Bài Tập Trắc Nghiệm Tích Phân Của Hàm ẩn

• Khóa học
• Trắc nghiệm
  • Câu hỏi
  • Đề thi
  • Phòng thi trực tuyến
  • Đề tạo tự động
• Bài viết
• Hỏi đáp
• Giải BT
• Tài liệu
  • Đề thi - Kiểm tra
  • Giáo án
• Games
• Đăng nhập / Đăng ký

• Khóa học
• Đề thi
• Phòng thi trực tuyến
• Đề tạo tự động
• Bài viết
• Câu hỏi
• Hỏi đáp
• Giải bài tập
• Tài liệu
• Games
• Nạp thẻ

• Đăng nhập / Đăng ký

Trang chủ / Tài liệu / Bài tập trắc nghiệm Tích phân của hàm ẩn Bài tập trắc nghiệm Tích phân của hàm ẩn ctvtoan5 4 năm trước 46954 lượt xem 868 lượt tải

Chào các bạn học sinh và quý thầy cô, hôm nay LogaVN gửi tới bạn đọc tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Tích phân của hàm ẩn". Hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn học tập và giảng dạy.

Tải xuống https://toanmath.com/ TÍCH PHÂN CỦA HÀM ẨN BÀI TẬP DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM Câu 1: Cho hàm số ( ) f x xác định trên { } \1  thỏa mãn ( ) 1 1 fx x ′ = − , ( ) 0 2017 f = , ( ) 2 2018 f = . Tính ( ) ( ) 31 Sf f = −− . A. 1 S = . B. ln 2 S = . C. ln 4035 S = . D. 4 S = . Câu 2: Cho hàm số ( ) f x xác định trên 1 \ 2        thỏa mãn ( ) 2 21 fx x ′ = − và ( ) 01 f = . Giá trị của biểu thức ( ) ( ) 13 ff −+ bằng A. 4 ln15 + . B. 3 ln15 + . C. 2 ln15 + . D. ln15. Câu 3: Cho hàm số () fx xác định trên 1 \ 2        thỏa mãn 2 () 21 fx x ′ = − , (0) 1 f = và (1) 2 f = . Giá trị của biểu thức ( 1) (3) ff −+ bằng A. 4 ln 5 + . B. 2 ln15 + . C. 3 ln15 + . D. ln15. Câu 4: Cho hàm số ( ) f x xác định trên  thỏa mãn ( ) 2 1 fx x ′ = + và ( ) 15 f = . Phương trình ( ) 5 f x = có hai nghiệm 1 x , 2 x . Tính tổng 21 2 2 log log Sx x = + . A. 1 S = . B. 2 S = . C. 0 S = . D. 4 S = . Câu 5: Cho hàm số () fx xác định trên 1 \ 3     thỏa mãn ( ) ( ) 3 , 01 31 fx f x ′ = = − và 2 2 3 f  =   . Giá trị của biểu thức ( ) ( ) 13 ff −+ bằng A. 3 5ln 2 + . B. 2 5ln 2 −+ . C. 4 5ln 2 + . D. 2 5ln 2 + . Câu 6: Cho hàm số ( ) f x xác định trên { } \ 2;2 −  và thỏa mãn ( ) ( ) 2 4 ; 30 4 fx f x ′ = −= − ; ( ) 01 f = và ( ) 32 f = . Tính giá trị biểu thức ( ) ( ) ( ) 4 14 Pf f f = − + −+ . A. 3 3 ln 25 P = + . B. 3 ln 3 P = + . C. 5 2 ln 3 P = + . D. 5 2 ln 3 P = − . Câu 7: Cho hàm số ( ) f x xác định trên { } \ 2;1 −  thỏa mãn ( ) 2 1 2 fx xx ′ = +− ; ( ) ( ) 3 30 f f −− = và ( ) 1 0 3 f = . Giá trị của biểu thức ( ) ( ) ( ) 4 14 f f f − + −− bằng A. 11 ln 2 33 + . B. 1 ln80 + . C. 1 4 1 ln 2 ln 35 + + . D. 18 1 ln 35 + . Câu 8: Cho hàm số ( ) f x xác định trên { } \ 1;1 −  và thỏa mãn ( ) 2 1 1 fx x ′ = − ; ( ) ( ) 3 30 ff −+ = và 11 2 22 ff    −+ =       . Tính giá trị của biểu thức ( ) ( ) 04 Pf f = + . A. 3 2 ln 5 P = + . B. 3 1 ln 5 P = + . C. 13 1 ln 25 P = + . D. 13 ln 25 P = . Câu 9: Cho hàm số ( ) f x xác định trên { } \1 ±  thỏa mãn ( ) 2 1 1 fx x ′ = − . Biết ( ) ( ) 3 30 ff −+ = và 11 2 22 ff    −+ =       . Giá trị ( ) ( ) ( ) 20 4 Tf f f = −+ + bằng: https://toanmath.com/ A. 15 2 ln 29 T = + . B. 1 9 1 ln 25 T = + . C. 1 9 3 ln 25 T = + . D. 1 9 ln 25 T = . Câu 10: Cho hàm số ( ) f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên ( ) 0; +∞ thỏa mãn ( ) 1 2 15 f = và ( ) ( ) ( ) 2 24 0 fx x f x ′ ++ = . Tính ( ) ( ) ( ) 12 3 ff f + + . A. 7 15 . B. 11 15 . C. 11 30 . D. 7 30 . Câu 11: Cho hàm số ( ) f x xác định và liên tục trên  . Biết ( ) ( ) 6 . 12 13 f x f x x ′ = + và ( ) 02 f = . Khi đó phương trình ( ) 3 f x = có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 7 . D. 1. Câu 12: Cho hàm số ( ) f x xác định trên  thỏa mãn ( ) ee 2 xx fx − ′ = +− , ( ) 05 f = và 1 ln 0 4 f  =   . Giá trị của biểu thức ( ) ( ) ln16 ln 4 Sf f =−+ bằng A. 31 2 S = . B. 9 2 S = . C. 5 2 S = . D. ( ) ( ) 0. 2 1 f f = . Câu 13: Cho hàm số ( ) f x liên tục, không âm trên đoạn 0; 2 π    , thỏa mãn ( ) 03 f = và ( ) ( ) ( ) 2 . cos . 1 f x f x x f x ′ = + , 0; 2 x π  ∀∈   . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số ( ) f x trên đoạn ; 62 ππ    . A. 21 2 m = , 22 M = . B. 5 2 m = , 3 M = . C. 5 2 m = , 3 M = . D. 3 m = , 22 M = . Câu 14: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn ( ) 0 f x > , x ∀∈  . Biết ( ) 01 f = và ( ) ( ) ' 22 fx x f x = − . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình ( ) f x m = có hai nghiệm thực phân biệt. A. me > . B. 01 m và ( ) 11 f = − . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Phương trình ( ) 0 f x = có 1 nghiệm trên ( ) 0;1 . B. Phương trình ( ) 0 f x = có đúng 3 nghiệm trên ( ) 0; +∞ . C. Phương trình ( ) 0 f x = có 1 nghiệm trên ( ) 1;2 . C. Phương trình ( ) 0 f x = có 1 nghiệm trên ( ) 2;5 . Hươngd dẫn giải Chọn C ( ) 4 2 2 2 fx x x x ′ ≥+ − 63 2 22 xx x −+ = ( ) 2 3 2 11 0 x x −+ = > , 0 x ∀> . ( ) y f x ⇒= đồng biến trên ( ) 0; +∞ . ( ) 0 f x ⇒ = có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng ( ) 0; +∞ ( ) 1 . Mặt khác ta có: ( ) 4 2 2 20 fx x x x ′ ≥+ − > , 0 x ∀> ( ) 22 4 2 11 2 21 d 2d 5 fx x x x x x  ′ ⇒ ≥ +− =   ∫∫ ( ) ( ) 21 21 5 ff ⇒ −≥ ( ) 17 2 5 f ⇒≥ . Kết hợp giả thiết ta có ( ) y f x = liên tục trên [ ] 1;2 và ( ) ( ) 2. 1 0 ff < ( ) 2 . Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra phương trình ( ) 0 f x = có đúng 1 nghiệm trên khoảng ( ) 1;2 . Câu 100: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm ( ) fx ′ liên tục trên  và thỏa mãn ( ) [ ] 1;1 fx ′ ∈− với ( ) 0;2 x ∀∈ . Biết ( ) ( ) 0 21 ff = = . Đặt ( ) 2 0 d I f x x = ∫ , phát biểu nào dưới đây đúng? A. ( ] ;0 I ∈ −∞ . B. ( ] 0;1 I ∈ . C. [ ) 1; I ∈ +∞ . D. ( ) 0;1 I ∈ . https://toanmath.com/ Câu 101: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên [ ] 0; 1 thỏa mãn ( ) 1 0 d0 xf x x = ∫ và ( ) [0; 1] max 1. f x = Tích phân ( ) 1 0 ed x I f x x = ∫ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 5 ;. 4  −∞ −   B. 3 ; e 1 . 2   −     C. 53 ; . 4 2  −   D. ( ) e 1; . − +∞ Câu 102: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn ( ) 01 f = và ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 00 1 3 d2 d 9 f x f x x f x f x x  ′′ +≤     ∫∫ . Tính tích phân ( ) 1 3 0 d f x x   ∫ : A. 3 2 . B. 5 4 . C. 5 6 . D. 7 6 . Câu 103: Cho hai hàm số ( ) f x và ( ) gx có đạo hàm trên đoạn [ ] 1;4 và thỏa mãn hệ thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 14 .; . fg g xx f x f x x g x +=    ′′ = −= −   . Tính ( ) ( ) 4 1 d I f x gx x = +   ∫ . A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2 . D. 4ln 2 . https://toanmath.com/ HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM Câu 1: Cho hàm số ( ) f x xác định trên { } \1  thỏa mãn ( ) 1 1 fx x ′ = − , ( ) 0 2017 f = , ( ) 2 2018 f = . Tính ( ) ( ) 31 Sf f = −− . A. 1 S = . B. ln 2 S = . C. ln 4035 S = . D. 4 S = . Hươngd dẫn giải Chọn A Cách 1: Ta có ( ) ( ) 1 d d ln 1 1 f x x x x C x = = −+ − ∫∫ . Theo giả thiết ( ) 0 2017 f = , ( ) 2 2018 f = nên ( ) ( ) ( ) ( ) ln 1 2017 khi 1 ln 1 2018 khi 1 f x x x f x x x  = −+ <   = −+ >   . Do đó ( ) ( ) 31 Sf f = −− ln 2 2018 ln 2 2017 1 = + −− = . Cách 2: Ta có: 00 0 1 11 33 3 2 22 1 (0) ( 1) '( ) ln 1 | ln (1) 1 2 (3) (2) '( ) ln 1 | ln 2 (2) 1 dx f f f x dx x x dx f f f x dx x x − −−  − −= = = − =  −    − = = = −=  −  ∫ ∫ ∫∫ Lấy (1)+(2), ta được (3) (2) (0) ( 1) 0 S 1 ff f f −+− −=⇒= . Câu 2: Cho hàm số ( ) f x xác định trên 1 \ 2        thỏa mãn ( ) 2 21 fx x ′ = − và ( ) 01 f = . Giá trị của biểu thức ( ) ( ) 13 ff −+ bằng A. 4 ln15 + . B. 3 ln15 + . C. 2 ln15 + . D. ln15. Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) 1 2. 2 1 2 2 ln 2 1 21 21 dx f x f x dx dx x c x x − ′ = = = = −+ − − ∫ ∫ ∫ . ( ) 01 f = 1 c ⇔= ( ) ln 2 1 1 f x x ⇔ = −+ . ( ) ( ) 1 ln 3 1 3 ln 5 1 f f − = +    = +   ( ) ( ) 1 3 2 ln15 ff ⇔ −+ = + . Câu 3: Cho hàm số () fx xác định trên 1 \ 2        thỏa mãn 2 () 21 fx x ′ = − , (0) 1 f = và (1) 2 f = . Giá trị của biểu thức ( 1) (3) ff −+ bằng A. 4 ln 5 + . B. 2 ln15 + . C. 3 ln15 + . D. ln15. Hươngd dẫn giải Chọn C Cách 1: • Trên khoảng 1 ; 2  +∞   : 1 2 ( ) ln(2 1) . 21 f x dx x C x = = −+ − ∫ Lại có 1 (1) 2 2. fC =⇒ = • Trên khoảng 1 ; 2  −∞   : 2 2 ( ) ln(1 2 ) . 21 f x dx x C x = = −+ − ∫ https://toanmath.com/ Lại có 2 (0) 1 1. fC =⇒= Vậy 1 ln(2 1) 2 2 () 1 ln(1 2 ) 1 2 x khi x fx x khi x  −+ >   =   −+ <   . Suy ra ( 1) (3) 3 ln15. ff −+ = + Cách 2: Ta có: 00 0 1 11 33 3 1 11 21 (0) ( 1) '( ) ln 2 1 | ln (1) 21 3 2 (3) (1) '( ) ln 2 1 | ln 5 (2) 21 dx f f f x dx x x dx f f f x dx x x − −−  − −= = = − =  −    − = = = − =  −  ∫ ∫ ∫∫ Lấy (2)-(1), ta được (3) (1) (0) ( 1) ln15 ( 1) (3) 3 ln15 f ff f f f − − + − = ⇒ −+ = + . Câu 4: Cho hàm số ( ) f x xác định trên  thỏa mãn ( ) 2 1 fx x ′ = + và ( ) 15 f = . Phương trình ( ) 5 f x = có hai nghiệm 1 x , 2 x . Tính tổng 21 2 2 log log Sx x = + . A. 1 S = . B. 2 S = . C. 0 S = . D. 4 S = . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 d 2 1d f x f x x x x x x C ′ = = + = ++ ∫∫ . Mà ( ) ( ) 2 1 5 11 5 3 3 f C C f x x x = ⇔ ++ = ⇔ = ⇒ = + + . Xét phương trình: ( ) 22 1 5 3 5 2 0 2 x f x xx xx x =  = ⇔ ++ = ⇔ +− = ⇔  = −  . 21 2 2 2 2 log log log 1 log 2 1 Sx x = + = + −= . Câu 5: Cho hàm số () fx xác định trên 1 \ 3     thỏa mãn ( ) ( ) 3 , 01 31 fx f x ′ = = − và 2 2 3 f  =   . Giá trị của biểu thức ( ) ( ) 13 ff −+ bằng A. 3 5ln 2 + . B. 2 5ln 2 −+ . C. 4 5ln 2 + . D. 2 5ln 2 + . Hươngd dẫn giải Chọn A Cách 1: Từ ( ) ( ) 1 1 1 ln 3 1 khi x ; 3 33 dx= 31 31 1 ln 3 1 khi x ; 3 xC f x f x xx xC   − + ∈ −∞     ′ = ⇒=  −−    − + ∈ +∞      ∫ . Ta có: ( ) 11 22 01 01 1 2 02 2 2 3 f CC CC f =  += =   ⇒⇔    += = =      ( ) 1 ln 3 1 1 khi x ; 3 1 ln 3 1 2 khi x ; 3 x f x x   − + ∈ −∞     ⇒=     − + ∈ +∞       . Khi đó: ( ) ( ) 1 3 ln 4 1 ln8 2 3 ln 32 3 5ln 2 ff − + = ++ + = + = + . Cách 2: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 1 1 33 3 3 2 2 3 3 22 33 31 0 1 dx dx ln 3 1 ln 1 31 4 23 3 dx dx ln 3 1 ln8 2 3 31 f f f x f x x x f f f x f x x x − − − −  ′ − − = = = = − =  −     ′ − = = = = −=  −    ∫ ∫ ∫∫ https://toanmath.com/ Lấy ( ) ( ) 21 − , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 0 ln 32 1 3 3 5ln 2 3 ff f f f f  + −− − = ⇒ −+ = +   . Câu 6: Cho hàm số ( ) f x xác định trên { } \ 2;2 −  và thỏa mãn ( ) ( ) 2 4 ; 30 4 fx f x ′ = −= − ; ( ) 01 f = và ( ) 32 f = . Tính giá trị biểu thức ( ) ( ) ( ) 4 14 Pf f f = − + −+ . A. 3 3 ln 25 P = + . B. 3 ln 3 P = + . C. 5 2 ln 3 P = + . D. 5 2 ln 3 P = − . Hươngd dẫn giải Chọn B Từ ( ) 2 4 4 fx x ′ = − ( ) 2 4 4 dx f x x ⇒= − ∫ ( ) ( ) 4 22 dx xx = −+ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 ln ;2 2 2 ln 2;2 2 2 ln 2; 2 x C khi x x x C khi x x x C khi x x − + ∈ −∞ −  +   − = + ∈ −  +   − + ∈ +∞  +  Ta có ( ) ( ) ( ) 30 01 22 f f f −=   =   =  1 2 3 ln 5 0 01 1 ln 2 5 C C C   +=  ⇒+ =    + =  1 2 3 ln 5 1 2 ln 5 C C C = −   ⇔=   = +  ( ) f x ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 ln -ln5 ;2 2 2 ln 1 2;2 2 2 ln 2 ln5 2; 2 x khi x x x khi x x x khi x x − ∈ −∞ −  +   − = + ∈−  +   − + + ∈ +∞  +  . Khi đó ( ) ( ) ( ) 4 14 Pf f f = − + −+ 1 ln 3 ln 5 ln 3 1 ln 2 ln 5 3 = −+++ ++ 3 ln 3 = + . Câu 7: Cho hàm số ( ) f x xác định trên { } \ 2;1 −  thỏa mãn ( ) 2 1 2 fx xx ′ = +− ; ( ) ( ) 3 30 f f −− = và ( ) 1 0 3 f = . Giá trị của biểu thức ( ) ( ) ( ) 4 14 f f f − + −− bằng A. 11 ln 2 33 + . B. 1 ln80 + . C. 1 4 1 ln 2 ln 35 + + . D. 18 1 ln 35 + . Hươngd dẫn giải Chọn A ( ) 2 1 2 fx xx ′ = +− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 11 ln ; 2 32 d d 11 ln 2;1 2 1 23 2 11 ln 1; 32 x C khi x x xx x f x C khi x xx x x x x C khi x x − + ∈ −∞ −  +   − ⇒ = = = + ∈ −  +− − + +   − + ∈ +∞  +  ∫∫ Do đó ( ) ( ) 1 3 31 1 1 2 1 3 3 0 ln 4 ln ln10 3 35 3 f f C C CC −− = ⇒ + − − ⇒ = + . https://toanmath.com/ Và ( ) 22 1 1 1 1 11 0 ln ln 2 3 3 2 3 33 f CC =⇒ +=⇒ =+ . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 ln ; 2 32 1 1 11 ln ln 2 2;1 3 2 33 11 1 ln ln10 1; 32 3 x C khi x x x f x khi x x x C khi x x − + ∈ −∞ −  +   − ⇒ = + + ∈−  +   − + + ∈ +∞  +  . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 11 1 5 1 11 1 1 1 11 4 1 4 ln ln 2 ln 2 ln ln10 ln 2 3 2 3 33 3 2 3 33 f f f C C       −+−− =+ +++− ++ =+             . Câu 8: Cho hàm số ( ) f x xác định trên { } \ 1;1 −  và thỏa mãn ( ) 2 1 1 fx x ′ = − ; ( ) ( ) 3 30 ff −+ = và 11 2 22 ff    −+ =       . Tính giá trị của biểu thức ( ) ( ) 04 Pf f = + . A. 3 2 ln 5 P = + . B. 3 1 ln 5 P = + . C. 13 1 ln 25 P = + . D. 13 ln 25 P = . Hươngd dẫn giải Chọn C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 2 11 ln ; 1 1; 2 1 1 d d 1 1 11 11 ln 1;1 2 1 x C khi x x xx fx x x xx x C khi x x − + ∈ −∞ − ∪ +∞  +  ′= ⇒ = =  − − −+ −  + ∈−  +  ∫ ∫ . Ta có ( ) ( ) 1 11 1 11 3 3 0 ln 2 ln 0 0 2 22 f f C C C −+ = ⇒ + + + = ⇒ = . Và 2 22 1 1 1 11 2 ln 3 ln 2 1 2 2 2 23 f f C CC    − + =⇒ + + + =⇒ =       . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 11 ln ; 1 1; 2 1 11 ln 1 1;1 2 1 x khi x x f x x khi x x − ∈ −∞ − ∪ +∞  +  =  −  + ∈ −  +  . Vậy ( ) ( ) 04 Pf f = + = 13 1 ln 25 + . Câu 9: Cho hàm số ( ) f x xác định trên { } \1 ±  thỏa mãn ( ) 2 1 1 fx x ′ = − . Biết ( ) ( ) 3 30 ff −+ = và 11 2 22 ff    −+ =       . Giá trị ( ) ( ) ( ) 20 4 Tf f f = −+ + bằng: A. 15 2 ln 29 T = + . B. 1 9 1 ln 25 T = + . C. 1 9 3 ln 25 T = + . D. 1 9 ln 25 T = . Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có ( ) 2 1 dd 1 fx x x x ′ = − ∫∫ 11 1 d 2 11 x x x  = −  − +  ∫ 11 ln 2 1 x C x − = + + . https://toanmath.com/ Do đó ( ) 1 2 11 ln khi 1, 1 21 11 ln khi 1 1 21 x Cx x x Cx f x x x − + + − +−    =  , với mọi ( ) 0; x ∈ +∞ nên ta có ( ) ( ) 2 24 fx x fx ′ − =+ . Suy ra ( ) 2 1 4 x xC f x = ++ . Mặt khác ( ) 1 2 15 f = nên 3 C = hay ( ) 2 1 43 f x x x = ++ . Do đó ( ) ( ) ( ) 12 3 ff f + + 11 1 8 15 24 =++ 7 30 = . Câu 11: Cho hàm số ( ) f x xác định và liên tục trên  . Biết ( ) ( ) 6 . 12 13 f x f x x ′ = + và ( ) 02 f = . Khi đó phương trình ( ) 3 f x = có bao nhiêu nghiệm? A. 2 . B. 3. C. 7 . D. 1. Hươngd dẫn giải Chọn A Từ ( ) ( ) 6 . 12 13 f x f x x ′ = + ( ) ( ) ( ) 6 . 12 13 f x f x dx x dx ′ ⇒=+ ∫∫ ( ) ( ) 6 2 6 13 f x df x x x C ⇔ = ++ ∫ ( ) 7 2 6 13 7 f x x xC ⇔ = ++ ( ) 02 2 7 f C = → = . Suy ra: ( ) 72 42 91 2 f x x x = + + . Từ ( ) 3 f x = ( ) 7 2187 f x ⇔= 2 42 91 2 2187 xx ⇒ + += ( ) 2 42 91 2185 0 * xx ⇔ + − = . Phương trình ( ) * có 2 nghiệm trái dầu do 0 ac < . Câu 12: Cho hàm số ( ) f x xác định trên  thỏa mãn ( ) ee 2 xx fx − ′ = +− , ( ) 05 f = và 1 ln 0 4 f  =   . Giá trị của biểu thức ( ) ( ) ln16 ln 4 Sf f =−+ bằng A. 31 2 S = . B. 9 2 S = . C. 5 2 S = . D. ( ) ( ) 0. 2 1 f f = . Hươngd dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ Ta có ( ) ee 2 xx fx − ′ = +− e 1 e x x − = 22 22 e e khi 0 e e khi 0 xx xx x x − −  −≥  =   −<  . Do đó ( ) 22 1 22 2 2e 2e khi 0 2e 2e khi 0 xx xx Cx f x Cx − −  ++ ≥  =   − − + <  . Theo đề bài ta có ( ) 05 f = nên 00 1 2e 2e 5 C + += 1 1 C ⇔ = . ( ) ln 4 ln 4 22 ln 4 2e 2e 1 f − ⇒ = ++ 6 = Tương tự 1 ln 0 4 f  =   nên 1 1 ln ln 4 4 2 2 2 2e 2e 0 C             − − − += 2 5 C ⇔= . ( ) ( ) ( ) ln16 ln16 22 ln16 2e 2e 5 f −− − ⇒− = − − + 7 2 = − . Vậy ( ) ( ) 5 ln16 ln 4 2 Sf f =−+ =. Câu 13: Cho hàm số ( ) f x liên tục, không âm trên đoạn 0; 2 π    , thỏa mãn ( ) 03 f = và ( ) ( ) ( ) 2 . cos . 1 f x f x x f x ′ = + , 0; 2 x π  ∀∈   . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm số ( ) f x trên đoạn ; 62 ππ    . A. 21 2 m = , 22 M = . B. 5 2 m = , 3 M = . C. 5 2 m = , 3 M = . D. 3 m = , 22 M = . Hươngd dẫn giải Chọn A Từ giả thiết ( ) ( ) ( ) 2 . cos . 1 f x f x x f x ′ = + ( ) ( ) ( ) 2 . d sin 1 f x f x x xC fx ′ ⇒=+ + ∫ Đặt ( ) ( ) 2 22 11 t fx t fx = + ⇒ =+ ( ) ( ) dd tt f x f x x ′ ⇒= . Thay vào ta được d sin sin t xC t xC = + ⇒= + ∫ ( ) 2 1 sin f x xC ⇒+ = + . Do ( ) 03 f = 2 C ⇒= . Vậy ( ) ( ) 2 2 2 1 sin 2 sin 4sin 3 fx x fx x x + = +⇒ = + + ( ) 2 sin 4sin 3 f x x x ⇒= + + , vì hàm số ( ) f x liên tục, không âm trên đoạn 0; 2 π    . Ta có 1 sin 1 6 22 xx ππ ≤≤ ⇒ ≤ ≤ , xét hàm số ( ) 2 4 3 gt t t = ++ có hoành độ đỉnh 2 t = − loại. Suy ra ( ) ( ) 1 ;1 2 18 max g t g    = = , ( ) 1 ;1 2 1 21 min 24 gt g        = =   . ( ) ( ) ( ) 2 . cos 1 ′ ⇒ = + f x f x x fx https://toanmath.com/ Suy ra ( ) ; 62 22 2 max f x f ππ π        = =   , ( ) ; 62 21 min 6 2 f x g ππ π        = =   . Câu 14: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn ( ) 0 f x > , x ∀∈  . Biết ( ) 01 f = và ( ) ( ) ' 22 fx x f x = − . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình ( ) f x m = có hai nghiệm thực phân biệt. A. me > . B. 01 m − , ( ) 00 f = và thỏa ( ) ( ) 2 12 1 f x x x f x ′ += + . Tính ( ) 3 f . A. 0 . B. 3. C. 7 . D. 9. Hươngd dẫn giải Chọn B Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 12 1 1 1 fx x f x x x f x f x x ′ ′ += +⇔ = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 33 3 33 2 2 00 0 00 2 d d 1 1 11 1 1 fx x x x f x x f x f x x ′ ⇔ = ⇔ += +⇔ += + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 31 0 1 1 31 2 3 3 ff f f ⇔ + − += ⇔ += ⇔ = . Câu 75: Cho hàm số ( ) 0 f x ≠ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) 2 23 fx x f x ′ = + và ( ) 1 0 2 f = − . Biết rằng tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 ... 2017 2018 a ff f f f b + + ++ + = với ( ) * , ab ∈∈  và a b là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 1 a b . C. 1010 ab + = . D. 3029 ba −= . Hươngd dẫn giải Chọn D Ta có ( ) ( ) ( ) 2 23 fx x f x ′ = + ( ) ( ) 2 23 fx x fx ′ ⇔=+ ( ) ( ) ( ) d 2 3d fx x xx f x ′ ⇔=+ ∫∫ ( ) 2 1 3 x xC f x ⇔− = + + . Vì ( ) 1 02 2 f C = −⇒ = . Vậy ( ) ( ) ( ) 1 11 12 2 1 f x x x x x = −= − + + + + . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1009 1 2 3 ... 2017 2018 2020 2 2020 ff f f f + + ++ + = − = − . Vậy 1009 a = − ; 2020 b = . Do đó 3029 ba −= . Câu 76: Biết luôn có hai số a và b để ( ) 4 ax b F x x + = + ( ) 40 ab −≠ là nguyên hàm của hàm số ( ) f x và thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 2 21 f x F x f x ′ = −     . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. 1 a = , 4 b = . B. 1 a = , 1 b = − . C. 1 a = , { } \4 b ∈  . D. a ∈  , b ∈  . Hươngd dẫn giải Chọn C https://toanmath.com/ Ta có ( ) 4 ax b F x x + = + là nguyên hàm của ( ) f x nên ( ) ( ) ( ) 2 4 4 ab f x F x x − ′ = = + và ( ) ( ) 3 28 4 ba fx x − ′ = + . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 f x F x f x ′ = − ( ) ( ) ( ) 2 43 24 28 1 4 44 ab ax b b a x xx − + −   ⇔=−   +   ++ ( ) 44 a b ax b x ⇔ − =− +− − ( ) ( ) 41 0 1 x aa ⇔ + − = ⇔= (do 40 x+≠ ) Với 1 a = mà 40 ab −≠ nên 4 b ≠ . Vậy 1 a = , { } \4 b ∈  . Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau: + Vì 40 ab −≠ nên loại được ngay phương án A: 1 a = , 4 b = và phương án D: a ∈  , b ∈  . + Để kiểm tra hai phương án còn lại, ta lấy 0 b = , 1 a = . Khi đó, ta có ( ) 4 x F x x = + , ( ) ( ) 2 4 4 f x x = + , ( ) ( ) 3 8 4 fx x ′ = − + . Thay vào ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 f x F x f x ′ = − thấy đúng nên Chọn C Câu 77: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên [ ] 1;2 thỏa mãn ( ) 14 f = và ( ) ( ) 32 23 f x xf x x x ′ = −− . Tính ( ) 2 f A. 5. B. 20 . C. 10. D. 15. Hươngd dẫn giải Chọn B Do [ ] 1;2 x ∈ nên ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 2 3 23 23 xf x f x f x f x xf x x x x x xx ′ ′ −   ′ = − − ⇔ = +⇔ = +     ( ) 2 3 f x x xC x ⇔ = + + . Do ( ) 14 f = nên 0 C = ⇒ ( ) 32 3 f x x x = + . Vậy ( ) 2 20 f = . Câu 78: Cho ( ) 2 cos x f x x = trên ; 22 ππ  −   và ( ) F x là một nguyên hàm của ( ) xf x ′ thỏa mãn ( ) 00 F = . Biết ; 22 a ππ  ∈−   thỏa mãn tan 3 a = . Tính ( ) 2 10 3 Fa a a −+ . A. 1 ln10 2 − . B. 1 ln10 4 − . C. 1 ln10 2 . D. ln10. Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có: ( ) ( ) d F x xf x x ′ = ∫ ( ) d xf x = ∫ ( ) ( ) d xf x f x x = − ∫ Ta lại có: ( ) 2 dd cos x f x x x x = ∫∫ ( ) = d tan xx ∫ tan tan d x x xx = − ∫ sin tan d cos x xx x x = − ∫ ( ) 1 tan d cos cos xx x x = + ∫ tan ln cos x x xC = ++ ( ) ( ) tan ln cos F x xf x x x x C ⇒= − − + Lại có: ( ) 00 F = 0 C ⇒= , do đó: ( ) ( ) tan ln cos F x xf x x x x = − − . ( ) ( ) tan ln cos F a af a a a a ⇒ = − − https://toanmath.com/ Khi đó ( ) 2 cos a f a a = ( ) 2 1 tan aa = + 10a = và 2 2 1 1 tan cos a a = + 10 = 2 1 cos 10 a ⇔ = 1 cos 10 a ⇔= . Vậy ( ) 2 10 3 Fa a a −+ 22 1 10 3 ln 10 3 10 aa a a = − − − + 1 ln10 2 = . Câu 79: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và liên tục trên  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau ( ) 0 f x > , x ∀∈  , ( ) ( ) 2 e. x fx f x ′ = − x ∀∈  và ( ) 1 0 2 f = . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ 0 ln 2 x = là A. 2 9 2ln 2 3 0 x y + − −=. B. 2 9 2ln 2 3 0 xy − − +=. C. 2 9 2ln 2 3 0 xy − + −=. D. 2 9 2ln 2 3 0 x y + + −=. Hươngd dẫn giải Chọn A Ta có ( ) ( ) 2 e. x fx f x ′ = − ( ) ( ) 2 e x fx fx ′ ⇔− = ( ) ( ) ln 2 ln 2 2 00 d ed x fx xx fx  ′ ⇒− =   ∫∫ ( ) ( ) ln 2 ln 2 0 0 1 e x f x   ⇒ =       ( ) ( ) 11 1 ln 2 0 ff ⇒ −= ( ) 1 ln 2 3 f⇒= . Từ đó ta có ( ) ( ) ln 2 2 ln 2 e ln 2 ff ′ = − 2 1 2. 3   = −     2 9 = − . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là ( ) 21 ln 2 93 yx = − − + 2 9 2ln 2 3 0 x y ⇔ + − −=. Câu 80: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 , ( ) f x và ( ) fx ′ đều nhận giá trị dương trên đoạn [ ] 0;1 và thỏa mãn ( ) 02 f = , ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 00 . 1 d 2 . d f x f x x f x f x x   ′′ +=     ∫∫ . Tính ( ) 1 3 0 d f x x   ∫ . A. 15 4 . B. 15 2 . C. 17 2 . D. 19 2 . Hươngd dẫn giải Chọn D Theo giả thiết, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 00 . 1 d 2 . d f x f x x f x f x x   ′′ +=     ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 00 . 1 d 2 . d 0 f x f x x f x f x x   ′′ ⇔ +− =     ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 . 2 . 1 d 0 f x f x f x f x x   ′′ ⇔ − +=     ∫ ( ) ( ) 2 1 0 . 1d 0 f x f x x  ′ ⇔ − =  ∫ ( ) ( ) . 10 f x f x ′ ⇒ −= ( ) ( ) 2 . 1 f x f x ′ ⇒= ( ) 3 3 f x xC ⇒=+ . Mà ( ) 8 02 3 fC = ⇒= . Vậy ( ) 3 38 f x x = + . Vậy ( ) ( ) 1 1 1 2 3 0 0 0 3 19 d 3 8d 8 22 x f x x x x x  = += + =     ∫∫ . https://toanmath.com/ Câu 81: Cho () fx không âm thỏa mãn điều kiện 2 (). '() 2 () 1 fx f x x f x = + và (0) 0 f = . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số () y fx = trên [ ] 1;3 là A. 22 B. 4 11 3 + C. 20 2 + D. 3 11 3 + Hươngd dẫn giải Chọn D Biến đổi: 2 22 (). '() (). '() (). '() 2 () 1 2 2 () 1 () 1 fx f x fx f x f x f x x f x x dx xdx f x f x = +⇔ = ⇒ = + + ∫ ∫ 22 () 1 f x x C ⇔ += + Với 2 2 2 4 2 (0) 0 1 () 1 1 () 2 () f C f x x f x x x g x = ⇒ = ⇒ + = + ⇒ = + = Ta có: [ ] 3 '( ) 4 4 0, 1;3 gx x x x = + > ∀∈ . Suy ra () gx đồng biến trên [ ] 1;3 Suy ra: ( ) ( ) 0 2 2 (1) () () 3 3 () 99 3 () 3 11 f x g g x f x g f x f x ≥ ≤ = ≤ ⇒ ≤ ≤ → ≤ ≤ [ ] 1;3 3 min ( ) 3 ( ) 3 11 fx Max f x  =  ⇒  =   Chú ý: Nếu không tìm được ra luôn 2 2 (). '() () 1 () 1 fx f x dx f x C f x = ++ + ∫ thì ta có thể sử dụng kĩ thuật vi phân hoặc đổi biến (bản chất là một) +) Vi phân: ( ) ( ) ( ) 1 2 22 2 22 (). '() () 1 () () 1 () 1 () 1 2 () 1 () 1 fx f x fx dx d f x f x d f x f x C f x f x − = = + + = ++ + + ∫∫ ∫ + Đổi biến: Đặt 2 22 () 1 () 1 () '() t f x t f x tdt f x f x dx = + ⇒ = + ⇒ = Suy ra: 2 2 (). '() () 1 () 1 f x f x tdt dx dt t C f x C t f x = = = + = ++ + ∫ ∫∫ Câu 82: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm và đồng biến trên  thỏa mãn ( ) 01 f = và ( ) ( ) ( ) 2 , x f x ef x x ′ = ∀∈  . Tính tích phân ( ) 1 0 f x dx ∫ bằng A. 2 e − . B. 1 e − . C. 2 2 e − . D. 2 1 e − . Hươngd dẫn giải Chọn B Biến đổi ( ) ( ) ( ) 2 x f x ef x ′ = ( ) ( ) ( ) 2 x fx e f x ′ ⇔= ( ) ( ) x fx e f x ′ ⇔ = ( ) ( ) x fx dx e dx f x ′ ⇒= ∫∫ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 x f x df x e dx − ⇔= ∫∫ ( ) 2 22 x f x e C ⇔=+ Vì ( ) 01 0 fC =⇒= ( ) 2 x f x e ⇒= ( ) x f x e ⇔= Suy ra ( ) 1 11 00 0 1 x f x dx edx e e = = = − ∫∫ Câu 83: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và liên tục trên { } \ 0  thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 22 21 1 x f x x f x xf x ′ +− = − với { } \ 0 x ∀∈  và ( ) 12 f = − . Tính ( ) 2 1 f x dx ∫ . https://toanmath.com/ A. 1 ln 2 2 −− . B. 3 ln 2 2 −− . C. ln 2 1 2 −− . D. 3 ln 2 22 −− . Hươngd dẫn giải Chọn A Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 22 21 1 x f x x f x xf x ′ +− = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1* xf x f x xf x ′ ⇔ + = + Đặt ( ) ( ) ( ) h x f x xf x ′ = + ( ) ( ) ( ) h x f x xf x ′′ ⇒= + , khi đó ( ) * có dạng ( ) ( ) 2 h x hx ′ = ( ) ( ) 2 1 hx hx ′ ⇒= ( ) ( ) 2 1 hx dx dx hx ′ ⇒= ∫∫ ( ) ( ) 2 dh x xC hx ⇒=+ ∫ ( ) 1 xC hx ⇔− = + ( ) 1 hx xC ⇒ = − + ( ) 1 1 xf x xC ⇒ +=− + Vì ( ) 12 f = − nên 1 21 1 C −+ =− + 0 C ⇒= Khi đó ( ) 1 1 xf x x +=− ( ) 2 11 f x x x ⇒ = −− Suy ra: ( ) 22 2 11 11 f x dx dx x x   = −−     ∫∫ 2 1 1 ln x x  = −   1 ln 2 2 = −− Câu 84: Cho hàm số ( ) y f x = . Có đạo hàm liên tục trên  . Biết ( ) 1e f = và ( ) ( ) ( ) 3 2 x f x xf x x ′ + = − , x ∀∈  . Tính ( ) 2 f . A. 2 4e 4e 4 −+ . B. 2 4e 2e 1 −+ . C. 3 2e 2e 2 −+ . D. 2 4e 4e 4 +− . Hươngd dẫn giải Chọn D Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 2 x f x xf x x ′ + = − ( ) ( ) ( ) 3 2 1 xf x x f x x ′ − + ⇔= ( ) 2 e e x x f x x − − ′  ⇔=   Suy ra ( ) 22 2 11 e d ed x x f x xx x − − ′  =   ∫∫ ( ) ( ) 21 21 2 2 e 2e 1 ee 21 f f − − − −   ⇔ − = − −   ( ) ( ) 21 12 e 2e 1 ee 41 f f − − −− ⇔ − =− ( ) ( ) 2 4e 1 e 1 ff ⇔ = +−   2 4e 4e 4 = +− . Câu 85: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 và thỏa mãn ( ) 00 f = . Biết ( ) 1 2 0 9 d 2 f xx = ∫ và ( ) 1 0 3 cos d 24 x fx x ππ ′ = ∫ . Tích phân ( ) 1 0 d f x x ∫ bằng A. 1 π . B. 4 π . C. 6 π . D. 2 π . Hươngd dẫn giải Chọn C Ta có ( ) ( ) ( ) 11 00 cos d cos d 22 xx f x x f x ππ ′ = ∫∫ ( ) ( ) 1 1 0 0 cos . sin . d 2 22 xx f x f x x π π π = + ∫ ( ) 1 0 sin . d 22 x f x x π π = ∫ . https://toanmath.com/ Suy ra ( ) 1 0 3 sin . d 22 x f x x π = ∫ Mặt khác ( ) 2 11 00 11 sin d 1- cos d 22 2 x x xx π π  = =   ∫∫ . Do đó ( ) ( ) 2 11 1 2 00 0 d 2 3sin d 3sin d 0 22 xx f xx f xx x ππ   − + =     ∫∫ ∫ . hay ( ) 2 1 0 3sin d 0 2 x f x x π  − =   ∫ suy ra ( ) 3sin 2 x f x π = . Vậy ( ) 1 11 0 00 66 d 3sin d cos 2 2 x x f x x x π π ππ == −= ∫∫ . Câu 86: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên đoạn [ ] 0; 1 , thỏa mãn ( ) ( ) 11 00 d d1 f x x xf x x = = ∫∫ và ( ) 1 2 0 d4 f x x =   ∫ . Giá trị của tích phân ( ) 1 3 0 d f x x   ∫ bằng A. 1. B. 8 . C. 10. D. 80 . Hươngd dẫn giải Chọn C Xét ( ) ( ) 1 2 0 d f x ax b x ++   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 2 2 00 0 d2 . d d f x x f x ax b x ax b x = + + ++       ∫∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 11 3 00 0 1 42 d 2 d 3 a xf x x b f x x ax b a =+ + ++ ∫∫ ( ) 2 2 42 3 a a b ab b =+ ++ + + . Cần xác định , ab để ( ) 2 2 2 2 40 3 a ba b b + + + + += Ta có: ( ) 22 4 44 24 3 bb bb ∆= ++ − ++ ( ) 2 2 0 3 b −− = ≤ 26 ba ⇒=⇒ = − . Khi đó: ( ) ( ) 1 2 0 6 2d 0 f x x x +− + =   ∫ ( ) 62 f x x ⇒=− Suy ra ( ) ( ) 1 1 3 3 0 0 d 6 2d f x x x x = −   ∫∫ ( ) 1 4 0 1 6 2 10 24 x = −= . Câu 87: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn ( ) 0 f x > khi [ ] 1,2 x ∈ . Biết ( ) 2 1 ' 10 f x dx = ∫ và ( ) ( ) 2 1 ' ln 2 fx dx f x = ∫ . Tính ( ) 2 f . A. ( ) 2 10 f = − . B. ( ) 2 20 f = . C. ( ) 2 10 f = . D. ( ) 2 20 f = − . Hươngd dẫn giải: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ' 2 1 10 f x dx f x f f = = −= ∫ (gt) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 '2 ln ln 2 ln 1 ln ln 2 1 fx f dx f x f f f x f = = −= =             ∫ (gt) https://toanmath.com/ Vậy ta có hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 10 2 20 2 2 1 10 1 ff f f f f − = =    ⇔  = =     Chọn B Câu 88: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ] 4;8 và ( ) 00 f ≠ với [ ] 4;8 x ∀∈ . Biết rằng ( ) ( ) 2 8 4 4 1 fx dx f x ′   =   ∫ và ( ) ( ) 11 4 ,8 42 ff = = . Tính ( ) 6 f . A. 5 8 . B. 2 3 . C. 3 8 . D. 1 3 . Hươngd dẫn giải Chọn D +) Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 88 22 44 8 1 11 24 2 4 84 f x df x dx fx fx f x f f   ′ = = − = − − = − − =       ∫∫ . +) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để ( ) ( ) 2 8 2 4 0 fx k dx fx  ′ +=    ∫ . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 8 8 88 2 22 4 22 4 4 44 2 1 4 4 2 1 fx fx fx k dx dx k dx k dx k k k fx fx f x ′  ′′  + = + + =+ + = +      ∫ ∫ ∫ ∫ . Suy ra: 1 2 k = − thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 66 2 22 4 44 1 11 0 2 22 fx fx fx dx dx dx fx fx fx  ′ ′′ −=⇔ =⇔ =    ∫ ∫∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 2 4 6 1 11 1 1 1 1 1 4 1 6 4 46 6 3 df x f f x f x f f f ⇔ =⇔− =⇔ −=⇔−=⇔ = ∫ . Chú ý: ( ) 0 b a f x dx = ∫ không được phép suy ra ( ) 0 f x = , nhưng ( ) ( ) 2 00 b k a f x dx f x =⇔= ∫ . Câu 89: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm xác định, liên tục trên đoạn [ ] 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện ( ) 01 f ′ = − và ( ) ( ) 2 fx f x ′ ′′ =   . Đặt ( ) ( ) 10 Tf f = − , hãy chọn khẳng định đúng? A. 21 T − ≤ ∀∈   ′ = =   ′ ′′ + = ∀∈    . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. ( ) 1 ln 1 1 2 f < < . B. ( ) 1 0 ln 1 2 f < < . C. ( ) 3 ln 1 2 2 f < < . D. ( ) 3 1 ln 1 2 f < < . Hươngd dẫn giải Chọn D Ta có 22 xy y yy ′ ′′ + = 2 2 yy y x y ′′ ′ − ⇔= y x y ′ ′  ⇔=   2 2 yx C y ′ ⇔= + hay ( ) ( ) 2 2 fx x C f x ′ = + . Lại có ( ) ( ) 0 01 ff ′ = = 1 C ⇒= . Ta có ( ) ( ) 2 1 2 fx x f x ′ = + ( ) ( ) 11 2 00 d 1d 2 fx x xx f x ′   ⇔=+     ∫∫ ( ) ( ) 1 0 7 ln 6 f x ⇔= ( ) 7 ln 1 6 f ⇔= . ( ) ( ) 3 1 ln 1 2 f ⇒ < < . Câu 91: Cho , fg là hai hàm liên tục trên [ ] 1;3 thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) 3 1 3 d 10 f x gx x +=   ∫ đồng thời ( ) ( ) 3 1 2 d6 f x gx x −=   ∫ . Tính ( ) ( ) 3 1 d f x gx x +   ∫ . A. 9. B. 6 . C. 7 . D. 8 . Hươngd dẫn giải Chọn B Đặt ( ) 3 1 d a f x x = ∫ , ( ) 3 1 d b gx x = ∫ . Khi đó ( ) ( ) 3 1 3 d 10 f x gx x +=   ∫ 3 10 ab ⇔+ = , ( ) ( ) 3 1 2 d6 f x gx x −=   ∫ 26 ab ⇔ −=. Do đó: 3 10 26 ab ab +=   −=  4 2 a b =  ⇔  =  . Vậy ( ) ( ) 3 1 d f x gx x +   ∫ 6 ab = + = . Câu 92: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên [ ] ; ab , nếu ( ) d 5 d a f x x = ∫ và ( ) d2 d b f x x = ∫ (với ad b