Bài Tập Về Phép Toán 2 Ngôi - 123doc

Bài tập về phép toán 2 ngôi

Hà Văn Tùng

Bài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:

(i): x * y = x + y +xy, với x ,y  ℝ

(ii) m  n = m + 2n, với m , n  ℕ

a) Tìm - 3 * 4; 0  n; 3  4

b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính

Bài làm a) * : R * R  R

(x,y)  x * y = x + y + xy

Tương ứng * là một ánh xạ vì:

 x, y  ℝ ta có x + y + xy = x * y  ℝ Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ

Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11

b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt

- Tính giao hoán:

 x, y  ℝ , ta có:

x * y = x + y + xy

 x* y = y *x

y * x = y + x + yx

Nên phép tính * có tính chất giao hoán

- Tính kết hợp:

 x, y , z  ℝ , ta có:

( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z

= x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1)

x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z)

= x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2)

Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp

- Tìm phần tử trung lập:

Tồn tại phần tử trung lập 0 vì  x  ℝ Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x

- Tìm phần tử đối xứng:

Với  x, y  R\ -1 có phần tử đối xứng là x' = -

Vì x* x' = x' * x = ( - ) * x = - + x + ( - ).x = =0

(ii) a) m  n = m + 2n, với m , n  ℕ

 : N x N  N

(m,n)  m  n = m + 2n

Tương ứng  là một ánh xạ vì:

 m , n  ℕ  m + 2n  ℕ

T a có 0  n = 0 + 2n = 2n, 3  4 = 3 + 4.2 = 11

 Xét các phần tử đặc biệt

- Tính giao hoán:

 x, y  ℕ , ta có:

x  y = x + 2y

Hà Văn Tùng

 x  y ≠ y  x

y  x = y + 2x

Nên  không có tính giao hoán

Ví dụ: 1, 2  ℕ

1  2 = 1 + 4 = 5

2  1 = 2 + 2.1 = 4

 5 ≠ 4

- Tính chất hợp:

 x, y , z  , ℕ ta có:

( x  y)  z = x  y + 2z = x + 2y + 2z (1)

x  (y  z) = x +2( y  z) = x +2( y + 2z) = x + 2y + 4z (2)

Từ (1) (2) suy ra phép toán  không có tính chất kết hợp

- Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập là 0

Vì m  0 =  m + 2.0 = m ( m  ) ℕ

m  ℕ  m'  ℕ m  m' = 0  phép toán  không có phần tử trung lập

Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:

(i) a * b = , với a, b  ℚ

(ii) a  b = a + b - ab với a, b  A \ 1

a) Tìm  4 * 5; 3  ; 5 

b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó

Bài làm Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:

(i) a * b = , với a, b  ℚ

* Q x Q  Q là một ánh xạ vì a, b  ℚ   ℚ

Nên tương ứng (*) là phép toán hai ngôi trên ℚ

Tính  4 * 5 = =

- Tính chất giao hoán:

 x,y  ℚ ta có:

x * y = và y*x= suy ra x*y=y*x

nên phép toán * có tính chất giao hoán

- Tính chất kết hợp:

 x,y, z  ℚ ta có:

(x*y)*z= = = (1)

x *(y*z) = = = (2)

Từ (1), (2) suy ra phép toán * không có tính chất kết hợp

Phép toán * không có phần tử trung lập Do đó  x  ℚđều không có phần tử đối xứng đối với phép toán *

(ii) a  b = a + b – ab với a, b  ℚ

ℚ ⊕ ℚ  ℚ

( a, b )  a + b – ab  a, b  ℚ

a/ Tính 3 ⊕ = 3 + - 3 =

5 ⊕ = 5 + - 5 = 3 b/ Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó

Hà Văn Tùng

 x, y  ℚ, ta có:

x ⊕ y = x + y - xy

x ⊕ y = y ⊕ x

y ⊕ x = y + x - yx

Phép toán ⊕ có tính giao hoán

 x, y, z  ℚ, ta có:

(x ⊕ y ) ⊕z = x ⊕ y + z - (x ⊕ y ).z = x + y - xy + z - (x + y - xy).z

= x + y - xy + z - xz - yz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (1)

x ⊕ (y ⊕z ) = x + ((y ⊕z ) - x.(y ⊕z ) = x + y + z - yz - x(y + z - yz)

= x + y + z - xy - xz - yz - xyz (2)

Từ (1),(2)  ⊕có tính chất kết hợp

Vì a ⊕0 = a + 0 - a.0 = a  ℚ,  a  ℚ thì  a'  ℚ : a + a' = 0

Bài 3: Xét các quy tắc sau có phải là phép toán hai ngôi hay không? Hãy xác định các tính chất giao hoán, kết hợp và các phần tử đặc biệt

a) a * b = , với  a,b  ℤ

b) a * b =  a,b  ℝ

c) a * b =  a,b  ℚ*

d) a * b =  a,b  ℝ

e) a * b = a + b + 1  a,b  ℚ

Giải Bài 3:

Câu a) a * b =  a , b  ℤ

*: Z x Z  Z

(a,b)  a*b =

 4, - 6  ℤ, ta có: 4 * (-6) = =  ℤ  Nên * không là một ánh xạ

Vậy * không là phép toán hai ngôi

Câu b) a * b =  a,b ℝ

R x R  R (a,b)  a*b=  a,b ℝ

 a, b  R ta có: = a + b  ℝ  Nên * là một ánh xạ

- Tính chất giao hoán:

 x , y  ℝ, ta có:

x * y = và y * x = suy ra x * y = y * x

Nên phép toán * có tính chất giao hoán

- Tính chất kết hợp :

 x , y, z  ℝ, ta có:

(x*y)*z = +z = + z = (1)

x*(y*z) = = = (2)

Từ(1) và (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp

- Tìm phần tử trung lập :

Tồn tại phần tử trung lập là 0 vì với  x  ℝ , ta có:

0 * x = x * 0 = = x

- Tìm phần tử đối xứng:

x * x = x * x = 0  = 0

Hà Văn Tùng

* Với  x ≠ 0 không tồn tại phần tử đối xứng của x đối với phép toán *

* Khi x = 0 phần tử của x là 0

Câu c) a * b =  a,b  ℚ*

*: Q  Q  Q*

(a,b)   ℚ*

Tương ứng * là một ánh xạ vì với a,b  ℚ* thì  ℚ*

Nên tương ứng phép toán * là phép toán hai ngôi trên ℚ*

- Tính giao hoán:

 x, y  ℚ*, ta có

x * y =

 ≠  x * y ≠y * x

y * x =

Vậy phép toán * không có tính giao hoán

Ví dụ:  ,  ℚ* mà * = =

≠  không có tính chất g/hoán

* = = : =

- Tính chất kết hợp:

 x, y , z  ℚ*, ta có

(x*y)*z =

 2, 3 , 1  ℚ* , ta có

(2*3)*1= = = (1)

2*(3*1) = = = (2)

Từ (1)(2) suy ra * không có tính chất kết hợp

- Tìm phần tử trung lập

d/ a * b =  a,b  ℝ

ℝ  ℝ  ℝ

( a, b)  a * b =  a,b  ℝ

Ta có:  a,b  ℝ

Nên  là một ánh xạ

 Tính giao hoán:

 x , y  ℝ ta có:

x  y =

x  y = y  x

y  x =

Vậy phép toán * không có tính giao hoán

 Tính chất kết hợp:

 x , y, z  ℝ ta có:

(x  y ) z = =

= = (1)

x  (y  z ) = =

Hà Văn Tùng

= = (2)

Từ (1),(2)   không có tính kết hợp

Bài 4: Cho phép  trên ℝ x ℝ được xác định như sau

 (a,b) , (c, d)  ℝ x ℝ , (a,b)  (c, d) = (a + c + 1975, b x d)

Tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng (nếu có) của phép 

Bài làm

 (a,b) , (c, d)  ℝ x ℝ , (a,b)  (c, d) = (a + c + 1975, b x d)

Ta có ( - 1975,1) là phần tử trung lập của phép toán  trên ℝ x ℝ vì

 (x, y)  ℝ x ℝ ta có:

(x, y)  (- 1975, 1) = x - ( -1975 + x + 1975, y x 1) = (x,y)

(-1975, 1)  (x, y) = (- 1975+x+1975, 1 x y) = (x,y)

(x', y') đối xứng của (x,y)

(x', y')  (x,y) = (- 1975, 1)  ( x' + x + 1975, y' x y) = (- 1975, 1)

 

 (a, b)  ℝ x ℝ ta có:

(-3950-a, ) là phần tử đối xứng của (a, b) qua  trên ℝ x ℝ vì (a, b)  (-3950-a, ) = a +(-3950-a+1975, b x ) = (-1975,1)

Bài 1 Trên tập ℕ ta định nghĩa

m  n = m + n - 1 ,  m, n  ℕ a) Tìm 2  1; 3  5 ; 1  4

b) Chứng minh rằng ( ℕ , ) là một vị nhóm Abel

Bài làm a) Tìm 2  1; 3  5 ; 1  4

+ 2  1= 2+1 - 1 =2

b) Chứng minh rằng ( , ) là một nhóm Abel

- Tính giao hoán:

 x, y  ℕ , ta có:

x y = x+y-1

 x  y=y  x Nên phép toán  có tính chất giao hoán

y  x = y+x-1

- Tính chất kết hợp:

 x, y , z  ℕ , ta có:

(x  y)  z = x  y+z -1 = x+y-1+z-1=x+y+z-2(1)

x  (y  z) = x+y  z - 1 = x+ y+z -1 -1 = x+y+z-2(2)

Từ (1),(2) suy ra phép toán  có tính chất kết hợp

- Tìm phần tử trung lập :

Hà Văn Tùng

Phần tử trung lập cuả phép toán  là 1 vì  m  ℕ Ta có

1  m = m  1 = m+ 1-1=m

Vậy ( ℕ , ) là một vị nhóm Abel

Bài 2 Với a, b  ℤ ta định nghĩa a  b = a + b -1

a) Tìm 0  2;  1  1;  3  4;  4  0

b) Chứng minh rằng( ℤ, ) là một nhóm Abel

Bài làm

a  b = a + b -1

a) 0  2 = 0+2-1=1

b) Chứng minh rằng(ℤ , ) là một nhóm Abel

- Tính chất giao hoán:

 x, y  ℤ , ta có:

x y = x+y-1

 x  y=y  x Nên phép toán  có tính chất giao hoán

y  x = y+x-1

- Tính chất kết hợp:

 x, y , z  ℤ , ta có:

(x  y)  z = x  y + z - 1 = x+y - 1+ z - 1=x + y + z - 2 (1)

x  (y  z) = x+ y  z - 1 = x+ y + z - 1 - 1 = x + y + z - 2 (2)

Từ (1),(2) suy ra phép toán  có tính chất kết hợp

- Tìm phần tử trung lập :

Phần tử trung lập cuả phép toán  là 1 vì  m  ℤ Ta có

1  m = m  1 = m+ 1- 1= m

- Tìm phần tử đối xứng:

 x  ℤ, phần tử đối xứng của  x  ℤ đối với phép toán  là x:

x  x =1  x + x - 1 = 1  x = x - 2  Z Vì x  x = x  x = x +x - 1 = 2 – x + x - 1=1./

Bài 3: Gọi ( Z ,  ) là nhóm cộng các lớp đồng dư theo mdul 4 Ta định nghĩa ánh xạ

f : Z  Z

n a) Chứng minh rằng f là toàn cấu nhóm cộng các số nguyên lên nhóm Z

b) Tìm f( ), từ đó suy ra f là không phải là đẳng cấu nhóm

Giải a) f là đồng cấu nhóm cộng

: là một đồng cấu

 x, y  ℤ , ta có:

f (x+y) =

f ( x) +f (y) = + =

suy ra f (x+y) = f (x) +f (y) (1)

  f là toàn ánh

Imf = f(x)/ x  ℤ = / x  ℤ = , , , = Z  f là 1 toàn ánh (2)

Từ (1),(2) suy ra f là toàn cấu nhóm cộng

b) f( ) = x / f(x) = , x  ℤ = x / x = , x ℤ = 4 k / k  ℤ

= 4k ≠ 0

 f không là đơn ánh nên f không là song ánh

Hà Văn Tùng

Vậy f không là một đồng cấu nhóm

Bài 4: Cho X là nhóm nhân giao hoán

a) Chứng minh ánh xạ

f : X  X

a f(a) = a , với k xác định thuộc ℤlà đồng cấu nhóm

b) Xác định Ker f

Giải a)  x , y  ℤ, ta có:

f (x,y) = (xy) = \x\bo(xy.xy.xy)= \x\bo(x.x.x) \x\bo(y.y.y) = x y = f(x).f(y) (vì phép

nhân trên X có tính giao hoán )

Vậy f đồng cấu nhóm

b) Xác định Ker f

Ker f = a  X / f(x) = 1 = a  X / a = 1 = x  ℤ / k = 0

Bài 5: Ta định nghĩa ánh xạ

f : N  N

a 5n

a) Chứng minh rằng f là tự đồng cấu vị nhóm cộng (ℕ, +).

b) Tìm f(ℕ)

c) Tìm f (0)

Giải

a) f : N  N

a 5n

f là đồng cấu nhóm cộng ( ℕ,+)

 (x,y) ℕ , ta có : f(x+y) = 5(x+y) (1)

f(x) + f(y) = 5x + 5y = 5(x+y) (2)

từ (1), (2)  f(x+y) = f(x) + f(y)  f là tự đồng cấu nhóm cộng (ℕ,+)

b) f(ℕ) = f(n) / n  ℕ = 5 / n  ℕ = 5ℕ

c) f (0) = n  ℕ / f(n) = 0 = n ℕ / 5n = 0 = 0

Bài 6: Cho tập hợp A = a + b / a,b ℤ

a) Chứng minh rằng (A,+) là nhóm con của nhóm cộng các số thực (ℝ, +) với phép cộng thông thường trên các số

b) Cho ánh xạ f từ nhóm (A,+) vào nhóm (ℝ,+)

f : A  R

x x

Hãy chứng tỏ f là đơn cấu; f không là toàn cấu.

Giải

Hà Văn Tùng

a) (A,+) là nhóm con nhóm cộng (ℝ,+)

 0 = 0 + 0 = 0  A

 x, y  A , giả sử x = a +b , y = a + b ( với a , b , a , b  ℤ)

 x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b )  A

– x = – ( a +b ) = (– a ) + (–b )  A

Vậy (A,+)  (ℝ.+)

b) f (A,+)  (ℝ,+)

x f(x)=x

a + b f(a+b ) = a + b

 Chứng minh f là đơn cấu

 x, y  A, giả sử x = a + b và y = a + b

x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b )

 f(x+y) = ( a + a ) + (b + b ) (1)

f(x) + f(y) = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) (2)

Từ (1), (2)  f(x+y) = f(x) + f(y)

Vậy f là đơn cấu nhóm.

 Chứng minh f là một đơn ánh

Ker f = x  A\ f(x) = 0

= a+b \ f(a+ b ) =0 a , b  A

=

a+b \ a+ b = 0 a , b  A

= 0 + 0 = 0  f là một đơn ánh

 Chứng minh f không là toàn cấu

Imf = f(x) \ x  A = x \ x  A = A ≠ ℝ

Vậy f không là toàn cấu.

Bài 7: Cho tập hợp X = a + b \ a , b  ℤ

a) Chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực ℝ.

b) Cho ánh xạ

f: X  Z

a + b a + b Chứng minh f là toàn cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng các số nguyên ℤ.

Giải a) Chứng minh ( X, +)  (ℝ, +)

 0 = 0 + 0 = 0  A

 x, y  X , giả sử x = a +b , y = a + b ( với a , b , a , b  ℤ)

 x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b )  A

– x = – ( a +b ) = (– a ) + (–b )  A

Vậy (X, +)  (ℝ, +)

b) Chứng minh f là toàn cấu

 x, y  X, giả sử x = a + b và y = a + b

Ta chứng minh : f(x+y) = f(x) + f(y)

Ta có: x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b )  X

f(x) + f(y) = ( a + a ) + (b + b ) = ( a + a ) + (b + b ) (1)

f(x+y) = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b )

Hà Văn Tùng

= ( a + a ) + (b + b ) (2)

Từ (1), (2)  f là một đồng cấu (I)

 Chứng minh f là toàn ánh

Imf = f(x) \ x  X = f (a + b ) \ a, b  ℤ = a + b \ a, b ℤ = ℤ

 f là toàn ánh (II)

Từ (I), (II)  f là toàn cấu.

Bài 8: Quy tắc f : ℤ  G từ nhóm cộng các số nguyên đến nhóm nhân G( G là

nhóm vô hạn) xác định như sau:

 n  , f(n) = a , a  G

Chứng minh f là đồng cấu nhóm Tìm Ker f.

Giải

 x, y  ℤta có:

f(x+y) = a (1)

f(x) + f(y) = a + a = a (2)

Từ (1),(2) suy ra f(x) + f(y) = f(x) + f(y)

Suy ra f là đồng cấu nhóm.

 Tìm Ker f

Tìm Ker f = x  ℤ/ f(x)=1 (G, )

= x  ℤ/ a = 1 = x  ℤ/ x = 0 = 0

CÁC BÀI TẬP VÀNH VÀ TRƯỜNG

Bài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z

Bài 2: Cho R là một vành Chứng minh rằng tập

Z(R) = a  R \ ax = xa  x  R là một vành con giao hoán của R.

Bài 3: Cho tập hợp X = a+ b \ a, b  ℤ

a) Chứng tỏ X là vành con của vành số thực ℤ

b) Cho ánh xạ

f : X  Z

a + b a Chứng minh f là đồng cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ; nhưng f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ.

Giải Bài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z

Z = , ,

  Z \

= , = ≠ 0; = ≠ 0

= , = ≠ 0; = = ≠ 0

Vậy không có ước của 0 trong vành Z

Z = , , ,

  Z \

Hà Văn Tùng

 = , = ≠ 0; = ≠ 0, = ≠ 0,

 = , = ≠ 0; = = , = = ≠ 0

 = , = ≠ 0; = = ≠ 0, = = ≠ 0.

Vậy là ước của 0 trong vành Z

Z , Z làm tương tự như trên

Bài 2: a) Z(R) = a  R \ ax = xa  x  R

 Z( R)  R: hiển nhiên

 Z( R) ≠  vì 0.x = x.0 =0  0+Z(R)

  a, b  Z(K)  (a-b)x=a.x - b.x = x.a - x.b = x(a-b)  a - b  Z(R) và

(ab)x = a(bx) = a(xb) = (a.x)b = (xa)b = x(ab)  a,b  Z(R)

  a, b  Z (R)  a.x = x.a ,  x  R

Lấy x = b , ta có ab = ba nên phép tính nhân trên Z(R) có tính quan hệ

Vậy Z(R) là 1 vành con quan hệ của R

Bài 3:

X = a + b \ a, b  ℤ

a) X  R: hiển nhiên

 x , y  X, giả sử x = a + b ; y = a + b ( a , a , b , b  ℤ )

Ta có : x + y = a + b + a + b = ( a+ a ) + (b + b )  X

x y = ( a + b ) ( a + b ) = a a + (a b + b a + 3b b

= a.a + (a.a b.b ) + 3b b  X

thêm x - y  X, x - y = (a - a ) + (b - b )  X

Vậy X là vành con của vành số thực ℝ

c)  x , y  X, giả sử x = a + b ; y = a + b

f(x+y) = f( a + b + a + b ) = f(a+a +(b +b ) = a + a (1)

f(x) + f(y) = a +a (2) Từ (1),(2) suy ra f(x+y) = f(x)+f(y)

Vậy f là 1 đồng cấu nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ.

 f(x +y) = f(x) + f(y) = a + a nhưng f(x.y) = f(a +b ) (a +b ) = a.a +3b b (1)

 f(x.y) = a +a (2)

Từ (1),(2) suy ra f(x+y) ≠ f(x.y)

Vậy f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ

Bài 1: Thay mỗi chữ trong các phép tính sau bởi các chữ số thích hợp

a) 0,b x a, b = 0, ab

b) 0,a x a,a = 0, a a

c) a,bcaa - b,dbc = c,baba

d) 4,896 −a,bab = 0,0ab

e) 0,ab x c,c x ,c = ,cabc

f) 0,a x 0,b x a,b = 0,bbb

g) 21,ab = a,b x 2,6

h) 98,697 - 0,0abc = ,cabc