Baitap Dao Ham Rieng - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (6 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Khoa Học Tự Nhiên
>>
3. Toán học

Baitap dao ham rieng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (146.92 KB, 6 trang )

BÀI TẬP ĐẠO HÀM HÀM NHIỀU BIẾN1Đạo hàm riêng và vi phân cấp mộtTính các đạo hàm riêng và vi phân cấp một tại các điểm được chỉ ra:1. f (x, y) = x2 y + 3xy 2 , (x0 , y0 ) = (2, −1).2. f (x, y) = x3 sin(y − x), (x0 , y0 ) = (π, π).3. f (x, y) = (y − 1)ex4. f (x, y) = tanh2 +2yxy, (x0 , y0 ) = (−1, 1)., (x0 , y0 ) = (0, 1).x2 + y 2 tại các điểm (x0 , y) sao cho x0 = 0.5. f (x, y) = ln y +Tính đạo hàm riêng và vi phân cấp một của hàm ba biến.1. Tính fx (1, 0, 1), fz (1, −1, 1) của f (x, y, z) =2. Tính fy (x, y, z) của f (x, y, z) = yyln(y 2 + 2z).xzy 2 + x2 + z 2 .3. Tính fx , fy , fz của f (x, y, z) = arctanx+ztại những điểm mà f xác định.y4. Tính fx (x, y, z) của f (x, y, z) = (xy)z5. Tính df (1, 2, 1) với f (x, y, z) =x2z.+ y2Tìm miền xác định của1. fx với f (x, y) =x2 + y 2 .2. fy với f (x, y) = ln(x − 2y).3. fx , fy với f (x, y) = y 3 x2 + y 2 .−x2 −y 21 − e, (x, y) = (0, 0)4. fx với f (x, y) =x2 + y 21, (x, y) = (0, 0) sin(xy),x = 05. fx , fy với f (x, y) =.xy, x = 0Với hàm số f cho trước, tính giá trị biểu thức A(x, y) theo x, y hoặc A(x, y, z) theo x, y, z.1. f (x, y) =x2 x 1 1x3+ + − ,A(x, y) = x2 fx (x, y) + y 2 fy (x, y). ĐS :2y 2 x yy2. f (x, y) = xy + x2 lny, A(x, y) = xfx (x, y) + yfy (x, y) − 2f (x, y) . ĐS : 0x3. f (x, y) = 4e−2y + (2x + 4y − 3)e−y − x − 1, A(x, y) = (fx )2 + fy + z. ĐS : −x4. f (x, y, z) = ln (x3 + y 3 + z 3 − 3xyz) , A(x, y, z) = fx + fy + fz . ĐS :3x+y+zTrong các bài dưới đây, tìm hàm f (x, y) khả vi thỏa mãn điều kiện đã cho1. fx (x, y) = x2 − y, fy (x, y) = y 2 − x.2. fx (x, y) = 3y 2 + 2xy + 2x, fy (x, y) = 6xy + x2 + 3.3. df (x, y) = (ex + y + sin x) dx + (ey + x + sin y) dy.xx4. df (x, y) = x + e y dx + e y1−xydy.Tính số gia và vi phân của các hàm số dưới đây tại các điểm được chỉ ra1. f (x, y) = x2 y, (x0 , y0 ) = (1, 1).2. f (x, y) = x2 y, (x0 , y0 ) = (1, 1), ∆x = −0.1, ∆y = 0.01.3. f (x, y) = x2 − xy + y 2 nếu x thay đổi từ 2 đến 2.1 và y thay đổi từ 1 đến 1.2.Các bài toán ứng dụng.1. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của giao tuyến giữa mặt cong S : z = x2 y + 2yxy và mặtphẳng y = −1 tại điểm có hoành độ x = 2.2. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của giao tuyến giữa mặt cong S : z = sin xy + 2x2 − y vàmặt phẳng x = π tại điểm có tung độ y = 1.3. Một chiếc thùng hình trụ có kích thước bên trong là: bán kính R = 2.5m, chiều caoH = 4m, độ dày thành và đáy là 1dm. Hãy tính gần đúng thể tích vật tư sử dụng choviệc chế tạo thùng.4. Một hình hộp chữ nhật có kích thước các cạnh là : a = 2m, b = 3m, c = 6m. Hãy tínhgần đúng độ dài đường chéo hình hộp nếu a tăng 2cm, b tăng 1cm và c giảm 3cm.5. Trong nón cụt có bán kính đáy dưới R = 20cm, bán kính đáy trên r = 10cm, chiềucao h = 30cm. Tính xấp xỉ sự thay đổi thể tích nếu R tăng thêm 2mm, r tăng thêm3mm và h giảm đi 1mm.2Đạo hàm và vi phân cấp caoTính các đạo hàm cấp hai theo yêu cầu tại các điểm được chỉ ra.1. f ”xx (1, 0), f ”xy (−1, 1) với f (x, y) = arctan (x + 2y 2 ).2. f ”yy (2, 0) với f (x, y) = sin (πx + x2 y).3. f ”xy (x, y), f ”yy (x, y) với f (x, y) = ln coshxy.4. f ”xz (0, 1, −1), f ”zz (1, 0, 0) với f (x, y, z) = xyz − arctan (x2 + z).5. f ”yz (x, y, z) với f (x, y, z) = (yz)x .Tính vi phân cấp hai của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra1. f (x, y) = x3 + x2 y − 2x2 y 2 + 3xy 2 − 1, (x0 , y0 ) = (2, −3).2. f (x, y) = ln(x2 + 2xy), (x0 , y0 ) = (1, 0).3. f (x, y) = tan2 (2x − y), (x0 , y0 ) = (0, 0).Tìm đạo hàm cấp cao tại các điểm được chỉ ra.(4)1. fxy3 0,π, f (x, y) = x cos(x + 2y).2(6)22. fxy5 (x, y), f (x, y) = (x + 1)ex y .(6)23. fx2 y5 (1, −1), f (x, y) = xex y .(10)4. fx5 y5 (−1, −1), f (x, y) =1.2x − 3y(10)5. fx5 y5 (−1, −1), f (x, y) = sin(2x − y).(12)6. fx8 y4 (x, y), f (x, y) = (x − y 2 ) ex+y7. f ”xz (0, 1, −1), f ”zz (0, 1, −1) với f (x, y, z) = yz − arctan (x2 + z).8. f ”yz (1, 1, 2) với f (x, y, z) = (xy)z .3Đạo hàm và vi phân hàm hợpπ1. Cho z = f (u, v) = u2 v−uv 2 , trong đó u = sin(x−y), v = sin(x.y). Tính zx (π, ), zy (0, π).22. Cho u = f (x, y, z) = xyz, với x = t2 + 1, y = ln t, z = tan t. Tính u (t).3. Cho u = f (x, y, z) =yz+ 2y, với x = arctan t, y = t2 + 1, z = et−1 . Tính du(1).x4. Với 1mol khí lý tưởng, phương trình trạng thái cho bởi P V = 8.31T , trong đóP (kP ascal), V (Lit), T (Kenvin). Tại thời điểm nhiệt độ đạt được 3000 K và thể tíchkhí đạt 100lit, vận tốc tăng nhiệt là 0.1K/s và vận tốc tăng thể tích là 0.2L/s, tínhtốc độ thay đổi của áp suất P .5. Cho z = f (x) = tanh (x2 + 2x). Nếu x = u + v − e2u , tính zv (u, v).x6. Cho z = f (x, y) = arctan .ya/ Tính fx (0, 1), fy (0, 1).b/ Nếu y = ln (x2 + e), tính dz(0).c/ Nếu x = 2t − 1, y = t3 + 2, tính dz(t).7. Cho z = f (x, y), với f là hàm khả vi và x = x(t), y = y(t). Biết rằng x(3) = 12, y(3) =−4, x (3) = 1, y (3) = 6, fx (12, −4) = −2, fy (12, −4) = 7. Tính z (3).8. Cho z = f (x, y) = arcsin(x − y), với x = u2 + v 2 , y = 1 − 2uv. Tính zu , zv .9. Cho g(s, t) = f (x(s, t), y(s, t)). Biếtx(−1, 2) = 2, xs (−1, 2) = 0, xt (−1, 2) = −3,y(−1, 2) = 3, ys (−1, 2) = 1, yt (−1, 2) = 5,fx (2, 3) = −3, fy (2, 3) = 6.Tính gs (−1, 2), gt (−1, 2).10. Cho f (x, y) là hàm khả vi theo hai biến x, y và z(u, v) = f (eu + sin v, eu + cos v). Biếtfx (1, 2) = 3, fy (1, 2) = 6, tính zu (0, 0), zv (0, 0).11. Cho z = f (x, y), với x = s + t, y = s − t. Chứng minh rằng (fx )2 − fy12. Cho z = f (x, y), với x = es cos t, y = es sin t..2Chứng minh rằng (fx )2 + fy = e−2s (zs )2 + (zt )2 .2= zs zt .13. Cho z =f1zy1, Chứng minh rằng zx + zy = 2 .2−y )xyy(x214. Cho u = f (x − y, y − z, z − x). Chứng minh rằng ux + uy + uz = 0.15. Cho z = x2 + xy với x = t2 , y = 3t. Tính z”(t).x16. Cho z = x2 y − 2 ln , với x = u2 − v 2 , y = uv. Tính z”uu (1, 1), z”uv (1, 1).y17. Chứng minh rằng hàm số u = xf (x + y) + yg(x + y), với f, g khả vi, thỏa mãn phươngtrình :u”xx − 2u”xy + u”yy = 0.18. Cho u = f (x, xy, xyz), với f là hàm khả vi. Tìm du(x, y, z).19. Cho f, g là các hàm khả vi và z = xf20. Cho f là hàm khả vi và z = xfxy+ ygx, chứng minh xzx + yzy = z.yx, chứng minh 2xzx + yzy = 2z.y221. Cho f, g là hàm khả vi và z = f (x + y) + g(x − y), chứng minh z”xx − z”yy = 0.4Đạo hàm và vi phân của hàm ẩn1. Hàm ẩn y = y(x) xác định từ phương trình x + y = ex−y . Tính y (x), y”(x).2. Cho hàm ẩn y = y(x) thỏa phương trình x2 + 2xy + y 2 − 4x + 2y − 2 = 0 và y(1) = 1.Tìm dy(1), d2 y(1).z3. Cho hàm ẩn z = z(x, y) thỏa phương trình : xz − e y + x3 + y 3 = 0. Tìm zx , zy .4. Tìm zx (1, −2), zy (1, −2) nếu z 3 − 4xz + y 2 − 4 = 0, z(1, −2) = 2.5. Tính z”xy nếu z = z(x, y) thỏa phương trình x2 − 2y 2 + z 2 − 4x + 2z − 5 = 0.6. Với f là hàm hai biến khả vi, cho hàm ẩnz = z(x, y) thỏa f (yz, exz ) = 0, tìm zx , zy .7. Cho z = z(x, y) xác định từ hệx cos α + y sin α + ln z = f (α),,−x sin α + y cos α = f (α)trong đó f = f (α), α = α(x, y) là các hàm khả vi. Chứng minh rằng:2(zx )2 + zy = z 2 .8. Cho hàm ẩn z = z(x, y) xác định từ hệx = u + ln v,y = v − ln u, .z = 2u + vTìm zx , zy tại u = 1, v = 1.9. Cho z = z(x, y) thỏa zez = xex + yey và u =x+z. Tính ux , uy .y+z5Đạo hàm theo hướng và vector gradient1. Cho f (x, y, z) = x + exyz + tanh(z − y). Tìm ∇f (0, 1, −1).2. Cho f (x, y) = x3 sin(x + y − y 2 ). Tìm ∇f (π, 1).∂f (M )−.3. Cho f (x, y) = x2 y + arctan(x + y) và vector →a = (1, −1). Tìm−∂→a4. Cho f (x, y) = lnx2 + y 2 + 1. Tìm hướng tăng nhanh nhất của f tại M (1, 2).5. Cho f (x, y) = −3 + 2xy 2 + x3 + y 3 và M (2, 1). So sánh tốc độ thay đổi của f tại M→−−theo các hướng →a = (3, 4), b = (−3, 4).−6. Cho f (x, y) = x2 + y 2 + z 2 + +xy + 3x − 2y − 6z. Gọi vector →a = ∇f (0, 0, 0). Tìm∂f (1, −2, 2) ∂f (0, 0, 0),.−−∂→a∂→a7. Tại những điểm nào của không gian thì vector ∇f (x, y, z) của f (x, y, z) = x3 + y 3 +z 3 − 3xyza/ Vuông góc với trục Oz.b/ Song song với trục Oz.8. Cho g = f ( x2 + y 2 + z 2 ) với f là hàm khả vi, tìm ∇g(x, y, z).9. Tìm phương trình mặt tiếp diện và pháp tuyến của các mặt cong sau tại các điểmđược chỉ ra.√a/ x2 + y 2 + z 2 = 4 tại điểm M (1, 1, 2).π π 1, ,.b/ z = sin x cos y tại điểm M4 4 21c/ z = ex cos y tại điểm M 1, π,.ed/ x(t + z)(xy − z) + 8 = 0 tại điểm M (2, 1, 3)6Khai triển Taylor1. Tìm khai triển Maclaurin cấp 2 của f (x, y) =7Cực trị hàm nhiều biến7.1Cực trị tự doTìm cực trị các hàm số sau:1. f (x, y) = x2 + xy + y 2 − 3x − 6y.2. f (x, y) = 3x2 − x3 + 3y 2 + 4y.3. f (x, y) = xy +50 20+ , (x > 0, y > 0).xy4. f (x, y) = x2 + y 2 − 2 ln x − 18 ln y.5. f (x, y) = x3 − xy 2 + 5x2 + y 2 .6. f (x, y) = xy 2 (1 − x − y), (x > 0, y > 0).7. f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 4x + 6y − 2z.8. f (x, y, z) = x +7.2y z 2+ + .x y zCực trị có điều kiệnTìm cực trị của các hàm số dưới đây với điều kiện tương ứng.1. f (x, y) = x2 + y 2 − xy + x + y − 4, x + y + 3 = 0.2. f (x, y) =x y 2+ , x + y 2 = 1.2 33. f (x, y) = x2 + 12xy + 2y 2 , 4x2 + y 2 = 25.4. f (x, y) = x2 + y 2 , x2 − 2x + y 2 − 4y = 0.√x−y5. f (x, y) = √ − 2 2, x2 + y 2 = 1.28Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtTrong các bài dưới đây, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên miền được chỉ ra.1. f (x, y) = xy, x2 + y 2 ≤ 1.2. f (x, y) = 3x2 + 5y 2 − 2, x2 + y 3 ≤ 4.3. f (x, y) = 3x2 + 5y 2 − 2, 2x2 + 3y 2 ≤ 25.4. f (x, y) = x2 − xy + y 2 , |x| + |y| ≤ 1

Tài liệu liên quan

• Phương trình đạo hàm riêng
  • 6
  • 6
  • 119
• PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
  • 37
  • 11
  • 170
• Chương 8: Phương trình vi phân đạo hàm riêng
  • 14
  • 886
  • 13
• PHÂN LOẠI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH CẤP 2 VỚI CÁC BIẾN ĐỘC LẬP
  • 10
  • 4
  • 81
• Tài liệu CHƯƠNG 9: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG ppt
  • 35
  • 873
  • 13
• Luận án tiến sĩ toán học : SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TRONG KHỬ NHIỄU ĐỐM CỦA ẢNH SIÊU ÂM Y TẾ
  • 126
  • 639
  • 2
• Bài tập đạo hàm riêng, vi phân ppt
  • 3
  • 2
  • 24
• Tuyển tập đề kiểm tra giữa kỳ môn: phương trình vi phân đạo hàm riêng doc
  • 17
  • 778
  • 4
• Đề kiểm tra giữa kỳ môn: phương trình vi phân đạo hàm riêng, đề số 2 ppsx
  • 1
  • 498
  • 1
• Đề kiểm tra giữa kỳ môn: phương trình vi phân đạo hàm riêng, đề số 3 doc
  • 1
  • 415
  • 2

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(146.92 KB - 6 trang) - Baitap dao ham rieng Tải bản đầy đủ ngay ×