\Leftrightarrow C=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{-1}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}+\frac{1}{2}$

Thay $x=1$ta được $-\frac{1}{f\left( 1 \right)}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow f\left( 1 \right)=-\frac{2}{3}.$Chọn B.

Bài tập 10: Cho hàm số $f\left( x \right)$luôn dương và thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}.f\left( x \right)$với mọi $x\in \mathbb{R}$. Biết rằng $f\left( 0 \right)=1$. Giá trị của $f\left( 1 \right)$bằng: A.$1.$ B.$e.$ C.${{e}^{2}}.$ D. ${{e}^{3}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}.f\left( x \right)\Leftrightarrow \frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=3{{x}^{2}}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $\int{\frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}dx=\int{3{{x}^{2}}}dx}\Leftrightarrow \int{\frac{d{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}}={{x}^{3}}+C$

$\Leftrightarrow \ln \left[ f\left( x \right) \right]={{x}^{3}}+C$(Do $f\left( x \right)>0\forall x\in \mathbb{R})$

Suy ra $f\left( x \right)={{e}^{{{x}^{3}}+C}}$. Do $f\left( 0 \right)={{e}^{C}}=1\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f\left( 1 \right)=e$. Chọn B.

Bài tập 11: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$thỏa mãn $f\left( x \right).{f}'\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}$. Biết $f\left( 0 \right)=2.$ Tính giá trị ${{f}^{2}}\left( 2 \right).$ A.${{f}^{2}}\left( 2 \right)=144.$ B.${{f}^{2}}\left( 2 \right)=100.$ C.${{f}^{2}}\left( 2 \right)=64.$ D. ${{f}^{2}}\left( 2 \right)=81.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $f\left( x \right).{f}'\left( x \right)=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}\Leftrightarrow \int{f\left( x \right).{f}'\left( x \right)dx=\int{\left( 3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}} \right)}}dx$

$\Leftrightarrow \int{f\left( x \right)d\left( f\left( x \right) \right)=\frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}}+C\Leftrightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\frac{{{x}^{6}}}{2}+2{{x}^{3}}+C\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+2C.$

Mà $f\left( 0 \right)=2\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 0 \right)=4\Rightarrow 2C=4\Rightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+4.$

Vậy ${{f}^{2}}\left( 2 \right)={{\left. \left( {{x}^{6}}+4{{x}^{3}}+4 \right) \right|}_{x=2}}={{2}^{6}}+{{4.2}^{3}}+4=100$. Chọn B.