Bài Tập Về Phép Toán 2 Ngôi - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.doc) (13 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Khoa Học Tự Nhiên
>>
3. Toán học

Bài tập về phép toán 2 ngôi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (231.91 KB, 13 trang )

Hà Văn TùngBài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i): x * y = x + y +xy, với x ,y ∈ ℝ(ii) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕa) Tìm - 3 * 4; 0 ⊗ n; 3 ⊗ 4.b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính.B ài làm a) * : R * R → R (x,y) x * y = x + y + xyTương ứng * là một ánh xạ vì:∀ x, y ∈ ℝ ta có x + y + xy = x * y ∈ ℝ . Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ.Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt.- Tính giao hoán: ∀ x, y ∈ ℝ , ta có:x * y = x + y + xy → x* y = y *x y * x = y + x + yx Nên phép tính * có tính chất giao hoán.- Tính kết hợp: ∀ x, y , z ∈ ℝ , ta có: ( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z = x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1) x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z) = x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2)Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp- Tìm phần tử trung lập:Tồn tại phần tử trung lập 0 vì ∀ x ∈ ℝ. Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x- Tìm phần tử đối xứng: Với ∀ x, y ∈ R\ -1 có phần tử đối xứng là x' = - Vì x* x' = x' * x = ( - ) * x = - + x + ( - ).x = =0(ii) a) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕ. ⊗ : N x N → N (m,n) m ⊗ n = m + 2nTương ứng ⊗ là một ánh xạ vì: ∀ m , n ∈ ℕ ⇒ m + 2n ∈ ℕT a có 0 ⊗ n = 0 + 2n = 2n, 3 ⊗ 4 = 3 + 4.2 = 11• Xét các phần tử đặc biệt- Tính giao hoán:∀ x, y ∈ ℕ , ta có:Trang 1Hà Văn Tùngx ⊗ y = x + 2y → x ⊗ y ≠ y ⊗ x y ⊗ x = y + 2x Nên ⊗ không có tính giao hoán.Ví dụ: 1, 2 ∈ ℕ1 ⊗ 2 = 1 + 4 = 52 ⊗ 1 = 2 + 2.1 = 4⇒ 5 ≠ 4- Tính chất hợp: ∀ x, y , z ∈ , ℕ ta có: ( x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y + 2z = x + 2y + 2z (1) x ⊗ (y ⊗ z) = x +2( y ⊗ z) = x +2( y + 2z) = x + 2y + 4z (2)Từ (1) (2) suy ra phép toán ⊗ không có tính chất kết hợp.- Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập là 0Vì m ⊗ 0 = ⊗ m + 2.0 = m ( m ∈ ) ℕ∀m ∈ ℕ ∃ m' ∈ ℕ m ⊗ m' = 0 ⇒ phép toán ⊗ không có phần tử trung lậpBài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i) a * b = , với a, b ∈ ℚ(ii) a ⊕ b = a + b - ab với a, b ∈ A \ 1a) Tìm − 4 * 5; 3 ⊕ ; 5 ⊕ .b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó.Bài làmBài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:(i) a * b = , với a, b ∈ ℚ * Q x Q → Q là một ánh xạ vì a, b ∈ ℚ ⇒ ∈ ℚNên tương ứng (*) là phép toán hai ngôi trên . ℚ Tính − 4 * 5 = = - Tính chất giao hoán: ∀ x,y ∈ ℚ ta có: x * y = và y*x= suy ra x*y=y*x nên phép toán * có tính chất giao hoán.- Tính chất kết hợp: ∀ x,y, z ∈ ℚ ta có: (x*y)*z= = = (1) x *(y*z) = = = (2)Từ (1), (2) suy ra phép toán * không có tính chất kết hợp.. Phép toán * không có phần tử trung lập. Do đó ∀ x ∈ ℚđều không có phần tử đối xứng đối với phép toán *.(ii) a ⊕ b = a + b – ab với a, b ∈ ℚ ℚ ⊕ ℚ → ℚ ( a, b ) ( a + b – ab ∀ a, b ∈ ℚ a/ Tính 3 ⊕ = 3 + - 3 . = Trang 2Hà Văn Tùng5 ⊕ = 5 + - 5 . = 3 b/ Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó• Tính chất giao hoán: ∀ x, y ∈ , ℚ ta có: x ⊕ y = x + y - xy x ⊕ y = y ⊕ x y ⊕ x = y + x - yx Phép toán ⊕ có tính giao hoán• Tính chất kết hợp : ∀ x, y, z ∈ , ℚ ta có: (x ⊕ y ) ⊕z = x y + z - ⊕ (x y ).z⊕ = x + y - xy + z - (x + y - xy).z = x + y - xy + z - xz - yz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (1) x (⊕ y ⊕z ) = x + ((y ⊕z ) - x.(y ⊕z ) = x + y + z - yz - x(y + z - yz) = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (2) Từ (1),(2) ⇒ ⊕có tính chất kết hợp• Phần tử trung lập là 0 Vì a ⊕0 = a + 0 - a.0 = a ∈ , ℚ ∀ a ∈ thì ℚ ∃ a' ∈ ℚ : a + a' = 0 Bài 3: Xét các quy tắc sau có phải là phép toán hai ngôi hay không? Hãy xác định các tính chất giao hoán, kết hợp và các phần tử đặc biệt.a) a * b = , với ∀ a,b ∈ ℤb) a * b = ∀ a,b ∈ ℝc) a * b = ∀ a,b ∈ ℚ*d) a * b = ∀ a,b ∈ ℝe) a * b = a + b + 1 ∀ a,b ∈ ℚGiảiBài 3: Câu a) a * b = ∀ a , b ∈ ℤ*: Z x Z → Z (a,b) a*b = ∃ 4, - 6 ∈ ℤ, ta có: 4 * (-6) = = ∉ ℤ ⇒ Nên * không là một ánh xạ.Vậy * không là phép toán hai ngôi.Câu b) a * b = ∀ a,b ∈ℝ R x R → R(a,b) ( a*b= ∀ a,b ∈ℝ∀ a, b ∈ R ta có: = a + b ∈ ℝ ⇒ Nên * là một ánh xạ.- Tính chất giao hoán:∀ x , y ∈ ℝ, ta có: x * y = và y * x = suy ra x * y = y * xNên phép toán * có tính chất giao hoán.- Tính chất kết hợp :∀ x , y, z ∈ ℝ, ta có: (x*y)*z = +z = + z = (1) x*(y*z) = = = (2)Từ(1) và (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp.- Tìm phần tử trung lập :Trang 3Hà Văn Tùng Tồn tại phần tử trung lập là 0 vì với ∀ x ∈ ℝ , ta có: 0 * x = x * 0 = = x. - Tìm phần tử đối xứng: x * x′ = x′ * x = 0 ⇔ = 0* Với ∀ x ≠ 0 không tồn tại phần tử đối xứng của x đối với phép toán ** Khi x = 0 phần tử của x là 0.Câu c) a * b = ∀ a,b ∈ ℚ* *: Q ∗ Q → Q* (a,b) ∈ ℚ* Tương ứng * là một ánh xạ vì với ∀a,b ∈ ℚ* thì ∈ ℚ*Nên tương ứng phép toán * là phép toán hai ngôi trên ℚ*- Tính giao hoán:∀ x, y ∈ ℚ*, ta có x * y = ⇒ ≠ ⇒ x * y ≠y * xy * x = Vậy phép toán * không có tính giao hoán. Ví dụ: ∃ , ∈ ℚ* mà * = = ≠ ⇒ không có tính chất g/hoán * = = : = - Tính chất kết hợp: ∀ x, y , z ∈ ℚ*, ta có (x*y)*z = ∃ 2, 3 , 1 ∈ ℚ* , ta có (2*3)*1= = = (1) 2*(3*1) = = = (2)Từ (1)(2) suy ra * không có tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập d/ a * b = ∀ a,b ∈ ℝ ℝ ∗ ℝ → ℝ( a, b) a * b = ∀ a,b ∈ ℝTa có: ∀ a,b ∈ ℝ Nên ∗ là một ánh xạ• Tính giao hoán: ∀ x , y ∈ ℝ ta có: x ∗ y = x ∗ y = y ∗ x y ∗ x = Vậy phép toán * không có tính giao hoán.• Tính chất kết hợp: Trang 4Hà Văn Tùng∀ x , y, z ∈ ℝ ta có: (x ∗ y )∗ z = = = = (1) x ∗ (y ∗ z ) = = = = (2) Từ (1),(2) ⇒ ∗ không có tính kết hợp. Bài 4: Cho phép ⊕ trên ℝ x ℝ được xác định như sau ∀ (a,b) , (c, d) ∈ ℝ x ℝ , (a,b) ⊕ (c, d) = (a + c + 1975, b x d) Tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng (nếu có) của phép ⊕Bài làm∀ (a,b) , (c, d) ∈ ℝ x ℝ , (a,b) ⊕ (c, d) = (a + c + 1975, b x d) Ta có ( - 1975,1) là phần tử trung lập của phép toán ⊕ trên ℝ x ℝ vì∀ (x, y) ∈ ℝ x ℝ ta có: (x, y) ∗ (- 1975, 1) = x - ( -1975 + x + 1975, y x 1) = (x,y)(-1975, 1) ⊕ (x, y) = (- 1975+x+1975, 1 x y) = (x,y)(x', y') đối xứng của (x,y) (x', y') ⊕ (x,y) = (- 1975, 1) ⇒ ( x' + x + 1975, y' x y) = (- 1975, 1) ⇒ ⇒ ∀ (a, b) ∈ ℝ x ℝ ta có: (-3950-a, ) là phần tử đối xứng của (a, b) qua ⊕ trên ℝ x ℝ vì (a, b) ⊕ (-3950-a, ) = a +(-3950-a+1975, b x ) = (-1975,1) Bài 1. Trên tập ℕ ta định nghĩa m ⊗ n = m + n - 1 , ∀ m, n ∈ ℕ a) Tìm 2 ⊗ 1; 3 ⊗ 5 ; 1 ⊗ 4 b) Chứng minh rằng ( ℕ , ⊗) là một vị nhóm AbelBài làma) Tìm 2 ⊗ 1; 3 ⊗ 5 ; 1 ⊗ 4+ 2 ⊗ 1= 2+1 - 1 =2 b) Chứng minh rằng ( , ⊗) là một nhóm Abel- Tính giao hoán: ∀ x, y ∈ ℕ , ta có: x ⊗y = x+y-1 ⇒ x ⊗ y=y ⊗ x . Nên phép toán ⊗ có tính chất giao hoán. Trang 5

Tài liệu liên quan

• Bài tập về phép toán 2 ngôi
  • 13
  • 23
  • 44
• bai tap on he toan 2
  • 1
  • 741
  • 2
• bai tap ve bao toan electron
  • 21
  • 683
  • 4
• 70 bai tap ve phep dem
  • 9
  • 893
  • 9
• Bài tập về nhà số 2
  • 1
  • 797
  • 0
• Bài tập về bảo toàn động lượng pptx
  • 2
  • 2
  • 14
• bài tập về bảo toàn e
  • 3
  • 775
  • 8
• GIÁO TRÌNH MICOSOFT VISUAL BASIC - PHẦN BÀI TẬP VỀ THUẬT TOÁN ppt
  • 3
  • 772
  • 10
• Bài tập về Giới từ (2) docx
  • 6
  • 959
  • 9
• Các bài tập về phép đếm
  • 4
  • 551
  • 1

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(261.5 KB - 13 trang) - Bài tập về phép toán 2 ngôi Tải bản đầy đủ ngay ×