Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có đáp án Lời Giải - KhoiA.Vn

Có thể bạn quan tâm

Bài này sẽ áp dụng các kiến thức đã học đó để giải một số bài tập phương trình lượng giác cơ bản của sin, cos, tan và cot.

• Lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản và cách giải

* Bài 1 trang 28 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) $\small sin(x+2)=\frac{1}{3}$

b) sin3x = 1;

c) $\small sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3})=0$

d) $\small sin(2x+20^0)=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

> Lời giải:

a) $\small sin(x+2)=\frac{1}{3}$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x+2=arcsin\frac{1}{3}+k2\pi\\ x+2=\pi-arcsin\frac{1}{3}+k2\pi \end{matrix} \right.\:( k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=arcsin\left (\frac{1}{3} \right )-2+k2\pi\\ x=\pi-arcsin\left (\frac{1}{3} \right )-2+k2\pi \end{matrix} \right.\:( k\in \mathbb{Z})$

b) sin3x = 1;

$\small \Leftrightarrow sin3x=sin\left ( \frac{\pi}{2} \right )$ $\small \Leftrightarrow 3x= \frac{\pi}{2} +k2\pi$

$\small \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6} +\frac{k2\pi}{3}\: (k \in \mathbb{Z})$

c) $\small sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3})=0$

$\small \Leftrightarrow sin(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3})=sin0 \Leftrightarrow \frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi$

$\small \Leftrightarrow \frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+\frac{3k\pi}{2}\: (k\in \mathbb{Z})$

d) $\small sin(2x+20^0)=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\small \Leftrightarrow sin(2x+20^0)=sin(-60^0)$

$\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} 2x+20^0=-60^0+k360^0\\ 2x+20^0=180^0+60^0+k360^0 \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} 2x=-80^0+k360^0\\ 2x=220^0+k360^0 \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} x=-40^0+k180^0\\ x=110^0+k180^0 \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 2 trang 28 SGK Giải tích 11: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?

> Lời giải:

- Thực chất đây là bài toán giải phương trình lượng giác: sin3x = sinx

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 3x=x+k2\pi\\ 3x=\pi-x+k2\pi \end{matrix} \right. \: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2x=+k2\pi\\ 4x=\pi+k2\pi \end{matrix} \right. \: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=k\pi\\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \end{matrix} \right. \: (k\in \mathbb{Z})$

Vây với $\small x\in \left \{ k\pi;\frac{\pi}{4} +\frac{k\pi}{2}\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$ thì sin3x = sinx.

* Bài 3 trang 28 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

$\small a)\: cos(x-1)=\frac{2}{3};$

$\small b)\: cos3x=cos12^0;$

$\small c)\: cos(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2};$

$\small d)\: cos^22x=\frac{1}{4};$

> Lời giải:

$\small a)\: cos(x-1)=\frac{2}{3}$

$\small \Leftrightarrow x-1=\pm arccos\left ( \frac{2}{3} \right )+k2\pi$

$\small \Leftrightarrow x=1 \pm arccos\left ( \frac{2}{3} \right )+k2\pi,\: k\in \mathbb{Z}$

Vậy phương trình có họ nghiệm $\small x=1 \pm arccos\left ( \frac{2}{3} \right )+k2\pi,\: k\in \mathbb{Z}$

$\small b)\: cos3x=cos12^0$

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = ±4º + k.120º, k ∈ Z.

$\small c)\: cos(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}$

$\small \Leftrightarrow cos\left ( \frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4} \right )=cos\left ( \frac{2\pi}{3} \right )$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\ \\ \frac{3x}{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{-2\pi}{3}+k2\pi \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \frac{3x}{2}=\frac{11\pi}{12}+k2\pi\\ \\ \frac{3x}{2}=\frac{-5\pi}{12}+k2\pi \end{matrix}\right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{11\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3}\\ \\ x=\frac{-5\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3} \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: $\small \left \[\begin{matrix} x=\frac{11\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3}\\ \\ x=\frac{-5\pi}{18}+\frac{4k\pi}{3} \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 4 trang 29 SGK Giải tích 11: Giải phương trình: $\small \frac{2cos2x}{1-sin2x}=0$

> Lời giải:

- Hàm chưa biến ở mẫu, nên cần tìm điều kiện xác định trước:

- Điều kiện: 1 - sin2x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 1.

- Ta có: $\frac{cos2x}{1-sin2x}=0$

$\small \Leftrightarrow 2cos2x=0$ $\small \Leftrightarrow cos2x=0$

$\small \Leftrightarrow cos2x=cos\left ( \frac{\pi}{2} \right )$ $\small \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\: (k\in \mathbb{Z})$

Vì cần đối chiếu điều kiện, nên đến đây ta vẫn phải làm tiếp.

- Trường hợp k lẻ, tức: k = 2n + 1 (n∈Z)

$\small \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+(2n+1).\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}+n\pi$

$\small \Rightarrow sin2x=sin\left ( \frac{3\pi}{2}+2n\pi \right )=-1,\: \forall n\:$

Thỏa điều kiện sin2x ≠ 1 nên nhận.

- Trường hợp k chẵn, tức: k = 2n (n∈Z)

$\small \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+n\pi$

$\small \Rightarrow sin2x=sin\left ( \frac{\pi}{2}+2n\pi \right )=1,\: \forall n\:$

KHÔNG thỏa điều kiện sin2x ≠ 1 nên loại.

Kết luận: Phương trình có họ nghiệm: $\small x=\frac{3\pi}{4}+n\pi,\: (n\in \mathbb{Z})$

* Bài 5 trang 29 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

$\small a)\: tan(x-15^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\small b)\: cot(3x-1)=-\sqrt{3}$

$\small c)\: cos2x.tanx=0$

$\small d)\: sin3x.cotx=0$

> Lời giải:

$\small a)\: tan(x-15^0)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (1)

- Điều kiện: x – 15º ≠ 90º + k.180º, ∀ k ∈ Z.

(1) ⇔ tan(x - 150) = tan(300)

⇔ x – 15º = 30º + k180º , k ∈ Z

⇔ x = 45º + k.180º, k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = 45º + k.180º (k ∈ Z).

$\small b)\: cot(3x-1)=-\sqrt{3}$ (2)

- Điều kiện: 3x - 1 ≠ kπ, ∀ k ∈ Z.

$\small (2)\Leftrightarrow cot(3x-1)=cot\left ( \frac{5\pi}{6} \right )$ $\small \Leftrightarrow 3x+1=\frac{5\pi}{6}+k\pi$

$\small \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}+\frac{5\pi}{18}+\frac{k\pi}{3},\: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện xác định ta thấy mọi giá trị thuộc họ nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có họ nghiệm: $\small x=\frac{1}{3}+\frac{5\pi}{18}+\frac{k\pi}{3},\: (k\in \mathbb{Z})$

> Lưu ý: Vì $\small cot\left ( \frac{5\pi}{6} \right )=cot\left ( -\frac{\pi}{6} \right )=-\sqrt{3}$ nên các bạn có thể sử dụng kết quả nào cũng đúng.

$\small c)\: cos2x.tanx=0$ (3)

- Điều kiện xác định: $\small x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$

$\small (3)\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cos2x=0\\ tanx=0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cos2x=cos\frac{\pi}{2}\\ tanx=tan0 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \\ x=k\pi \end{matrix} \right.,\: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện thấy hai họ nghiệm trên đều thỏa.

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: $\small x\in \left \{ \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2};k\pi \right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small d)\: sin3x.cotx=0$ (4)

- Điều kiện xác định: x ≠ kπ, ∀k ∈ Z.

$\small (4)\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sin3x=0\\ cotx=0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sin3x=sin0\\ cotx=cot\left ( \frac{\pi }{2} \right ) \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 3x=k\pi\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{k\pi}{3}\\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện thì $\small x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ luôn thỏa.

Nghiệm $\small x=\frac{k\pi}{3}$ thỏa khi k = 3n + 1 và 3n + 2 (có thể lấy 3n - 1) với n ∈ Z.

Vậy phương trình có các họ nghiệm:

$\small x\in \left \{ \frac{\pi}{3}+n\pi;\frac{2\pi}{3}+n\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi \right \},\: (n,k\in\mathbb{Z})$

hoặc có thể viết họ nghiệm là: $\small x\in \left \{\pm \frac{\pi}{3}+n\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi \right \},\: (n,k\in\mathbb{Z})$ (n và k có thể lấy giá trị nguyên giống nhau).

* Bài 6 trang 29 SGK Giải tích 11: Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan((π/4) - x) và y = tan2x bằng nhau?

> Lời giải:

- Điều kiện xác định:

$\small \left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{4}-x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\ \\ 2x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq -\frac{\pi}{4}+k\pi\\ \\ x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \end{matrix}\right.\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow x\neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\: \: (k\in \mathbb{Z})$

- Ta có: $\small tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )=tan2x$

$\small \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi}{4}-x+k\pi$

$\small \small \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện ta suy ra: $\left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\ \\ x =\frac{5\pi}{12}+k\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy với $\left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{12}+k\pi\\ \\ x =\frac{5\pi}{12}+k\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$ thì $\small tan\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )=tan2x$

* Bài 7 trang 29 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) sin3x - cos5x = 0

b) tan3x.tanx = 1

Từ khóa » Toán Lượng Giác Bài Tập

Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Có đáp án Lời Giải - KhoiA.Vn

Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 Cơ Bản Có Đáp Án Chi Tiết. - Kiến Guru

Tuyển Chọn Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 Cơ Bản - Bạn Cần Biết

Các Dạng Bài Tập Toán Lượng Giác Và Phương Pháp Giải - Toán Lớp 10

200 Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 Có Hướng Dẫn Giải Chi Tiết

Bài Tập Công Thức Lượng Giác Lớp 10

Cách Giải Các Dạng Bài Tập Lượng Giác Lớp 10

Tổng Hợp Công Thức Lượng Giác Và Rút Gọn Biểu Thức

Toán 10 - Bài Tập Công Thức Lượng Giác - O₂ Education

Chuyên đề Lượng Giác Lớp 10 - Hướng Dẫn Chi Tiết - Hocmai

Các Dạng Bài Tập Cung Và Góc Lượng Giác, Công ...

Bài Tập Rút Gọn Biểu Thức Lượng Giác Lớp 10 - Tutukit

Công Thức Lượng Giác Và Cách Giải Bài Tập Hay, Chi Tiết | Toán Lớp 10

Công Thức Lượng Giác

Các Dạng Bài Tập Cung Và Góc Lượng Giác, Công Thức ... - Haylamdo

Bài Tập Tổng Hợp Về Công Thức Lượng Giác - Toán 10 - YouTube

Chuyên đề Các Bài Toán Biến đổi Lượng Giác

Giải Bài 2. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản Toán Học Lớp 11

Giải Bài Tập SGK Toán 10 Bài 2: Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung

Các Dạng Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Lớp 11 - TopLoigiai

Liên Hệ