Bảng Công Thức Tích Phân đầy đủ - 123doc

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.. Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.. Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên

BẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN

CÔNG THỨC CƠ BẢN CÔNG THỨC MỞ RỘNG

dxxC

C

x

dx

x 





   11

  x C

x

dx

ln

 

C

n

b

ax

a

dx

b

ax

n

n 











( ) 1 1

1

e x dxe x C

  C

a

a

dx

a

x

x

ln

cosx.dx sin xC ;   nxC

n

dx

nx). 1sin

(

cos

sin x.dx  cosxC;   nxC

n

dx

nx. 1cos

sin

 dx tg x tgxC

x (1 )

cos

1 2

2

 dx  gx   gxC

x (1 cot ) cot

sin

1 2

2

C

a

x

x

a

dx  



 arcsin

2

2

  

 a C

x

a

x

a

dx

arctan

1

2

2

du uC

C

u

du

u 





  11

   

b dx a ax b C

ax ln

1

)

(

1

C

u

n

dx

u

dx

u n

n

n 







  

  1

).

1

(

1

1

    

C

e

a

dx

e ax b 1 ax b ; C

u

a

du

a

u

u  

 ln

    axb C

a

dx

b

ax ) 1cos( )

sin(

   axb C

a

dx

b

ax ) 1sin( )

cos(

    u C

u

du

dx

u

u

ln

'

;

 dx u C

u

u

2

'

;    C

u

dx

u

u' 1

2

 







 a x C

x

a

a

x

a

dx

ln

2

1

2

2

    

a x x a C

x

dx 2

2 ln

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

I Phương pháp đổi biến số dạng 1

Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau

1/ Quy tắc :

 Bước 1: Đặt x=v(t)

 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận

 Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt

 Bước 4: Tính

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

v b

b

a v a

v b

f x dx g t dt G t

v a

 

 

 Bước 5: Kết luận : I= ( ) ( )

( )

v b

G t

v a

2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm )

* Chú ý :

a Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :

Dấu hiệu Cách chọn

2 2

a x sin

2 2

ost 0 t

x a t t

x a c

 



     





   



Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên

2 2

x a

 

;

sin 2 2

0; \

ost 2

a

x t

t

a

x t

c

 





  

   

  

 



  

  

  

 



2 2

a x

 

tan ;

2 2

cot 0;

x a t t

x a t t

 



     

 

  



   



a x a x

a x a x

 



 

x=a.cos2t

xa b x x=a+  2

sin

ba t

b Quan trọng nhất là nhận ra dạng :

- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :

* 2   2 2 2

1 1 1 1

0

ax b

a x+

2a 2

dx dx du

bx c a u k

a

  

  

   

       

      

   

 

  

Với : x+ b , ,

2a 2

u k du dx

a

  

  

 

 

 

* áp dụng để giải bài toán tổng quát :

 2 22k 1  

dx

k Z

a x



 







II Đổi biến số dạng 2

1 Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : )

 Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x)

 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx

 Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt

 Bước 4: Tính

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

u b

b

a u a

u b

f x dx g t dt G t

u a

 

 

 Kết luận : I= ( ) ( )

( )

u b

G t

u a

2 Nhận dạng :

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

A DẠNG : I= ( )  

0

ax+b

P x

dx a









* Chú ý đến công thức : ln ax+b

ax+b

m m

dx

a











 Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta

chia tử cho mẫu dẫn đến ( ) ( ) ( ) 1

ax+b ax+b ax+b

P x m

dx Q x dx Q x dx m dx

   

   

   

   

B DẠNG : 2 ( )

ax

P x

dx

bx c



  



1 Tam thức : 2

( ) ax

f x  bxc có hai nghiệm phân biệt

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên

Công thức cần lưu ý : '( ) ln ( )

( )

u x

dx u x

u x













Ta có hai cách

Cách 1: ( Hệ số bất định )

Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )

2 Tam thức : 2

( ) ax

f x  bxc có hai nghiệm kép

Công thức cần chú ý : '( )  

ln ( )

( )

u x dx

u x

u x













Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t

3 Tam thức : 2

( ) ax

f x  bxc vô nghiệm :

Ta viết : f(x)=

 

2 2 2

2

( ) ( ) 2

;

2

2 2

b

u x

P x P x a

a u k

b k

a x a

a a

  



 

       



       

   

 

Khi đó : Đặt u= ktant

C DẠNG : 3 ( )2

ax

P x

dx

bx cx d



   

1 Đa thức : f(x)= 3 2  

ax bx cxd a 0 có một nghiệm bội ba

Công thức cần chú ý : 1 1 . 11

1

m dx m

x m x

















2 Đa thức : f(x)= 3 2  

ax bx cxd a 0 có hai nghiệm :

Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu

3 Đa thức : f(x)= 3 2  

ax bx cxd a 0 có ba nghiệm

 PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ

I KIẾN THỨC

1 Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau :

- '( ) ( )

2 ( )

f x

dx f x C

f x

 



- 2

2

1

ln

dx x x b C

x b

   





- Mở rộng : 2

2

'( )

ln ( ) ( )

( )

u x

du u x u x b C

u x b

   





1 Tích phân dạng : 2 1  

0

ax

I dx a

bx c





 

 



a Lý thuyết :

Từ :

2

2

2

2

f(x)=ax

2 4

2

b

x u

b a

bx c a x du dx

a a

K

a

  



    

         



 

  

  



Khi đó ta có :

- Nếu       2  2  2  2 (1)

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên

- Nếu :

2 0

0 ( )

( )

2

2

a

b

f x a x b

f x a x a u

a

a







 

           

  



(2)

- Nếu :   0

+/ Với a>0 : f x( ) a x x1xx2 f x( )  a. xx1xx2 (3)

+/ Với a<0 : f x( )  a x 1 xx2 x f x( )  a. x1 xx2 x (4)

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

b Cách giải

* Trường hợp :  2 2 2 2

0,a 0 f x( ) a u k f x( ) a. u k

        

Khi đó đặt :

 

2

2

2

2

0 1

2

;

2 2

2

ax

,

.

2

t c

x dx tdt

b a b a

bx c t a x

bx c t a x

x t t x t t t c

t a x t a

b a

 

   

 



   

 

      

     

  

  

 



* Trường hợp :

2 0

0 ( )

( )

2

2

a

b

f x a x b

f x a x a u

a

a







 

           

  



Khi đó :

1

ln : 0

2 2

1 1 1

1

ln : 0

2 2 2 2

b b

x x

a a

a

I dx dx

b a b b b

a x x x x

a a a a a

 

 









  

  

  

 



     

       

 



 

* Trường hợp :   0,a 0

- Đặt :     

 

1

2

1 2

2

ax bx c a x x x x x x t

x x t





      





* Trường hợp :   0,a 0

- Đặt :     

 

1

2

1 2

2

ax bx c a x x x x x x t

x x t





      





2 Tích phân dạng :  

2 0

ax

mx n

I dx a

bx c







 

 



Phương pháp :

b.1 : Phân tích  2   

2 2 2

ax

( ) 1

ax ax ax

A d bx c

mx n B

f x

bx c bx c bx c

 



  

     

b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B

b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)

b.4 Tính I =  2 

2

1

2 ax

ax

A bx c B dx

bx c









  

 

 (2)

Trong đó 2 1  

0

ax

dx a

bx c







 

 đã biết cách tính ở trên

3 Tích phân dạng :

  2  

1

0

ax

I dx a

mx n bx c





 

  



Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên

Phương pháp :

b.1 Phân tích :

  2

2

1 1

ax n ax

mx n bx c m x bx c

m



 

       

 

(1)

b.2 Đặt : 2

2

1 1

1

1 1 1

ax

n

y t dy dx

x t m x t

n

x

y m

x t bx c a t b t c

y y y

  

     

    



   

   

             

    



b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng :

'

2

'

dy

I

Ly My N





 

 

 Tích phân này chúng ta đã biết cách

tính

4 Tích phân dạng :  ;  ;m x

I R x y dx R x dx

x

 

 

 

 

  

   



 

 

( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và    , , , là các hằng số đã biết )

Phương pháp :

b.1 Đặt : t=m x

x

 

 



 (1)

b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x t

b.3 Tính vi phân hai vế : dx=' t dt  và đổi cận

b.4 Cuối cùng ta tính : '      

'

;m x ; '

R x dx R t t t dt

x

 

 

   

 

  



 

  

 

 

*) Tính tích phân: I mx2 n dx ,  a 0 

ax bx c







 

 



(trong đó f x ( ) 2mx n

ax bx c





  liên tục trên đoạn    ; )

+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

c

bx

ax

B

c

bx

ax

b

ax

A

c

bx

ax

n

mx





















2

2

2

)

2

(

+)Ta có I= 



dx

c

bx

ax

B

dx

c

bx

ax

b

ax

A

dx

c

bx

ax

n

mx























 2 2

2

)

2

( 







Tích phân dx

c

bx

ax

b

ax

A







 2

)

2

(





=





c

bx

ax

A 2  

ln

Tích phân

2

dx

ax bx c



  

 tính được

*) Tính tích phân ( )

b

P x

I  dx với P(x) và Q(x) là đa thức của x

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:

+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn  1, 2, , nthì đặt

1 2

1 2

( )

( )

n

n

A

A A

P x

Q x  x    x     x  

+ Khi    2  2

( ) , 4 0

Q x  x   x  px  q   p  q  thì đặt

2

( )

.

( )

P x A Bx C

Q x x  x px q



 

  

+ Khi   2

( )

Q x  x   x   với    thì đặt

 2

( )

( )

A

P x B C

Q x  x  x  x

 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên   a b ; thì:

'   '

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b b

a a

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

 

 

hay

b b

a a

b

udv uv vdu

a

 

 

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:

 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng '

udv  uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x)

làm u(x) và phần còn lại '

( )

dv  v x dx

 Bước 2: Tính '

du  u dx và '

( )

v dv v x dx

 Bước 3: Tính '

b b

a a

vdu vu dx

  và b

uv

a

 Bước 5: Áp dụng công thức trên

*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần

( )

b

x

a

P x e dx

 ( ) ln

b

a

P x xdx

 ( ) cos

b

a

P x xdx

 cos

b

x

a

e xdx



u P(x) lnx P(x) x

e

dv x

e dx P(x)dx cosxdx cosxdx

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và

'

dv  v dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần

của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn '

dv  v dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm

số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm

Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

 Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )





 mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những

hàm số: eax, cos ax , sin ax thì ta thường đặt

'

( )

( )

( ) ( )

du P x dx

u P x

dv Q x dx v Q x dx







  

   

  

 Nếu tính tích phân P x Q x dx( ) ( )





 mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì

ta đặt ' 

( )

( ) ( )

du Q x dx

u Q x

dv P x dx v P x dx







 

  



  

 Nếu tính tích phân axcos

I e bxdx





  hoặc axsin

J e bxdx





  thì

ta đặt

1

cos sin

ax

ax du ae dx

u e

dv bxdx v bx

b







 



  



 

hoặc đặt

1

sin cos

ax

ax du ae dx

u e

dv bxdx v bx

b







 



 

  

 

Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân

ban đầu Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính

 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác

1 Tính

cos

dx

I

asinx b x c



 



Phương pháp:

Đặt

2

2

tan

2 1

  



x dt

t dx

t

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên

Ta có:

2

2

sin

1

t

x

t



 và

2

2

1

cos

1

t

x

t







  2

2

cos 2

dx dt

I

asinx b x c c b t at b c

 

     

  đã biết cách tính

2 Tính

2 2

sin sin cos cos

dx

I

a x b x x c x d



  



Phương pháp:

  2   2

sin sin cos cos

dx

I

a d x b x x c d x



   



   

2

2

cos

tan tan



   



dx

x

a d x b x c d

Đặt 2

cos

dx

t tgx dt

x

  

  2  

dt

I

a d t bt c d

 

   

 đã tính được

3 Tính sin cos

sin cos

m x n x p

I dx

a x b x c

 



 



Phương pháp:

+)Tìm A, B, C sao cho:

   

sin cos sin cos cos sin ,

m xn x p A a xb xc B a xb x C x+) Vậy

sin cos

sin cos

m x n x p

I dx

a x b x c

 



 

 =

=      









c

x

b

x

a

dx

C

dx

c

x

b

x

a

x

b

x

a

B

dx

A

cos

sin

cos

sin

sin

cos

Tích phân dx tính được

Tích phân dx a x b x c C

c

x

b

x

a

x

b

x

a    







 ln sin cos

cos

sin

sin

cos

Tích phân asinxdx bcosxctính được

Nguyên hàm dạng  R  sin , cos x x dx  , với R  sin , cos x x là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx

Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết

cách tính tích phân

 Trường hợp chung: Đặt

2

2

tan

2 1

  



x dt

t dx

t

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên

Ta có

2

2 2

2 1

sin ;cos

1 1

t t

x x

t t



 

 

 Những trường hợp đặc biệt:

+) Nếu R  sin ,cos x x là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

R   sin , cos x  x   R  sin , cos x x thì đặt t  tan x hoặc t  cot x, sau đó đưa

tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t

+) Nếu R  sin ,cos x x là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

R   sin ,cos x x    R  sin ,cos x x thì đặt t  cos x

+) Nếu R  sin ,cos x x là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

R  sin , cos x  x    R  sin ,cos x x thì đặt t  sin x

TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT

1.Cho hàm số y f x( ) liên tục và lẻ trên đoạn a a;  Khi đó

( ) 0

a

a

I f x dx



  

2.Cho hàm số y  f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn   a a ;  Khi đó

0

( ) 2 ( )

a a

a

I f x dx f x dx



   

Chứng minh : Ta có 0

0

( ) ( ) ( )

a a

a a

I f x dx f x dx f x dx

 

   (1)

Ta tính

0

( )

a

J f x dx



  bằng cách đặt x   t  0   t a   dx   dt

0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

a a

a a

J f x dx f t dt f t dt f x dx



        (2)

Thay (2) vào (1) ta được

0

( ) 2 ( )

a a

a

I f x dx f x dx



  

3.Cho hàm số y  f x ( ) liên tục và chẵn trên đoạn: Khi đó

 









 







dx

x

f

dx

a

x

f

I x ( )

2

1

1

)

(

Chứng minh: Đặt t= -x 

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên

Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= t 1

t

a

a



Khi x= -  thì t =  ; x = thì t =- 

Vậy   

 

 



























dt

t

f

a

a

dt

a

t

f

a

dx

a

x

f

I t

t

t

t

x ( )

1

1

1

1

)

(

1

)

(

  

  























I

dx

x

f

dt

a

t

f

dt

t

f t ( )

1

)

(

)

(

Suy ra  



















dx

x

f

dx

a

x

f

I x ( )

2

1

1

)

(

4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0;

2



 

 

  Khi đó

2 2

0 0

(sin ) (cos )

f x dx f x dx

 



 

Chứng minh:

Đặt

2

t     x dx   dt

Khi x = 0 thì

2

t 

 , khi

2

x 

 thì t = 0

Do đó 2 0 2 2

0 0 0

2

(sin ) (sin( ) (cos ) (cos )

2

f x dx f t dt f t dt f x dx

  





    

   

Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức

*Nếu f(x) liên tục trên   0;1 thì (sin ) (sin )

2

xf x dx f x dx

   

 



 



 

*Nếu f(x) liên tục trên   0;1 thì

2 2

(cos ) (cos )

 



 xf x dx  f x dx

   

 

