Bài Toán Về Cuộn Dây Không Thuần Cảm Trong Mạch điện Xoay Chiều

BÀI TOÁN VỀ CUỘN DÂY KHÔNG THUẦN CẢM TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU

1. Xét cuộn dây không cảm thuần (L,r): Khi mắc cuộn dây có điện trở r và độ tự cảm L vào mạch điện xoay chiều, ta xem cuộn dây như đoạn mạch r nối tiếp với L có giản đồ vectơ như hình vẽ dưới:

+Tổng trở cuộn dây: \(Z_{cd}=\sqrt{r^{2}+{Z_{L}}^{2}}=\sqrt{r^{2}+(\omega L)^{2}}\)  Trong đó: ZL = Lω..

+Điện áp hai đầu cuộn dây Lanh pha hơn cường độ dòng điện một góc

            Được tính theo công thức: \(tan\varphi _{d}=\frac{U_{OL}}{U_{Or}}=\frac{Z_{L}}{r}\)

+Biên độ, giá trị hiệu dụng của cường độ dòng điện và điện áp theo các công thức:

 \(I_{0}=\frac{U_{0d}}{Z_{d}}=\frac{U_{0d}}{\sqrt{r^{2}+{Z_{L}}^{2}}}\)  và \(I=\frac{U_{d}}{Z_{d}}=\frac{U_{d}}{\sqrt{r^{2}+{Z_{L}}^{2}}}\);

+Công suất tiêu thụ của cuộn dây: P = Ud.I.cosφd = I.r2   Hay Pr  = \(\frac{U^{2}.r}{Z^{2}}\)

+ Hệ số công suất của cuộn dây : \(cos\varphi _{d}=\frac{r}{Z_{d}}=\frac{r}{\sqrt{{Z_{L}}^{2}+r^{2}}}\)

+Cách nhận biết cuộn dây có điện trở thuần r:

     -Xét toàn mạch, nếu: \(Z\neq \sqrt{R^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}};U\neq \sqrt{{U_{R}}^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2}}\)

hoặc P ≠ I2R;hoặc \(cos\varphi \neq \frac{R}{Z}\)

=> thì cuộn dây có điện trở thuần r ≠ 0.

     -Xét cuộn dây, nếu: Ud ≠ UL hoặc Zd ≠ ZL hoặc Pd ≠ 0 hoặc cosφ d ≠ 0 hoặc φd ≠ \(\frac{\pi }{2}\)

=>  thì cuộn dây có điện trở thuần r ≠0.

2. Mạch RLrC không phân nhánh:

- Điện trở thuần tương đương là: R+ r.     

- Tổng trở của cả đoạn mạch RLrC nối tiếp là:\(Z= \sqrt{(R+r)^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}\)

- Độ lệch pha giữa điện áp hai đầu đoạn mạch RLrC với cường độ dòng điện là: \(tan\varphi =\frac{Z_{L}-Z_{C}}{R+r}\)

 + Sự liên hệ giữa các điện áp  hiệu dụng: \(U^{2}=(U_{R}+U_{r})^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2};cos\varphi =\frac{r+R}{Z}\) ; 

 + Công suất tiêu thụ toàn mạch: \(P=U.I.cos\varphi =(r+R)I^{2}\)  

 + Công suất tiêu thụ trên R:  \(P_{R}=R.I^{2}\)

3. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ , trong đó  \(C=\frac{10^{-4}}{\pi }F;L=\frac{1}{2\pi }H;r=10\Omega ,R=40\Omega\)

Biểu thức dòng điện trong mạch  i  = 2\(\sqrt{2}\)cos 100πt  (A)  

a.Tính tổng trở của mạch?

b.Độ lệch pha  φ  và Công suất của toàn mạch ?

Giải : a. Tính tổng trở: Cảm kháng:\(Z_{L}=L.\omega =\frac{1}{2\pi }.100\pi =50\Omega\)

Dung kháng:\(Z_{C}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{100\pi .\frac{10^{-4}}{\pi }}=100\Omega\)

        Tổng trở : Z = \(\sqrt{(r+R)^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}=\sqrt{(10+40)^{2}+(50-100)^{2}}=50\sqrt{2}\Omega\)

           b. Công suất tiêu thụ của mạch điện : Ta có: \(tan\varphi =\frac{Z_{L}-Z_{C}}{r+R}=\frac{50-100}{10+40}=-1\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{4}rad\)

          Công suất tiêu thụ của mạch điện : P= UIcosφ hoặc P = I2.(r+R) = 22.(10+40) =  200 W

Ví dụ 2: Cho mạch như hình vẽ .

Cuộn dây có r=100Ω, \(L=\frac{1}{\pi }H\) ;

tụ điện có điện dung \(C=\frac{10^{-4}}{2\pi }F\) . Điện áp  xoay chiều hai đầu đoạn mạch \(u_{AB}=100\sqrt{2}cos100\pi t(V)\) .Tính  độ lệch pha giữa  điện áp uAB  và uAM ? Tính Uc?

Giải : ZL= 100Ω; ZC = 200Ω; \(tan\varphi _{AB}=\frac{Z_{L}-Z_{C}}{r}=\frac{100-200}{100}=-1\)   Suy ra  \(\varphi _{AB}=-\frac{\pi }{4}\) 

\(tan\varphi _{AM}=\frac{Z_{L}}{r}=\frac{100}{100}=1\) Suy ra \(\varphi _{AM}=\frac{\pi }{4}\)

       Độ lệch pha giữa  điện áp  uAB  và uAM : \(\varphi _{AB/AM}=\varphi _{AB}-\varphi _{AM}=-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}\)

       Tính UC ?  UC = I.ZC = \(\frac{U.Z_{C}}{\sqrt{r^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}}=\frac{100.100}{\sqrt{100^{2}+(100-200)^{2}}}=50\sqrt{2}\Omega\)

Ví dụ 3: Cho mạch điện như hình vẽ.

Biết \(C=\frac{10^{-4}}{\pi }F,L=\frac{1}{2\pi }H,u_{AB}=200cos100\pi t(V)\). Điện áp uAM chậm pha \(\frac{\pi }{6}\) so với dòng điện qua mạch và dòng điện qua mạch chậm pha \(\frac{\pi }{3}\) so với uMB. Tính r và R? 

Giải : ZL= 50Ω; ZC = 100Ω;   

  .

Ví dụ 4:Một cuộn dây có hệ số tự cảm L được mắc nối tiếp với một tụ có điện dung C rồi mắc vào 2 điểm A, B của một mạch điện xoay chiều có tần số f. Đo điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AB, giữa hai đầu cuộn dây và giữa hai cực của tụ điện bằng vôn kế có điện trở rất lớn, ta lần lượt được: UAB = 37,5 V, U­L=50V, UC=17,5 V.Đo cường độ dòng điện bằng một ampe kế có điện trở không đáng kể, ta thấy I=0,1 A.Khi tần số f thay đổi đến giá trị fm=330 Hz thì cường độ dòng điện trong mạch đạt giá trị cực đại. Tính độ tự cảm L, điện dung C, và tần số f của điện áp đã sử dụng ở trên.

Giải: Giả sử cuộn dây thuần cảm không có điện trở r thì:

UAB = UL – UC = 50 – 17,5 = 32,5 V. Không phù hợp với đề bài . Nên cuộn dây phải có điện trở r.

Ta có tổng trở cuộn dây: \(Z_{d}=\frac{U_{d}}{I}=\frac{50}{0,1}=500\Omega\) ; Dung kháng của tụ điện: \(Z_{C}=\frac{U_{C}}{I}=\frac{17,5}{0,1}=175\Omega\)

Tổng trở :\(Z_{AB}=\frac{U_{AB}}{I}=\frac{37,5}{0,1}=375\Omega\) .  Khi f = fm, trong mạch có cộng hưởng (Imax) nên:

Mặt khác:  ZAB2 = r2 + (ZL – ZC)2 = r2 + ZL2 – 2ZLZC + ZC2   =>ZAB2 = Zd2 + ZC2 – 2ZLZC 

 => 2ZLZC = Zd2 + ZC2  – ZAB2 = 5002 + 1752 - 3752 = 14.104

\(\Rightarrow 2L\omega .\frac{1}{C\omega }=2.\frac{L}{C}=14.10^{4}\Rightarrow \frac{L}{C}=7.10^{4}\Rightarrow L=7.10^{4}C\)

Thế (2) vào (1) ta được: 7.104.C2 = \(\frac{1}{(2\pi .330)^{2}}\)

 => C=1,82.10-6 F; L=7.104.C=7.104.1,82.10-6=0,128H

4. Trắc nghiệm :

Câu 1: Cho mạch điện xoay chiều gồm một cuộn dây có hệ số tự cảm L = \(\frac{0,1}{\pi }\)H và có điện trở thuần r = 10 mắc nối tiếp với một tụ điện có điện dung C = \(\frac{500}{\pi }\). Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có tần số f = 50Hz và điện áp hiệu dụng U = 100V, pha ban đầu bằng 0. .Biểu thức của dòng điện qua mạch:

A. i = 5cos(100πt - \(\frac{\pi }{4}\) ) (A)                                    B. i = 10\(\sqrt{2}\)cos(100πt + \(\frac{\pi }{4}\) ) (A)

C. i = 10cos(100πt + \(\frac{\pi }{4}\) ) (A)                                 D. i = 5\(\sqrt{3}\)cos(100πt - \(\frac{\pi }{4}\) ) (A)

Câu 2: Cho mạch điện hình vẽ  , biết: R = 40Ω , \(C=\frac{2,5}{\pi }.10^{-4}F\)

 và:\(u_{AM}=80cos100\pi t(V);u_{MB}=200\sqrt{2}cos(100\pi t+\frac{7\pi }{12})(V)\); .  r và L có giá trị là:

A. \(r=100\Omega ;L=\frac{\sqrt{3}}{\pi }H\)                                 B. \(r=10\Omega ;L=\frac{10\sqrt{3}}{\pi }H\)   

C. \(r=50\Omega ;L=\frac{1}{2\pi }H\)                                    D. \(r=50\Omega ;L=\frac{2}{\pi }H\)

Câu 3: Một đoạn mạch nối tiếp ABC gồm một tụ điện (đoạn AB) và một cuộn dây (đoạn BC). Khi tần số dòng điện xoay chiều qua mạch bằng 1000Hz người ta đo được các điện áp hiệu dụng UAB = 2 V, UBC = \(\sqrt{3}\) V, UAC = 1V và cường độ hiệu dụng I = 10-3 A.Tìm điện trở r và độ tự cảm L của cuộn dây

A. \(r=500\sqrt{3}\Omega ;L=\frac{3}{4\pi }H\)                            B. \(r=500\sqrt{2}\Omega ;L=\frac{3}{4\pi }H\)

 C. \(r=400\sqrt{3}\Omega ;L=\frac{1}{4\pi }H\)                            D.\(r=300\sqrt{2}\Omega ;L=\frac{4}{3\pi }H\)

Câu 4: Nếu đặt vào hai đầu cuộn dây một điện áp một chiều 9V thì cường độ dòng điện qua nó là 0,5A. Nếu đặt vào hai đầu cuộn dây một điện áp xoay chiều có tần số 50Hz và có giá trị hiệu dụng là 9V thì cường độ hiệu dụng qua cuộn dây là 0,3A. Điện trở thuần và cảm kháng của cuộn dây là:

A. R=18Ω  ZL=30Ω                                              B. R=18Ω  ZL=24Ω    

C. R=18Ω ZL=12Ω                                               D . R=30Ω ZL=18Ω

Câu 5: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ:

Điện áp hai đầu đoạn mạch: \(u=U_{0}cos\omega t(V),R=r\) Điện áp uAM

và uNB vuông pha với nhau và có cùng một giá trị hiệu dụng là \(30\sqrt{5}\). Hỏi U0 có giá trị bao nhiêu:

A.V                                 B.75 V                      C. 60 V                    D.\(60\sqrt{2}\)V

Câu 6:  Một đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây có độ tự cảm L = 0,08H và điện trở thuần r = 32Ω . Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp dao động điều hoà ổn định có w 300 rad/s. Để công suất toả nhiệt trên biến trở đạt giá trị lớn nhất thì điện trở của biến trở phải bằng bao nhiêu?

A. 56Ω .                        B. 24Ω .                      C. 32Ω .                  D. 40Ω .

Câu 7(ĐH-2008): Cho đoạn mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây mắc nối tiếp với tụ điện. Độ lệch pha của hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây so với cường độ dòng điện trong mạch là \(\frac{\pi }{3}\) . Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện bằng \(\sqrt{3}\) lần hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây. Độ lệch pha của hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây so với hiệu điện thế giữa hai đầu đoạn mạch trên là

   A. 0.                            B. \(\frac{\pi }{2}\).                           C. - \(\frac{\pi }{3}\).                       D. \(\frac{2\pi }{3}\).

HD:

5.Bài tập có đáp án:

Bài 1: Một đoạn mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R=180, một cuộn dây có  r=20Ω , độ tự cảm L=0,64H\(\approx \frac{2}{\pi }\)H và một tụ điện có C=32\(\mu F\approx \frac{10^{-4}}{\pi }\)F, tất cả mắc nối tiếp với nhau. Dòng điện qua mạch có cường độ  i=cos(100πt) (A).Lập biểu thức của điện áp tức thời giữa hai đầu đoạn mạch.

Đáp án: u=224cos(100πt+0,463) (V)

Bài 2: Cho đoạn mạch điện AB gồm R với UR=U1, và L với UL=U2. Điện trở thuần R=55Ω mắc nối tiếp với cuộn dây có độ tự cảm L. Khi đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp u=200\(\sqrt{2}\)cos100πt(V) thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở R và hai cuộn dây lần lượt là U1=100V và U2=130V.

 

a. Tính r và L

b. Lập biểu thức tính điện áp tức thời u2 (uMB) giữa hai đầu cuộn dây.

Đáp án: a. r =25Ω; L= 0,19H

            b. u2=130\(\sqrt{2}\)cos(100πt+ \(\frac{\pi }{6}\)) (V)

Bài 3: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ 3. Biết uAB=50\(\sqrt{2}\)cos100πt(V). Các điện áp hiệu dụng UAE=50V, UEB=60V.

  a. Tính góc lệch pha của uAB so với i.

  b. Cho C=10,6μF. Tính R và L.Viết i?Đáp án: a. - 0,2π (rad)  b. Cho C=10,6F. Tính R và L.Viết i?

               b. R=200Ω; L=0,48 (H); i=0,2.\(\sqrt{2}\) cos(100πt+0,2π) (A)

Bài 4:  Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ 4.

Biết =100\(\sqrt{2}\)cos100πt (V) Các điện áp hiệu dụng UAM = 100V; UMB = 120V

  a.Tính góc lệch của uAB so với i

  b.Cho C = 10,6μF. Tính R và L; Viết i?

Đáp án: a. tan-1(3/4) =0,6435(rad) =0,2p(rad)

               b. R= 200; L=0,48 (H);   i=0,2.\(\sqrt{2}\)cos(100πt +0,2π) (V)(A)

Bài 5:  Cho mạch điện như hình 5.

Điện áp giữa hai đầu mạch là \(u=65\sqrt{2}cos\omega t(V)\) . Các điện áp hiệu dụng là UAM = 13V

UMB = 13V; UNB = 65V. Công suất tiêu thụ trong mạch là 25w.

a)     Tính r, R, ZC, ZMN

b)    Tính cường độ hiệu dụng và hệ số công suất tiêu thụ của mạch

Bài 6:  Cho mạch điện như hình 6.

UAB = U = 170V; UMN = UC = 70V; UMB = U1 = 170V; UAN = UR = 70V.

a)     Chứng tỏ cuộn dây có điện trở thuần r

b)    Tính R, C, L và r. Biết \(i=\sqrt{2}cos100\pi t(A)\)

Bài 7:   Cho mạch điện như hình 7.

Biết UAB = U = 200V; UAN = U1 = 70V; UNB = U2 = 150V.

1. Xác định hệ số công suất của mạch AB, của đoạn mạch NB
2. Tính R, r, ZL.

a)     biết công suất tiêu thụ của R là P1 = 70W

b)    biết công suất tiêu thụ của cuộn dây là P0 = 90w.