Bài Toán Về Mặt Cầu Với Hình Chóp Có Mặt Bên Vuông Góc Với đáy

Bài toán về mặt cầu với hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Phương pháp giải mặt cầu

Xét khối chóp $S.ABC$ có $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$.

Dựng tâm. Gọi ${{O}_{1}},{{O}_{2}}$ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và SAB, E là trung điểm của AB, ta có

${{O}_{1}}E\bot AB\Rightarrow {{O}_{1}}E\bot \left( SAB \right)\left( do\text{ }\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \right).$

${{O}_{2}}E\bot AB\Rightarrow {{O}_{1}}E\bot \left( ABC \right).$

Qua ${{O}_{1}}$ dựng đường thẳng ${{d}_{1}}$ vuông góc với $\left( ABC \right)$ thì ${{d}_{1}}$ là trục của tam giác ABC và ${{d}_{1}}//{{O}_{2}}E.$

Qua ${{O}_{2}}$ dựng đường thẳng ${{d}_{2}}$ vuông góc với $\left( SAB \right)$ thì ${{d}_{2}}$ là trục của tam giác SAB và ${{d}_{2}}//{{O}_{1}}E.$

Tâm I của mặt cầu là giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.

 Tính bán kính $R$ của mặt cầu.

Tứ giác $E{{O}_{1}}I{{O}_{2}}$ là hình chữ nhật, suy ra $I{{E}^{2}}={{O}_{1}}{{E}^{2}}+{{O}_{2}}{{E}^{2}}.$

Gọi ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, SAB.

Ta có${{O}_{1}}{{E}^{2}}={{O}_{1}}{{A}^{2}}-E{{A}^{2}}=R_{1}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4};{{O}_{2}}{{E}^{2}}={{O}_{2}}{{A}^{2}}-E{{A}^{2}}=R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}.$

Suy ra $I{{E}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{2}\Rightarrow {{R}^{2}}=I{{E}^{2}}+E{{A}^{2}}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}.$

 Tổng quát: Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $\left( S{{A}_{1}}{{A}_{2}} \right)\bot \left( {{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}} \right).$ Đặt ${{R}_{1}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}$, ${{R}_{2}}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ và ${{A}_{1}}{{A}_{2}}=GT$ (gọi là giao tuyến) thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp $R$ của khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ được tính theo công thức:

$R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{G{{T}^{2}}}{4}}$

Bài tập trắc nghiệm tính bán kính mặt cầu có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a$, tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}.$  B. $\frac{a\sqrt{6}}{3}.$ C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$              D. $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm $AB\Rightarrow SH\bot AB\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$

Tam giác SAB vuông cân tại $S\xrightarrow{{}}{{R}_{b}}=\frac{AB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Tam giác ABC đều cạnh $a\sqrt{2}\xrightarrow{{}}{{R}_{d}}=a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

Vậy ${{R}_{b}}=\frac{a\sqrt{2}}{2};{{R}_{d}}=\frac{a\sqrt{6}}{3};GT=AB=a\sqrt{2}$ nên $R=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Chọn B.

Bài tập 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a,\widehat{ASB}={{30}^{0}},$ tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng A. $5\pi {{a}^{2}}.$  B. $7\pi {{a}^{2}}.$ C. $9\pi {{a}^{2}}.$ D. $3\pi {{a}^{2}}.$

Lời giải chi tiết

Tam giác SAB có $\widehat{ASB}={{30}^{0}},AB=a\xrightarrow{{}}{{R}_{b}}=\frac{AB}{2\sin \widehat{ASB}}=a$

ABCD là hình vuông cạnh $a\xrightarrow{{}}{{R}_{d}}=\frac{BD}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy ${{R}_{b}}=a;{{R}_{d}}=\frac{a\sqrt{2}}{2};GT=AB=a$ nên $R=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

Diện tích mặt cầu cần tính là $S=4\pi {{R}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.$

Chọn A.

Bài tập 3: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác cân tại C, tam giác SAB đều cạnh a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trung điểm cạnh AB. Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng đáy một góc ${{45}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là A. $\frac{a}{2}.$  B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ C. $\frac{a\sqrt{5}}{2}.$ D. $\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm $AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$

$\Rightarrow \widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;HC \right)}=\widehat{SCH}={{30}^{0}}$

Tam giác SHM vuông cân tại$H,$ có $HM=\frac{SH}{\tan \widehat{SCH}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow CH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\Rightarrow $ Tam giác ABC đều cạnh a

Vậy ${{R}_{b}}={{R}_{d}}=\frac{a\sqrt{3}}{2};GT=AB=a$ nên $R=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$ Chọn C.

Bài tập 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{30}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng A. $\frac{a\sqrt{6}}{2}.$  B. $\frac{a\sqrt{10}}{2}.$ C. $\frac{a\sqrt{15}}{2}.$              D. $\frac{a\sqrt{21}}{2}.$

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm $AD\Rightarrow SH\bot AD\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$

Gọi M là trung điểm $BC\Rightarrow HM\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SHM \right)$

$\Rightarrow \widehat{\left( \left( SHM \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SM;HM \right)}=\widehat{SMH}={{30}^{0}}$

$\Rightarrow BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{H{{M}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{13}$

Vậy ${{R}_{b}}=a\sqrt{3};{{R}_{d}}=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{13}}{2};GT=AD=2a$

nên $R=\frac{a\sqrt{21}}{2}.$

Chọn D.

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có $AB=BC=BD=AC=a,AD=a\sqrt{2},$ hai mặt phẳng $\left( ACD \right)$ và $\left( BCD \right)$vuông góc với nhau. Diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm $A,B,C,D$ bằng A. $8\pi {{a}^{2}}.$  B. $4\pi {{a}^{2}}.$ C. $12\pi {{a}^{2}}.$ D. $6\pi {{a}^{2}}.$.

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm $CD\Rightarrow BH\bot CD\Rightarrow BH\bot \left( ACD \right)$

Mà $BA=BC=BD\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACD$

$\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại  $A\Rightarrow CD=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}$

Tam giác BHC vuông tại $H\Rightarrow \cos C=\frac{HC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{B}={{120}^{0}}$

Vậy ${{R}_{b}}=\frac{CD}{2\sin B}=a\sqrt{3};{{R}_{d}}=\frac{CD}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2};GT=CD=a\sqrt{3}$

$\xrightarrow{{}}R=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}-{{\frac{\left( a\sqrt{3} \right)}{4}}^{2}}}=a\sqrt{3}\Rightarrow {{S}_{mc}}=12\pi {{a}^{2}}.$

Chọn C.

Bài tập 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là A. $R=\frac{a\sqrt{43}}{6}.$  B. $R=\frac{a\sqrt{41}}{6}.$ C. $R=\frac{a\sqrt{41}}{8}.$              D. $R=\frac{a\sqrt{43}}{8}.$

Lời giải chi tiết

Gọi $H,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$

$SH\bot AB$ mà $\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot CD.$

Do $HM\bot CD$ suy ra $CD\bot \left( SHM \right)$

$\Rightarrow \widehat{\left( SCD \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{SMH}={{45}^{0}}.$

Lại có ${{S}_{\Delta SAB}}=\frac{SA.SB.AB}{4.{{R}_{\Delta SAB}}}\Rightarrow {{R}_{\Delta SAB}}=\frac{5a}{8}$ và ${{R}_{ABCD}}=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy ${{R}_{S.ABCD}}=\sqrt{R_{\Delta SAB}^{2}+R_{ABCD}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{41}}{8}.$

Chọn C.

Bài tập 7: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tam giác đều. Tam giác SAB đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng $SC=2a\sqrt{3},$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là A. $S=\frac{40\pi }{3}.$  B. $S=\frac{20\pi }{3}.$ C. $S=\frac{80\pi }{3}.$ D. $S=40\pi .$

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó $SH\bot AB.$

Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right).$ Do vậy $SH\bot \left( ABC \right)$.

Đặt $AB=x.$ Ta có: $SH=HC=\frac{x\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $SC=\frac{x\sqrt{6}}{2}=2a\sqrt{3}\Rightarrow x=2a\sqrt{2}$

Ta có: ${{R}_{1}}={{R}_{2}}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Suy ra

$R=\sqrt{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{30}}{3}\Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{40\pi }{3}.$

Chọn A.