Bài Tập Về Xét Vị Trí Tương đối Của 2 đường Thẳng Và Cách Giải

Bài viết dưới đây trong nội dung toán lớp 9, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng một cách chi tiết qua các ví dụ minh họa.

I. Cách giải Bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng

Cho hai đường thẳng (d1): y = a1x + b1 và (d2): y = a2x + b2.

• (d1) cắt (d2) nếu a1 ≠ a2.

• (d1) // (d2) nếu a1 = a2 và b1 ≠ b2.

• (d1) ≡ (d2) nếu a1 = a2 và b1 = b2.

* Lưu ý: Nếu a1.a2 = -1 thì (d1) vuông góc với (d2)

II. Một số dạng bài tập về xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng

º Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số m để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.

* Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) y = 2x + 3 và y = -3x - 5

b) y = 5x - 3 và y = 5x + 7

c) y = -2x - 1 và y = (1/2)x + 1

* Lời giải:

a) Đồ thị hàm số y = 2x + 3 có hệ số góc k1 = 2

Đồ thị hàm số y = -3x - 5 có hệ số góc k2 = -3

Vì k1 ≠ k2 nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau.

b) Đồ thị hàm số y = 5x - 3 có hệ số góc k1 = 5

Đồ thị hàm số y = 5x + 7 có hệ số góc k2 = 5

Vì k1 = k2 nên đồ thị hai hàm số trên song song với nhau.

c) Đồ thị hàm số y = -2x - 1 có hệ số góc k1 = -2

Đồ thị hàm số y = (1/2)x + 1 có hệ số góc k2 = 1/2

Vì k1 ≠ k2 nên hai đồ thị hàm số trên cắt nhau.

Hơn nữa k1.k2 = (-2).(1/2) = -1 nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau.

* Bài tập 2: Tìm m để hai đường thẳng y = (m + 1)x – 5 và y = (2m – 1)x + 3:

a) Song song

b) Vuông góc.

* Lời giải:

a) y = (m + 1)x – 5 và y = (2m – 1)x + 3 song song

⇔ m + 1 = 2m – 1

⇔ m = 2.

Vậy m = 2.

b) y = (m + 1)x – 5 và y = (2m – 1)x + 3 vuông góc

⇔ (m + 1)(2m – 1) = -1

⇔ 2m2 + m – 1 = -1

⇔ 2m2 + m = 0

⇔ m(2m + 1) = 0

⇔ m = 0 hoặc 2m + 1 = 0

⇔ m = 0 hoặc m = -1/2

Vậy với m= 0 hoặc m = -1/2 thì hai đường thẳng trên vuông góc.

º Dạng 2: Viết (tìm) phương trình đường thẳng

* Bài tập 1: a) Tìm đường thẳng song song với đường thẳng y = 3x + 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.

b) Tìm đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = (1/2)x + 1 và đi qua A(2; 1).

* Lời giải:

a) Gọi đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b.

 Vì (d) song song với đường thẳng y = 3x + 2 ⇒ a = 3.

 Vì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 (tức x = 0 và y = 5) ⇒ b = 5.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 3x + 5.

b) Gọi đường thẳng cần tìm là (d'): y = kx + m

 Vì (d') vuông góc với đường thẳng y = (1/2)x + 1

 ⇒ k.(1/2) = -1 ⇒ k = -2

 khi đó (d') có dạng: y = -2x + m

 Vì (d') đi qua A(2; 1) nên ta có: 1 = -2.2 + m ⇒ m = 5.

Vậy đường thẳng cần tìm là y = -2x + 5.

* Bài tập 2: Cho đường thẳng (d): y = -2x + 1. Xác định đường thẳng d' đi qua M(-1; 2) và vuông góc với d.

* Lời giải:

- Gọi đường thẳng cần tìm là y = kx + m

 Vì (d') vuông góc với (d) nên ta có: k.(-2) = -1 ⇒ k = 1/2 .

 Vì (d') đi qua M(-1; 2) nên ta có: 2 = k.(-1) + m hay m = 2 + k = 5/2 .

Vậy đường thẳng cần tìm là y = (1/2)x + 5/2

* Bài tập 3: Cho đường thẳng (d): y = 2x + 1 và điểm M(1;1). Xác định hình chiếu của M lên đường thẳng (d).

* Lời giải:

- Ta cần tìm đường thẳng d': y = kx + m qua M và vuông góc với d:

 Vì (d') vuông góc với (d) ⇔ k.2 = -1 ⇔ k = -1/2 .

 Vì (d') đi qua M(1;1) ⇔ 1 = (-1/2).1 + m  ⇔ m = 3/2 .

Vậy d': y = -1/2x + 3/2 .

+ Hình chiếu H của M trên d chính là giao điểm của d và d'

Hoành độ điểm H là nghiệm của phương trình:

 2x + 1 = -1/2x + 3/2 ⇔ x = 1/5 ⇒ y = 7/5 .

Vậy hình chiếu của M trên d là H (1/5; 7/5).

º Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi tham số m

> Phương pháp giải: 

- Gọi M(x0;y0) là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm M(x0;y0) thỏa mãn phương trình đường thẳng dd.

- Đưa phương trình đường thẳng dd về phương trình bậc nhất ẩn m.

- Từ đó để phương trình bậc nhất ax+b=0 luôn đúng thì a=b=0

- Giải điều kiện ta tìm được x0 và y0. Khi đó M(x0;y0) là điểm cố định cần tìm.

* Bài tập 1: Chứng tỏ rằng với mọi m họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm cố định.

* Lời giải:

- Gọi M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

⇔ y0 = (m + 1)x0 + 2x0 - m, ∀m

⇔ y0 = mx0 + x0 + 2x0 - m, ∀m

⇔ y0 - mx0 - 3x0 - m = 0, ∀m

⇔ m(-x0 - 1) + (y0 - 3x0) = 0, ∀m

 

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1; 3)

* Bài tập 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định ấy.

* Lời giải:

- Gọi M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

 y0 = (2m - 3)x0 + m - 1, với mọi m

⇔ y0 = 2mx0 - 3x0 + m - 1, với mọi m

⇔ y0 - 2mx0 - 3x0 + m - 1 = 0, với mọi m

⇔ m(-2x0 + 1) + (y0 - 3x0 - 1) = 0, với mọi m

Vậy với mọi m, họ các đường thẳng (d) có phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm M cố định có tọa độ M(1/2; 5/2).