Phương Pháp - Bài Tập Tính Nguyên Hàm Cơ Bản Có điều Kiện Chi Tiết ...

Xin chào các bạn, bài viết hôm nay sẽ đem đến cho các bạn phương pháp tính nguyên hàm cơ bản dựa trên các công thức cũng như sẽ có một số bài tập để các bạn khái quát kiến thức. Hãy theo dõi hết bài viết cùng HocThatGioi nhé.

1. Phương pháp tính nguyên hàm bằng cơ bản có điều kiện

Dưới đây là bảng nguyên hàm tổng hợp các công thức nguyên hàm hay gặp. Hãy xem qua trước khi vào từng phương pháp nhé.

\int 0dx = C	\int kdx = kx + C
\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C	\int (ax + b)^{n}dx = \frac{1}{a}\frac{(ax + b)^{n + 1}}{n + 1} + C
\int\frac{1}{x} dx = \ln |x| + C	\int\frac{1}{ax + b} dx = \frac{1}{a}\ln |ax + b| + C
\int\frac{1}{x^{2}} = -\frac{1}{x} + C	\int\frac{1}{(ax + b)^{2}} = -\frac{1}{a}.\frac{1}{ax + b} + C
\int sinxdx = -cosx + C	\int sin(ax + b)dx = -\frac{1}{a} cos(ax + b) + C
\int cosxdx = sinx + C	\int cos(ax + b)dx = \frac{1}{a} sin(ax + b) + C
\int\frac{1}{sin^{2}x} dx = -cotx + C	\int\frac{dx}{sin^{2}(ax + b)} = -\frac{1}{a} cot(ax + b) + C
\int\frac{1}{cos^{2}x} dx = tanx + C	\int\frac{dx}{cos^{2}(ax + b)} = \frac{1}{a} tan(ax + b) + C
\int e^{x}dx = e^{x} + C	\int e^{ax + b}dx = \frac{1}{a} e^{ax + b} + C
\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C	\int a^{\alpha x + \beta}dx = \frac{1}{\alpha}\frac{a^{\alpha x + \beta}}{\ln a} + C

1.1 Tính nguyên hàm của đa thức hoặc luỹ thừa

Phương pháp: khai triển đa thức hoặc luỹ thừa, sau đó áp dụng công thức ở bảng I.

Ví dụ minh hoạ: \int e^{x}(e^{x} + 1)dx = \int (e^{2x} + e^{x})dx = \frac{1}{2} e^{2x} + e^{x} + C

1.2 Tính nguyên hàm tích các hàm mũ

Phương pháp: Khai triển theo công thức mũ, sau đó áp dụng công thức ở bản I.

Ví dụ minh hoạ: \int (x^{2} + 2)^{2}dx = \int (x^{4} + 2x^{2} + 1)dx = \frac{x^{5}}{5} + \frac{2x^{3}}{3} + x + C

1.3 Tính nguyên hàm chứa căn

Phương pháp: chuyển về luỹ thừa, sau đó áp dụng công thức ở bảng I.

Ví dụ minh hoạ: \int\frac{1}{\sqrt{2x + 1}} dx = \int (2x - 1)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{2}\frac{(2x - 1)^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \sqrt{2x - 1} + C

1.4 Tính nguyên hàm tích lượng giác bậc một của sin và cosin

Phương pháp: khai triển theo công thức tích thành tổng với các công thức như sau:

Công thức biết đổi tích thành tổng cosa.cosb = \frac{1}{2}(cos(a + b) + cos(a – b)) sina.sinb = -\frac{1}{2}(cos(a + b) – cos(a – b)) sina.cosb = \frac{1}{2}[sin(a + b) + sin(a – b)]

Ví dụ minh hoạ: \int (cos2x.cox)dx = \int \frac{1}{2}(cos(3x) +cosx)dx = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}sin3x + sinx) + C

1.5 Tính nguyên hàm của bậc chẵn của sin và cosin

Phương pháp: Áp dụng công thức hạ bậc như sau:

Công thức hạ bậc sin^{2}x = \frac{1 – cos2x}{2} cos^{2}x = \frac{1 + cos2x}2{} tan^{2}x = \frac{1 – cos2x}{1 + cos2x} sin^{2}x.cos^{2}x = \frac{1 – cos4x}{8} sin^{3}x = \frac{3sinx – sin3x}{4} cos^{3}x = \frac{3cosx + cos3x}{4}

Ví dụ minh hoạ: \int (sin^{2}x + cos^{3}x)dx = \int (\frac{1 - cos2x}{2} + \frac{3cosx + cos3x}{4})dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} sin2x + \frac{3}{4} sinx + \frac{1}{12} sin3x + C

2. Bài tập tính nguyên hàm cơ bản có điều kiện

1. Cho hàm số f(x) xác định trên R\{\frac{1}{2}} thỏa mãn f'(x) = \frac{2}{2x – 1}, f(0) = 1, f(1) = 2. Giá trị của biểu thức f(-1) + f(3) bằng

• a. 2 + \ln 5
• b. 3 + \ln 15
• c. \ln 15
• d. 4 + \ln 15

Xem bài giải \int\frac{2}{2x – 1} dx = \ln |2x – 1| + C = f(x) Với x nhỏ hơn \frac{1}{2}, f(0) = 1 \Rightarrow C = 1 nên f(-1) = 1 + \ln 3 Với x lớn hơn \frac{1}{2}, f(1) = 2 \Rightarrow C = 2 nên f(3) = 2 + \ln 5 Vậy f(-1) + f(3) = 3 + \ln 15 2. Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) = \frac{1}{x – 1} trên khoảng (1;+\infty) thoả mãn F(e + 1) = 4. Tìm F(x).

• a. 2\ln (x – 1) + 2
• b. \ln (x – 1) + 3
• c. 4\ln (x – 1)
• d. \ln (x – 1) – 3

Xem bài giải F(x) = \int\frac{1}{x – 1} dx + C = \ln |x – 1| + C F(e + 1) = 4. \Rightarrow 1 + C = 4 \Rightarrow C = 3 3. Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = \frac{1}{x – 2}, biết F(1) = 2. Gía trị của F(0) bằng

• a. 2 + \ln 2
• b. \ln 2
• c. 2 + \ln (-2)
• d. \ln (-2)

Xem bài giải Ta có: \int f(x)dx = \int\frac{1}{x – 2} dx = \ln |x – 2| + C, C \in \mathbb{R}. Gỉa sử F(x) = \ln|x – 2| + C_{0} là một nguyên hàm của hàm số đã cho thoả mãn F(1) = 2. Do F(1) = 2 \Rightarrow C_{0} = 2 \Rightarrow F(x) = \ln |x – 2| + 2 \Rightarrow F(0) = 2 + \ln 2 4. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{x} + 2x thoả mãn F(0) = \frac{3}{2}. Tìm F(x).

• a. F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{1}{2}
• b. F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{5}{2}
• c. F(x) = e^{x} + x^{2} + \frac{3}{2}
• d. F(x) = 2e^{x} + x^{2} – \frac{1}{2}

Xem bài giải Ta có: F(x) = \int (e^{x} + 2x)dx = e^{x} + x^{2} + C Theo bài ta có: F(0) = 1 + C = \frac{3}{2} \Rightarrow C = \frac{1}{2} 5. Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = e^{2x} và F(0) = 0. Gía trị F(\ln 3)

• a. 2
• b. 6
• c. 8
• d. 4

Xem bài giải Ta có: F(x) = \int e^{2x}dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C, F(0) = 0 \Rightarrow C = -\frac{1}{2} \Rightarrow F(x) = \frac{1}{2} e^{2x} – \frac{1}{2}. Khi đó F(\ln 3) = 4 6. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx, thoả mãn F(\frac{\pi}{2}) = 2

• a. F(x) = -cosx + sinx + 3
• b. F(x) = -cosx + sinx – 1
• c. F(x) = -cosx + sinx + 1
• d. F(x) = cosx – sinx + 3

Xem bài giải 7. Cho hàm số f(x) thoả mãn f'(x) = 3 – 5sinx, f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

• a. f(x) = 3x – 5cosx + 15
• b. f(x) = 3x – 5cosx + 2
• c. f(x) = 3x + 5cosx + 5
• d. f(x) = 3x + 5cosx + 2

Xem bài giải 8. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = cos3x và F(\frac{\pi}{2}) = \frac{2}{3}. Tính F(\frac{\pi}{9})

• a. \frac{\sqrt{3} + 2}{6}
• b. \frac{\sqrt{3} – 2}{6}
• c. \frac{\sqrt{3} + 6}{6}
• d. \frac{\sqrt{3} – 6}{6}

Xem bài giải 9. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = \frac{1}{cos^{2}x} và F(\frac{\pi}{4} + k\pi) = k. Tính F(0) + F(\pi) + F(2\pi) +..+ F(10\pi)

• a. 55
• b. 44
• c. 45
• d. 0

Xem bài giải 10. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) = 2^{x} và F(0) = \frac{1}{\ln 2}. Tính F(0) + F(1) + F(2) +…+F(2019)

• a. \frac{2^{2020} – 1}{\ln 2}
• b. 1009.\frac{2^{2019} – 1}{2}
• c. 2^{2019.2020}
• d. \frac{2^{2019} – 1}{\ln 2}

Xem bài giải

Trên đây là bài viết Phương pháp – bài tập tính nguyên hàm cơ bản có điều kiện chi tiết nhất mà HocThatGioi đã đem đến cho các bạn. Qua bài viết này, Các bạn cùng theo dõi các bài viết tiếp theo về chương tích phân để có một nền tảng thật vững chắc nhé. Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết của HocThatGioi. Hãy đồng hành cùng HocThatGioi để tiếp thu thêm các kiến thức hay, bổ ích nhé. Chúc các bạn học tốt

Bài viết khác liên quan đến Lớp 12 – Toán – Nguyên hàm

• Lý thuyết về nguyên hàm – tổng hợp công thức nguyên hàm đầy đủ và chi tiết nhất
• Tổng hợp tài liệu nguyên hàm – tích phân cực hay và hữu ích
• Các dạng bài tìm nguyên hàm nhanh bằng công thức nguyên hàm hay đầy đủ nhất
• Các dạng bài tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ đầy đủ chi tiết nhất
• Phương pháp tính nguyên hàm của hàm số hữu tỉ đầy đủ nhất
• 20 câu bài tập tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số có lời giải chi tiết
• 20 câu bài tập tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần có lời giải chi tiết
• Bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần đầy đủ chi tiết nhất
• Bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến hay chi tiết nhất
• Phương pháp tìm nguyên hàm bằng máy tính casio cực hữu ích
• Lý thuyết nguyên hàm và Bảng công thức nguyên hàm đầy đủ nhất
• Tổng hợp bài tập tính nguyên hàm của hàm số hữu tỉ có lời giải chi tiết nhất
• Cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số hay nhất