Bài Tập Quy Tắc đếm

Có thể bạn quan tâm

5/5 - (1 bình chọn)

A. LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1. Quy tắc cộng

a) Định nghĩa

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m+n

cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập A1;A2;…;An

đôi một rời nhau. Khi đó:

|A1∪A2∪A3∪…∪An|=|A1|+|A2|+|A3|+…+|An|2. Quy tắc nhân

a) Định nghĩa

Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n

cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập A1;A2;…;An

đôi một rời nhau. Khi đó:

|A1∩A2∩A3∩…∩An|=|A1|.|A2|.|A3|…..|An|

Hướng Dẫn Làm Bài Tập Toán Lớp 11 Trắc Nghiệm – Quy Tắc Đếm Dễ Hiểu

I. Lý thuyết cần nắm để giải bài tập toán lớp 11 – Quy tắc đếm

Để làm tốt các bài tập trắc nghiệm toán 11 phần quy tắc đếm các em cần nắm rõ các kiến thức sau đây:

1. Quy tắc cộng:

Một công việc sẽ được hoàn thành bởi một trong hai hành động X hoặc Y. Nếu hành động X có m cách thực hiện, hành động Y có n cách thực hiện và không trùng với bất cứ cách thực hiện nào của X thì công việc đó sẽ có m+n cách thực hiện.

– Khi A và B là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì ta có:

n(A∪B) = n(A) + n(B)

– Khi A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kỳ thì ta có:

n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

Chú ý: nếu A1,A2,…,An là các tập hợp hữu hạn và đôi một không giao nhau thì n(A1∪A2∪…An) = n(A1) + n(A2)+…+n(An)

2. Quy tắc nhân:

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp là X và Y. Nếu hành động X có m cách thực hiện và ứng với hành động Y có n cách thực hiện thì có m.n cách hoàn thành công việc.

Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

Các em cần phân biệt rõ hai quy tắc đếm này để khi áp dụng làm bài tập toán lớp 11 phần này không bị lúng túng và đạt hiệu quả cao nhất.

II. Hướng dẫn giải bài tập toán lớp 11 – Phần quy tắc đếm

Dưới đây là một số bài tập toán lớp 11 dạng trắc nghiệm về quy tắc đếm kèm theo hướng dẫn giải. Các em hãy tự làm các bài tập trắc nghiệm môn toán lớp 11 này sau đó mới xem hướng dẫn giải nhé.

Bài 1. Một lớp học có 20 học sinh nữ và 17 học sinh nam.

a) Có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu về trái đất?

A. 23 B. 17

C. 37 D. 391

b) Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại Thành phố với điều kiện có cả nam và nữ?

A. 40 B. 340

C. 780 D. 1560

Hướng dẫn giải:

a) Theo quy tắc cộng có: 20 +17 = 37 cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi. Chọn đáp án C

b) Việc chọn hai học sinh có cả nam và nữ phải tiến hành hai hành động liên tiếp

Hành động 1: chọn 1 học sinh nữ trong số 20 học sinh nữ nên có 20 cách chọn

Hành động 2: chọn 1 học sinh nam nên có 17 cách chọn

Theo quy tắc nhân, có 20*17=340 cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có cả nam và nữ. Chọn đáp án B

Câu 2. Một túi bóng có 20 bóng khác nhau trong đó có 7 bóng đỏ, 8 bóng xanh và 5 bóng vàng.

a) Số cách lấy được 3 bóng khác màu là

A. 20

B. 280

C. 6840

D. 1140

b) Số cách lấy được 2 bóng khác màu là

A. 40

B. 78400

C. 131

D. 2340

Hướng dẫn giải:

a) Việc chọn 3 bóng khác màu phải tiến hành 3 hành động liên tiếp: chọn 1 bóng đỏ trong 7 bóng đỏ nên có 7 cách chọn, tương tự có 8 cách chọn 1 bóng xanh và 5 cách chọn 1 bóng vàng. Áp dụng quy tắc nhân ta có: 7*8*5 = 280 cách. Vậy đáp án là B

b) Muốn lấy được 2 bóng khác màu từ trong túi đã cho xảy ra các trường hợp sau:

– Lấy được 1 bóng đỏ và 1 bóng xanh: có 7 cách để lấy 1 bóng đỏ và 8 cách để lấy 1 bóng xanh. Do đó có 7*8 =56 cách lấy

– Lấy 1 bóng đỏ và 1 bóng vàng: có 7 cách lấy 1 bóng đỏ và 5 cách lấy 1 bóng vàng. Do đó co 7*5=35 cách lấy

– Lấy 1 bóng xanh và 1 bóng vàng: có 8 cách để lấy 1 bóng xanh và 5 cách để lấy 1 bóng vàng. Do đó có 8*5 = 40 cách để lấy

– Áp dụng quy tắc cộng cho 3 trường hợp, ta có 56 + 35 +40 = 131 cách

Chọn đáp án là C

Câu 3. Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được:

a) Bao nhiêu số có hai chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

A. 25

B. 10

C. 9

D. 20

b) Bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?

A. 36

B. 42

C. 82944

D. Một kết quả khác

Hướng dẫn giải:

Gọi tập hợp A = {0,1,2,3,4,5}

a) Số tự nhiên có hai chữ số khác nhau có dạng: ab (a 0; a,b ∈ A, a b)

Do đó ab chia hết cho 5 nên b = 0 hoặc b = 5

Khi b = 0 thì có 5 cách chọn a ( vì a ≠ 0)

Khi b = 5 thì có 4 cách chọn a ( vì a ≠ b và a ≠ 0)

Áp dụng quy tắc cộng, có tất cả 5 + 4 = 9 số tự nhiên cần tìm. Chọn đáp án là C.

Trong A có các bộ chữ số thỏa mãn (*) là:

(0,1,2);(0,1,5);(0,2,4);(1,2,3);(1,3,5);(2,3,4);(3,4,5)

Mỗi bộ có ba chữ số khác nhau và khác 0 nên ta viết được 3*2*1 =6 số có ba chữ số chia hết cho 3

Mỗi bộ có ba chữ số khác nhau và có một chữ số 0 nên ta viết được 2*2*1 = 4 số có ba chữ số chia hết cho 3

Vậy theo quy tắc cộng ta có: 6*4 +4*3 =36 số có 3 chữ số chia hết cho 3

Chọn đáp án là A

Câu 4: Cho dãy a1, a2, a3, a4, mỗi ai chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1. Hỏi có bao nhiêu dãy như vậy?

A. 8

B. 16

C. 70

D. 1680

Hướng dẫn giải:

Mỗi ai chỉ nhận hai giá trị (0 hoặc 1).

Theo quy tắc nhân số dãy a1, a2, a3, a4, là 2×2×2×2=16

Chọn đáp án: B

Câu 5: Trong một lớp học có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn 2 học sinh; 1 nam và 1 nữ tham gia đội cờ đỏ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn?

A. 44

B. 946

C. 480

D. 1892

Hướng dẫn giải:

Có 20 cách chọn bạn học sinh nam và 24 cách chọn bạn học nữ. Áp dụng quy tắc nhân 20×24= 480 cách chọn hai bạn (1 nam 1 nữ) tham gia đội cờ đỏ.

Chọn đáp án C.

Câu 6: Trên giá sách có 5 quyển sách Tiếng Anh, 6 quyển sách Toán và 8 quyển sách Tiếng Việt. Các quyển sách này là khác nhau.

a) Có bao nhiêu cách chọn 1 quyển sách là:

A. 19

B. 240

C. 6

D. 8

b) Có bao nhiêu cách chọn 3 quyển sách khác môn học là:

A. 19

B. 240

C. 969

D. 5814

c) Có bao nhiêu cách chọn 2 quyển sách khác môn học là:

A. 38

B. 171

C. 118

D. 342

Hướng dẫn giải:

a. Số cách chọn một quyển sách là 5+6+8=19

Chọn đáp án: A

b. Số cách chọn 3 quyển sách là 5×6×8=240

Chọn đáp án: B

c. Số cách chọn 2 quyển sách khác môn học là: 5×6+5×8+6×8=118.

Chọn đáp án: C

Câu 7: Có bao nhiêu số chẵn có hai chữ số?

A. 14

B. 45

C. 15

D. 50

Hướng dẫn giải:

Bài tập quy tắc đếm lớp 11 có lời giải

I. ÔN TẬP LÝ THUYẾT QUY TẮC ĐẾM

QUY TẮC CỘNG CHO HAI PHƯƠNG ÁN

Giả sử một công việc V có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có m cách thực hiện theo phương án A và có n cách thực hiện theo phương án B, không có cách thực hiện nào của phương án A trùng với cách thực hiện của phương án B. Khi đó có m+n cách thực hiện công việc V.

QUY TẮC CỘNG MỞ RỘNG CHO NHIỀU PHƯƠNG ÁN

Giả sử một công việc V có thể được thực hiện theo một trong k phương án A(1), A(2),…,A(k). Có n(1) cách thực hiện theo phương án A(1), có n(2) cách thực hiện theo phương án A(2),…có n(k) cách thực hiện theo phương án A(k), không có cách thực hiện nào của các phương án trùng nhau. Khi đó có n(1)+n(2)+…+n(k) cách thực hiện công việc V.

QUY TẮC CỘNG DƯỚI DẠNG TẬP HỢP

Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Khi đó n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B). Đặc biệt nếu A∩B=∅ thì n(A∪B)=n(A)+n(B).

QUY TẮC NHÂN CHO HAI PHƯƠNG ÁN

Giả sử một công việc V được thực hiện qua hai công đoạn liên tiếp A và B. Có m cách thực hiện công đoạn A. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A lại có n cách thực hiện công đoạn B. Khi đó có m.n cách thực hiện công việc V.

QUY TẮC NHÂN MỞ RỘNG CHO NHIỀU PHƯƠNG ÁN

Giả sử một công việc V được thực hiện qua k công đoạn liên tiếp nhau A(1), A(2),…,A(k). Có n(1) cách thực hiện công đoạn A(1), với mỗi cách thực hiện công đoạn A(1) có n(2) cách thực hiện công đoạn A(2),…, với mỗi cách thực hiện công đoạn A(k-1) có n(k) cách thực hiện công đoạn A(k). Khi đó có n(1).n(2)….n(k) cách thực hiện công việc V.

QUY TẮC NHÂN DƯỚI DẠNG TẬP HỢP

Tập hợp AxB={(x,y)|x∈A, y∈B} được gọi là tích Descartes (Đề-các) của hai tập hợp A và B.

Khi đó n(AxB)=n(A).n(B).

II. BÀI TẬP QUY TẮC ĐẾM LỚP 11 CÓ LỜI GIẢI : ĐẾM TRỰC TIẾP

Để đếm số cách thực hiện một công việc, ta phân chia cách thực hiện công việc đó thành các phương án, trong mỗi phương án lại chia thành các công đoạn. Sau đó sử dụng quy tắc nhân và quy tắc cộng để suy ra số cách thực hiện công việc đó.

Bài 1.

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a.Một chữ số.

b.Hai chữ số.

c.Hai chữ số kháu nhau?

Lời giải:

a. Liệt kê được 4 số thỏa mãn.

b. Gọi số có 2 chữ số cần lập là ab.

Chữ số a có 4 cách chọn, chữ số b có 4 cách chọn

Vậy theo quy tắc nhân ta có: 4.4 = 16 (số).

c. Gọi số có 2 chữ số cần lập là ab.

Chữ số a có 4 cách chọn, chữ số b có 3 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân ta có: 4.3 = 12 (số).

Bài 2.

Có bao nhiêu số nguyên của tập hợp {1; 2;…; 1000} mà chia hết cho 3 hoặc 5?

Lời giải:

Bài 3.

Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 7 bạn nữ thành một hàng ngang, sao cho không có hai bạn nam nào đứng cạnh nhau.

Lời giải:

Xếp 7 bạn nữ thành hàng ngang có 7.6.5.4.3.2.1=5040 cách xếp.

Khi đó 7 bạn nữ chia hàng ngang thành 8 khoảng trống.

Xếp 5 bạn nam vào 8 khoảng trống đó sao cho mỗi khoảng trống xếp nhiều nhất một bạn nam. Số cách xếp 5 bạn nam là: 8.7.6.5.4=6720 cách xếp.

Theo quy tắc nhân có: 5040x 6720=33868800 cách xếp.

III. BÀI TẬP QUY TẮC ĐẾM LỚP 11 CÓ LỜI GIẢI : ĐẾM GIÁN TIẾP

Để đếm số cách thực hiện một công việc nào đó, mà việc đếm trực tiếp phức tạp, người ta có thể sử dụng phương pháp đếm phần bù. Nghĩa là bỏ đi một giả thiết gây ra sự phức tạp. Khi đó giả sử đếm được m cách thực hiện. Trong số cách thực hiện đó ta đếm số cách thực hiện công việc mà không thỏa mãn giả thiết bỏ đi được n cách thực hiện. Suy ra có m-n cách thực hiện công việc đã cho.

Bài 1.

Trong một hộp có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra 3 viên bi sao cho có ít nhất 1 viên bi đỏ?

Lời giải:

Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi bất kỳ có (10.9.8):(3.2.1)=120 cách. Số cách chọn 3 viên màu xanh là 4.3.2=24.

Vậy số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là 120-24=96 cách.

Bài 2.

Trong mặt phẳng có 5 điểm phân biệt A, B, C, D, E. Hỏi có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ không. Có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D, E thỏa mãn điểm A không phải là điểm đầu?

Lời giải:

Ta đếm số véc tơ được tạo thành từ 5 điểm là 5.4=20.

Ta đếm số cách chọn véc tơ được tạo thành từ 5 điểm mà điểm A là điểm đầu có 4 véc tơ.

Vậy có 20-4=16 véc tơ thỏa mãn.

Bài 3.

Mỗi mật khẩu máy tính gồm 6 ký tự, mỗi ký tự hoặc là một chữ cái hoặc là một chữ số và mặt khẩu phải có ít nhất một chữ số. Hỏi lập được bao nhiêu mật khẩu?

Lời giải:

Mỗi ký tự có 26+10=36 cách chọn. Do đó chuỗi gồm 6 ký tự có 36^6 cách lập.

Số chuỗi 6 ký tự không có chữ số là 26^6 .

Vậy có tất cả 36^6-26^6=1867866560 mật khẩu.

Giải Toán 11 Bài 1: Quy tắc đếm

Bài 1: Quy tắc đếm

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 44: Trong ví dụ 1, kí hiệu A là tập hợp các quả cầu trắng, B là tập hợp các quả cầu đen. Nêu mối quan hệ giữa số cách chọn một quả cầu và số các phần tử của hai tập A, B.

Lời giải:

Số cách chọn một quả cầu = tổng số các phần tử của hai tập A, B

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 45: Từ thành phố A đến thành phố B có ba con đường, từ B đến C có bốn con đường (h.25). Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C, qua B?

Lời giải:

* Từ A đến B có 3 cách

*Từ B đến C có 4 cách

Áp dụng quy tắc nhân có: 3.4 = 12 cách đi từ A đến C qua B

Bài 1 (trang 46 SGK Đại số 11): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a.Một chữ số

b.Hai chữ số.

c.Hai chữ số kháu nhau?

Lời giải:

a. Gọi số có 1 chữ số là a

+ a có 4 cách chọn.

Vậy có 4 cách chọn số một chữ số.

+ Chọn x: có 4 cách chọn

+ Chọn y: có 3 cách chọn (y khác x).

Vậy theo quy tắc nhân ta có: 4.3 = 12 (cách lập).

Kiến thức áp dụng

Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.

+ Hành động thứ nhất có m cách thực hiện.

+ Hành động thứ hai có n cách thực hiện

⇒ Có m.n cách hoàn thành công việc.

Bài 2 (trang 46 SGK Đại số 11): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?

Lời giải:

Các số tự nhiên bé hơn 100 cần lập bao gồm các số có 1 chữ số hoặc số có hai chữ số.

* Trường hợp 1: Số thỏa mãn có 1 chữ số: Có 6 số là: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

* Trường hợp 2: Số thỏa mãn có 2 chữ số:

– Chọn chữ số hàng chục: có 6 cách chọn

– Chọn chữ số hàng đơn vị: có 6 cách chọn

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 6.6 = 36 số có 2 chữ số được tạo ra từ các số đã cho.

* Theo quy tắc cộng: Có 36 + 6 = 42 số tự nhiên bé hơn 100.được tạo ra từ các chữ số đã cho

Kiến thức áp dụng

– Quy tắc cộng: Một công việc được hoành thành bởi một trong hai hành động.

+ Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện

+ Hành động thứ hai có n cách thực hiện.

⇒ Có m + n cách thực hiện công việc.

– Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.

+ Hành động thứ nhất có m cách thực hiện.

+ Hành động thứ hai có n cách thực hiện

⇒ Có m.n cách hoàn thành công việc.

Bài 3 (trang 46 SGK Đại số 11): Dưới thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình dưới:

Hỏi:

a. Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

b. Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A?

Lời giải:

a. Việc đi từ A đến D là công việc được hoàn thành bởi ba hành động liên tiếp:

+ Đi từ A đến B: Có 4 con đường.

+ Đi từ B đến C: Có 2 con đường.

+ Đi từ C đến D: Có 3 con đường

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 4.3.2 = 24 con đường đi từ A đến D mà chỉ đi qua B và C 1 lần.

b. Có 24 cách đi từ A đến D thì cũng có 24 cách đi từ D đến A.

Việc đi từ A đến D rồi lại quay lại A là công việc được hoàn thành bởi 2 hành động liên tiếp:

+ Đi từ A đến D: Có 24 cách .

+ Đi từ D về A : Có 24 cách

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 24.24 = 576 cách đi.

Kiến thức áp dụng

– Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi các hành động liên tiếp.

+ Hành động thứ nhất có m cách thực hiện.

+ Hành động thứ hai có n cách thực hiện

+ Hành động thứ ba có p cách thực hiện

….

⇒ Có m.n.p… cách hoàn thành công việc.

Bài 4 (trang 46 SGK Đại số 11): Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Lời giải:

Việc chọn một chiếc đồng hồ cần thực hiện 2 hành động liên tiếp:

+ Chọn mặt đồng hồ: Có 3 cách chọn.

+ Chọn dây đồng hồ: Có 4 cách chọn.

⇒ Theo quy tắc nhân: Có 3.4 = 12 cách chọn đồng hồ.

Kiến thức áp dụng

– Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.

+ Hành động thứ nhất có m cách thực hiện.

+ Hành động thứ hai có n cách thực hiện

⇒ Có m.n cách hoàn thành công việc.