Bất đẳng Thức Bunhiacopxki - Chuyên đề Toán Lớp 9 Luyện Thi Vào ...

Có thể bạn quan tâm

- - Mầm non
  - Lớp 1
  - Lớp 2
  - Lớp 3
  - Lớp 4
  - Lớp 5
  - Lớp 6
  - Lớp 7
  - Lớp 8
  - Lớp 9
  - Lớp 10
  - Lớp 11
  - Lớp 12
  - Thi vào lớp 6
  - Thi vào lớp 10
  - Thi Tốt Nghiệp THPT
  - Đánh Giá Năng Lực
  - Khóa Học Trực Tuyến
  - Hỏi bài
  - Trắc nghiệm Online
  - Tiếng Anh
  - Thư viện Học liệu
  - Bài tập Cuối tuần
  - Bài tập Hàng ngày
  - Thư viện Đề thi
  - Giáo án - Bài giảng
  - Tất cả danh mục
- Mầm non
- Lớp 1
- Lớp 2
- Lớp 3
- Lớp 4
- Lớp 5
- Lớp 6
- Lớp 7
- Lớp 8
- Lớp 9
- Lớp 10
- Lớp 11
- Lớp 12
- Thi Chuyển Cấp

Gói Thành viên của bạn sắp hết hạn. Vui lòng gia hạn ngay để việc sử dụng không bị gián đoạn Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Chọn lớp Lớp 1 Lớp 2 Lớp 3 Lớp 4 Lớp 5 Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Lưu và trải nghiệm Đóng Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169 VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Chuyên đề Toán 9 Bất đẳng thức Bunhiacopxki Chuyên đề Toán lớp 9 luyện thi vào lớp 10 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 9 Môn: Toán Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề luyện thi vào 10: Bất đẳng thức Bunhiacopxki

I. Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Bunhiacopxki
- 1) Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki
- 2) Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki
- 3) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản
- 4) Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki
II. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9
III. Bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một dạng toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Để giúp các em học sinh nắm vững kiến thức phần này, VnDoc gửi tới các bạn tài liệu Bất đẳng thức Bunhiacopxki. Tài liệu được VnDoc biên soạn bao gồm một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Bunhiacopxki và một số bài tập vận dụng cho các em tham khảo luyện tập. Mời các bạn tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé.

I. Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Bunhiacopxki

1) Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học. Thường được gọi theo tên nhà Toán học người Nga Bunhiacopxki.

• Bất đẳng thức này rất quen thuộc và thường được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị.

2) Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$ $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số:

Với hai bộ số (a1, a2, ..., an) và (b1, b2, ..., bn) ta có:

$\left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}$ $\left( {a_1^2 + a_1^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$ $\frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \frac{{{a_n}}}{{{b_n}}}$

• Với quy ước nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0

3) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

Ta có: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$ $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ac} \right)^2} + {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {bd} \right)^2} \ge {\left( {ac} \right)^2} + 2abcd + {\left( {bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} \ge 2abcd\\ \Leftrightarrow {\left( {ad} \right)^2} - 2abcd + {\left( {bc} \right)^2} \ge 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ac} \right)^2} + {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} + {\left( {bd} \right)^2} \ge {\left( {ac} \right)^2} + 2abcd + {\left( {bd} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {ad} \right)^2} + {\left( {bc} \right)^2} \ge 2abcd\\ \Leftrightarrow {\left( {ad} \right)^2} - 2abcd + {\left( {bc} \right)^2} \ge 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\left( {ad - bc} \right)^2} \ge 0$ $\Leftrightarrow {\left( {ad - bc} \right)^2} \ge 0$ (luôn đúng)

4) Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge 4abcd$ $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge 4abcd$

II. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9

Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

$\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt 6$ $\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt 6$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$1.\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.\sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.\sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}}$ $1.\sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + 1.\sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + 1.\sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}}$

$\le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \right)}$ $\le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{{a + b}}{{a + b + c}} + \frac{{b + c}}{{a + b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \right)}$

$\Leftrightarrow \sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt {3.2} = \sqrt 6$ $\Leftrightarrow \sqrt {\frac{{a + b}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{b + c}}{{a + b + c}}} + \sqrt {\frac{{c + a}}{{a + b + c}}} \le \sqrt {3.2} = \sqrt 6$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}$ $A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}$

Lời giải chi tiết:

$A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}$ $A = \sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x}$

Điều kiện: $2 \le x \le 4$ $2 \le x \le 4$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

${\left[ {1.\sqrt {x - 2} + 1.\sqrt {4 - x} } \right]^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {x - 2 + 4 - x} \right) = {2^2} = 4$ ${\left[ {1.\sqrt {x - 2} + 1.\sqrt {4 - x} } \right]^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {x - 2 + 4 - x} \right) = {2^2} = 4$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {A^2} \le 4\\ \Leftrightarrow - 2 \le A \le 2 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow {A^2} \le 4\\ \Leftrightarrow - 2 \le A \le 2 \end{array}$

A max = 2 khi $\frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} \Leftrightarrow x - 2 = 4 - x \Leftrightarrow x = 3$ $\frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {4 - x} }} \Leftrightarrow x - 2 = 4 - x \Leftrightarrow x = 3$(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi và chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì $\sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3p}$ $\sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3p}$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

$1.\sqrt {p - a} + 1.\sqrt {p - b} + 1.\sqrt {p - c} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {p - a + p - b + p - c} \right)}$ $1.\sqrt {p - a} + 1.\sqrt {p - b} + 1.\sqrt {p - c} \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right)\left( {p - a + p - b + p - c} \right)}$

$\Leftrightarrow \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3\left( {3p - 2p} \right)} = \sqrt {3p}$ $\Leftrightarrow \sqrt {p - a} + \sqrt {p - b} + \sqrt {p - c} \le \sqrt {3\left( {3p - 2p} \right)} = \sqrt {3p}$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{1}{{p - a}} = \frac{1}{{p - b}} = \frac{1}{{p - c}} \Leftrightarrow a = b = c$ $\frac{1}{{p - a}} = \frac{1}{{p - b}} = \frac{1}{{p - c}} \Leftrightarrow a = b = c$ hay tam giác là tam giác đều.

Bài 4: Cho các số thực dương a, b, c sao cho a + b + c = 3. Chứng minh:

$\dfrac{a}{{a + 2bc}} + \dfrac{b}{{b + 2ac}} + \dfrac{c}{{c + 2ab}} \ge 1$ $\dfrac{a}{{a + 2bc}} + \dfrac{b}{{b + 2ac}} + \dfrac{c}{{c + 2ab}} \ge 1$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \dfrac{a}{{a + 2bc}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}}\\ \dfrac{a}{{a + 2bc}} + \dfrac{b}{{b + 2ac}} + \dfrac{c}{{c + 2ab}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2abc}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2abc}} \end{array}$ $\begin{array}{l} \dfrac{a}{{a + 2bc}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}}\\ \dfrac{a}{{a + 2bc}} + \dfrac{b}{{b + 2ac}} + \dfrac{c}{{c + 2ab}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2abc}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2abc}} \end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2abc}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2abc}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6abc}}$ $\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2abc}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2abc}} + \dfrac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2abc}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6abc}}$

Ta cần chứng minh:

$\,ab + bc + ca \ge 3abc \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 9abc$ $\,ab + bc + ca \ge 3abc \Leftrightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 9abc$.

Theo bất đẳng thức Cô si ta có:

$\,a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}},\ \ ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}$ $\,a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}},\ \ ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}$

Nhân 2 vế các bất đẳng thức dương cùng chiều ta có điều phải chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Bài 5: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: $x^{2} + y^{2} = x\sqrt{1 - y^{2}} + y\sqrt{1 - x^{2}}$ $x^{2} + y^{2} = x\sqrt{1 - y^{2}} + y\sqrt{1 - x^{2}}$

Chứng minh rằng: $3x + 4y \leq \ 5$ $3x + 4y \leq \ 5$

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :

$\left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} = \left( x\sqrt{1 - y^{2}} + y\sqrt{1 - x^{2}} \right)^{2};\left( |x| \leq 1;|y| \leq 1 \right)$ $\left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} = \left( x\sqrt{1 - y^{2}} + y\sqrt{1 - x^{2}} \right)^{2};\left( |x| \leq 1;|y| \leq 1 \right)$

$\leq \left( x^{2} + y^{2} \right)\left( 1 - y^{2} + 1 - x^{2} \right) \Rightarrow x^{2} + y^{2} \leq 1$ $\leq \left( x^{2} + y^{2} \right)\left( 1 - y^{2} + 1 - x^{2} \right) \Rightarrow x^{2} + y^{2} \leq 1$

Ta lại có: (3x + 4y)2 $\leq$ $\leq$ (32 + 42)(x2 + y2) $\leq$ $\leq$ 25 => 3x + 4y $\leq$ $\leq$ 5

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x \geq 0;y \geq 0 \\ \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3}{5} \\ y = \dfrac{4}{5} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1 \\ x \geq 0;y \geq 0 \\ \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{3}{5} \\ y = \dfrac{4}{5} \\ \end{matrix} \right.$.

Điều kiện : $\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$ $\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{5}{2}$

Bài 6: Cho a, b, c $\geq$ $\geq$ 0; a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} \leq \sqrt{6}$ $\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} \leq \sqrt{6}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có:

$\sqrt{a + b}.1 + \sqrt{b + c}.1 + \sqrt{c + a}.1 \leq (1 + 1 + 1)\left( {\sqrt{a + b}}^{2} + {\sqrt{b + c}}^{2} + {\sqrt{c + a}}^{2} \right)$ $\sqrt{a + b}.1 + \sqrt{b + c}.1 + \sqrt{c + a}.1 \leq (1 + 1 + 1)\left( {\sqrt{a + b}}^{2} + {\sqrt{b + c}}^{2} + {\sqrt{c + a}}^{2} \right)$

$\Rightarrow \left( \sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} \right)^{2} \leq 2(2a + 2b + ac) = 6$ $\Rightarrow \left( \sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} \right)^{2} \leq 2(2a + 2b + ac) = 6$

$\Rightarrow \sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} \leq \sqrt{6}$ $\Rightarrow \sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} \leq \sqrt{6}$

Dấu '' = '' xảy ra khi: $a = b = c = \frac{1}{3}$ $a = b = c = \frac{1}{3}$

Bài 7: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ chứng minh rằng:

$\sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}} \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}}$ $\sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}} \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}}$

Hướng dẫn giải

Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

$ac + bd \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}}$ $ac + bd \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}}$

Mà $(a + c)^{2} + (b + d)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2(ac + bd) + c^{2} + d^{2}$ $(a + c)^{2} + (b + d)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2(ac + bd) + c^{2} + d^{2}$

$\leq a^{2} + b^{2} + 2\sqrt{a^{2} + b^{2}}.\sqrt{c^{2} + d^{2}} + c^{2} + d^{2}$ $\leq a^{2} + b^{2} + 2\sqrt{a^{2} + b^{2}}.\sqrt{c^{2} + d^{2}} + c^{2} + d^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}} \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}}$ $\Rightarrow \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}} \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}}$

Bài 8: Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ac$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ac$

Hướng dẫn giải

Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski. Xét cặp số (1,1,1) và (a, b, c) ta có :

$\left( 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq (1.a + 1.b + 1.c)^{2}$ $\left( 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq (1.a + 1.b + 1.c)^{2}$

$\Rightarrow 3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2(ab + bc + ac)$ $\Rightarrow 3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) \geq a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2(ab + bc + ac)$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ac$ $\Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ac$

Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$

Bài 9: Cho a , b, c là các số thực và $a + b +c = 1$. Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$ $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số $(1,1,1)$ và $(a,b,c)$

Ta có :

$(1.a + 1.b + 1.c)^{2} \leq \left( 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)$ $(1.a + 1.b + 1.c)^{2} \leq \left( 1^{2} + 1^{2} + 1^{2} \right)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)$

$\Leftrightarrow (a + b + c)^{2} \leq 3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)$ $\Leftrightarrow (a + b + c)^{2} \leq 3\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)$

$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$(Vì a + b + c =1) (đpcm)

Bài 10: Cho xy + xz + yz = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = x^{4} + y^{4} + z^{4}$ $B = x^{4} + y^{4} + z^{4}$

Hướng dẫn giải

Do xy + xz + yz = 4

⇒ 16 = (xy + xz + yz)2 ≤ (x2+y2+z2) (x2+y2+z2)

(Theo Bunhiacôpxki)

⇔ 16 ≤ (x2+y2+z2)2 ≤ (x4 + y4 + z4) (12+12+12)

⇒ $B = x^{4} + y^{4} + z^{4} \geq \frac{16}{3}$ $B = x^{4} + y^{4} + z^{4} \geq \frac{16}{3}$

$\Rightarrow B_{\min} = \frac{16}{3} \Leftrightarrow x = y = z = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow B_{\min} = \frac{16}{3} \Leftrightarrow x = y = z = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

III. Bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài tập 1. Cho $a,b > 0$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geq \frac{1}{1 + ab}$ $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geq \frac{1}{1 + ab}$.

Bài tập 2. Cho a, b, c là các số dương và thỏa mãn : $a + b + c = 3$.

Chứng minh rằng : $\frac{1}{a^{2} + b + c} + \frac{1}{b^{2} + c + a} + \frac{1}{c^{2} + a + b} \leq 1$ $\frac{1}{a^{2} + b + c} + \frac{1}{b^{2} + c + a} + \frac{1}{c^{2} + a + b} \leq 1$.

Bài tập 3. Cho $a,b,c > 0$ và thỏa mãn $a + b + c = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P = \frac{a}{9a^{3} + 3b^{2} + c} + \frac{b}{9b^{3} + 3c^{2} + a} + \frac{c}{9c^{3} + 3a^{2} + b}$ $P = \frac{a}{9a^{3} + 3b^{2} + c} + \frac{b}{9b^{3} + 3c^{2} + a} + \frac{c}{9c^{3} + 3a^{2} + b}$.

Bài tập 4. Cho $a,b,c > 0$ và thỏa mãn $abc \geq 1$ $abc \geq 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} + \frac{1}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} \leq \frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ $\frac{1}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} + \frac{1}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} \leq \frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.

Bài tập 5. Cho $a,b,c > 0$ và thỏa mãn $abc \geq 1$ $abc \geq 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{5} - a^{2}}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} + \frac{b^{5} - b^{2}}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} + \frac{c^{5} - c^{2}}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} \geq 0$ $\frac{a^{5} - a^{2}}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} + \frac{b^{5} - b^{2}}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} + \frac{c^{5} - c^{2}}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} \geq 0$.

Bài tập 6. Cho $a,b,c$ là các số dương và thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{3} + b^{3} + 1} + \frac{1}{b^{3} + c^{3} + 1} + \frac{1}{c^{3} + a^{3} + 1} \leq 1$ $\frac{1}{a^{3} + b^{3} + 1} + \frac{1}{b^{3} + c^{3} + 1} + \frac{1}{c^{3} + a^{3} + 1} \leq 1$ .

Bài tập 7. Cho $a,b,c$ là các số dương và thỏa mãn $a + b + c = 2016$. Tìm GTLN của biểu thức:

$P = \frac{a}{a + \sqrt{2016a + bc}} + \frac{b}{b + \sqrt{2016b + ca}} + \frac{c}{c + \sqrt{2016c + ab}}$ $P = \frac{a}{a + \sqrt{2016a + bc}} + \frac{b}{b + \sqrt{2016b + ca}} + \frac{c}{c + \sqrt{2016c + ab}}$

IV. Đáp án bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài tập 1.

Ta có : $(1 + ab)\left( 1 + \frac{a}{b} \right) \geq (1 + a)^{2} > 0 \Rightarrow \frac{1}{(1 + a)^{2}} \geq \frac{b}{(1 + ab)(a + b)}$ $(1 + ab)\left( 1 + \frac{a}{b} \right) \geq (1 + a)^{2} > 0 \Rightarrow \frac{1}{(1 + a)^{2}} \geq \frac{b}{(1 + ab)(a + b)}$.

Tương tự ta có được :

$(1 + ab)\left( 1 + \frac{b}{a} \right) \geq (1 + b)^{2} \Rightarrow \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geq \frac{a}{(1 + ab)(a + b)}$ $(1 + ab)\left( 1 + \frac{b}{a} \right) \geq (1 + b)^{2} \Rightarrow \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geq \frac{a}{(1 + ab)(a + b)}$.

Cộng vế với vế ta được : $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geq \frac{1}{1 + ab}$ $\frac{1}{(1 + a)^{2}} + \frac{1}{(1 + b)^{2}} \geq \frac{1}{1 + ab}$.

Đẳng thức xảy ra khi : $a = b = 1$.

Bài tập 2.

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại : $a = b = c = 1$.

Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky có :

$\left\lbrack a^{2} + \left( \sqrt{b} \right)^{2} + \left( \sqrt{c} \right)^{2} \right\rbrack\left\lbrack 1^{2} + \left( \sqrt{b} \right)^{2} + \left( \sqrt{c} \right)^{2} \right\rbrack \geq (a + b + c)^{2}.$ $\left\lbrack a^{2} + \left( \sqrt{b} \right)^{2} + \left( \sqrt{c} \right)^{2} \right\rbrack\left\lbrack 1^{2} + \left( \sqrt{b} \right)^{2} + \left( \sqrt{c} \right)^{2} \right\rbrack \geq (a + b + c)^{2}.$

$\Leftrightarrow a^{2} + b + c \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{1 + b + c} \Rightarrow \frac{1}{a^{2} + b + c} \leq \frac{1 + b + c}{(a + b + c)^{2}}.$ $\Leftrightarrow a^{2} + b + c \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{1 + b + c} \Rightarrow \frac{1}{a^{2} + b + c} \leq \frac{1 + b + c}{(a + b + c)^{2}}.$

Tương tự ta có : $\begin{matrix} \frac{1}{b^{2} + c + a} \leq \frac{1 + c + a}{(a + b + c)^{2}},\frac{1}{c^{2} + a + b} \leq \frac{1 + a + b}{(a + b + c)^{2}}. \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \frac{1}{b^{2} + c + a} \leq \frac{1 + c + a}{(a + b + c)^{2}},\frac{1}{c^{2} + a + b} \leq \frac{1 + a + b}{(a + b + c)^{2}}. \\ \end{matrix}$

Vậy : $\frac{1}{a^{2} + b + c} + \frac{1}{b^{2} + c + a} + \frac{1}{c^{2} + a + b} \leq \frac{2(a + b + c) + 3}{(a + b + c)^{2}} = 1.$ $\frac{1}{a^{2} + b + c} + \frac{1}{b^{2} + c + a} + \frac{1}{c^{2} + a + b} \leq \frac{2(a + b + c) + 3}{(a + b + c)^{2}} = 1.$

Đẳng thức xảy ra khi : $a = b = c = 1$.

Bài tập 3

Ta dễ dàng thấy điểm rơi đạt tại : $a = b = c = \frac{1}{3}$ $a = b = c = \frac{1}{3}$.

Ta có :

$\left( 9a^{3} + 3b^{2} + c \right)\left( \frac{1}{9a} + \frac{1}{3} + c \right) \geq \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) = 1 \Leftrightarrow 9a^{3} + 3b^{2} + c \geq \frac{1}{\frac{1}{9a} + \frac{1}{3} + c}.$ $\left( 9a^{3} + 3b^{2} + c \right)\left( \frac{1}{9a} + \frac{1}{3} + c \right) \geq \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right) = 1 \Leftrightarrow 9a^{3} + 3b^{2} + c \geq \frac{1}{\frac{1}{9a} + \frac{1}{3} + c}.$

Từ đó : $\frac{a}{9a^{3} + 3b^{2} + c} \leq a\left( \frac{1}{9a} + \frac{1}{3} + c \right) = \frac{a}{3} + ac + \frac{1}{9}$ $\frac{a}{9a^{3} + 3b^{2} + c} \leq a\left( \frac{1}{9a} + \frac{1}{3} + c \right) = \frac{a}{3} + ac + \frac{1}{9}$.

Tương tự : $\frac{b}{9b^{3} + 3c^{2} + a} \leq \frac{b}{3} + ba + \frac{1}{9},\frac{c}{9c^{3} + 3a^{2} + b} \leq \frac{c}{3} + cb + \frac{1}{9}$ $\frac{b}{9b^{3} + 3c^{2} + a} \leq \frac{b}{3} + ba + \frac{1}{9},\frac{c}{9c^{3} + 3a^{2} + b} \leq \frac{c}{3} + cb + \frac{1}{9}$.

Khi đó : $P \leq \left( \frac{a + b + c}{3} \right) + (ac + bc + ca) + \frac{1}{3} \leq \frac{2}{3} + \frac{1}{3}(a + b + c)^{2} = 1$ $P \leq \left( \frac{a + b + c}{3} \right) + (ac + bc + ca) + \frac{1}{3} \leq \frac{2}{3} + \frac{1}{3}(a + b + c)^{2} = 1$.

Vậy $MaxP\ = \ 1 \Leftrightarrow a\ = \ b\ = \ c\ = \ \frac{1}{3}$ $MaxP\ = \ 1 \Leftrightarrow a\ = \ b\ = \ c\ = \ \frac{1}{3}$.

Bài tập 4.

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại : $a = b = c = 1$.

Ta có :

$\left( a^{5} + b^{2} + c^{2} \right)\left( \frac{1}{a} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2} \Leftrightarrow a^{5} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}{\frac{1}{a} + b^{2} + c^{2}}$ $\left( a^{5} + b^{2} + c^{2} \right)\left( \frac{1}{a} + b^{2} + c^{2} \right) \geq \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2} \Leftrightarrow a^{5} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}{\frac{1}{a} + b^{2} + c^{2}}$.

Từ đó : $\frac{1}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} \leq \frac{\frac{1}{a} + b^{2} + c^{2}}{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}$ $\frac{1}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} \leq \frac{\frac{1}{a} + b^{2} + c^{2}}{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}$.

Tương tự : $\frac{1}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} \leq \frac{\frac{1}{b} + c^{2} + a^{2}}{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}},\frac{1}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} \leq \frac{\frac{1}{c} + a^{2} + b^{2}}{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}$ $\frac{1}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} \leq \frac{\frac{1}{b} + c^{2} + a^{2}}{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}},\frac{1}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} \leq \frac{\frac{1}{c} + a^{2} + b^{2}}{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}$

Khi đó : $\frac{1}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} + \frac{1}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} \leq \frac{\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) + 2\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)}{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}$ $\frac{1}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} + \frac{1}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} \leq \frac{\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) + 2\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)}{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}$.

Mặt khác : $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{ab + bc + ca}{abc} \leq ab + bc + ca\left( do^{}abc \geq 1 \right) \\ ab + bc + ca \leq a^{2} + b^{2} + c^{2} \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{ab + bc + ca}{abc} \leq ab + bc + ca\left( do^{}abc \geq 1 \right) \\ ab + bc + ca \leq a^{2} + b^{2} + c^{2} \end{matrix} \right.$

Vậy : $\frac{1}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} + \frac{1}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} \leq \frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ $\frac{1}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} + \frac{1}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} \leq \frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

-----------------------------------------------

Các dạng bài tập Toán 9 ôn thi vào lớp 10 là tài liệu tổng hợp 5 chuyên đề lớn trong chương trình Toán lớp 9, bao gồm:

Rút gọn biểu thức - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 1: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức
Hàm số đồ thị - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị
Phương trình, hệ phương trình - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 2: Giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Xem thêm Kỹ năng giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Hình học - Xem thêm Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 10: Chứng minh các hệ thức hình học

Tải về Chọn file muốn tải về:

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

399,6 KB

Tải tài liệu định dạng .doc
131 KB

Chia sẻ bởi: Lê Hằng Anh

37 204.093 Bài viết đã được lưu Bài trước Mục lục Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng! Xác thực ngay Số điện thoại này đã được xác thực! Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây! Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin 1 Bình luận Sắp xếp theo Mặc định Mới nhất Cũ nhất

Xóa Đăng nhập để Gửi

Lê Kiệt
bất đẳng thức này thật kỳ diệu nó giúp mình trong rất nhiều bai toán và đạt điểm cao trong các cuộc thi
Thích Phản hồi 7 15/04/23

Tìm bài trong mục này

Chuyên đề Toán 9 Kết nối tri thức
- Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba lớp 9
  - Căn thức bậc hai của một bình phương Toán 9
  - Tìm căn bậc hai Toán 9: Lý thuyết, ví dụ và bài tập có đáp án
  - Tìm điều kiện xác định của căn thức bậc hai Toán 9
  - Tổng hợp bài tập khai căn bậc hai với phép chia có đáp án
  - So sánh căn bậc hai Toán 9 – Hướng dẫn và đáp án chi tiết
  - Khai căn bậc hai với phép nhân không chứa biến Toán 9
  - Khai căn bậc hai với phép nhân chứa biến Toán 9 Có đáp án
  - Hướng dẫn khai căn bậc hai với phép chia không chứa biến Toán 9
  - Khai căn bậc hai với phép chia chứa biến Toán 9 – Hướng dẫn và đáp án chi tiết
  - Cách trục căn thức ở mẫu Toán 9 Có đáp án
  - Rút gọn biểu thức căn bậc hai - có đáp án chi tiết
  - 50 Bài toán rút gọn biểu thức căn bậc hai dạng tổng hợp có đáp án
  - Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức
  - Tìm x để biểu thức A > m, A < m hoặc A = m
  - Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên
  - Tìm x hoặc x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên có đáp án
  - Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn
  - Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá
  - Giải phương trình chứa căn
  - Các dạng toán căn bậc ba
  - Bài tập Căn thức bậc ba lớp 9 hướng dẫn giải chi tiết
- Chuyên đề Phương trình
  - Bài tập Toán 9 Phương trình tích có đáp án
  - Giải biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu
  - Bài tập Toán 9 Phương trình chứa ẩn ở mẫu có đáp án
  - Chuyên đề Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
  - Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số
  - Cách giải phương trình bậc 4 chi tiết
- Chuyên đề Hệ phương trình
  - Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
  - Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
  - Cách giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
  - Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1
  - Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
  - Cách giải hệ phương trình đẳng cấp
  - Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
  - Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
  - Bài toán tương giao đồ thị hàm số bậc nhất với bậc nhất
  - Ứng dụng giải hệ phương trình trong bài toán tìm hệ số của hàm số
  - Hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông
  - Tỉ số lượng giác của góc nhọn
  - Không dùng máy tính sắp xếp các tỉ số lượng giác theo yêu cầu
  - Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn
  - Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc của tam giác vuông
  - Chứng minh biểu thức lượng giác Toán 9
  - Hệ thức lượng trong tam giác vuông
  - Tính giá trị biểu thức lượng giác
  - Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác của góc nhọn
  - Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông khi biết một số yếu tố
  - Bài tập áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
  - Bài toán thực tế tam giác vuông – Hệ thức cạnh và góc có lời giải chi tiết
- Chuyên đề Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax2 (a khác 0)
  - Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
  - Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
- Chuyên đề Đường tròn
  - Tính độ dài cung tròn và độ dài đường tròn
  - Tính số đo cung và số đo góc trong đường tròn
  - Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
  - Xác định vị trí tương đối của đường thå̉ng và đường tròn
  - Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
  - Vị trí tương đối của hai đường tròn
  - Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn
  - Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn
  - Tìm vị trí điểm M trên đường tròn để biểu thức nhỏ nhất
  - Chứng minh một đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động
  - Bài toán về điểm cố định trong đường tròn
  - Góc nội tiếp
  - Xác định tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp tứ giác
  - Chứng minh các tứ giác đặc biệt trong đường tròn
  - Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn
  - Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn
- Chuyên đề Thống kê
  - Tìm tần số và tần số tương đối của mẫu số liệu
- Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét
  - Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
  - Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
  - Các dạng Toán Vi-ét
  - Giải và biện luận phương trình bậc 2
  - Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai
  - Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình
  - Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Toán lớp 9
  - Làm thế nào để lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích hai nghiệm
  - Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2
  - Chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
  - Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức không đối xứng giữa hai nghiệm
  - Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng giữa hai nghiệm
  - So sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước Toán 9
  - Phương trình bậc hai chứa tham số Toán 9 (Có đáp án)
  - Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m
  - Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước
  - Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu
  - Tìm m để phương trình sau có nghiệm
  - Tìm m để phương trình vô nghiệm
  - Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương?
- Chuyên đề Giải toán bằng cách lập Phương trình, Hệ phương trình
  - 83 bài Toán giải bằng cách lập hệ phương trình
  - Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất
  - Giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình, chủ đề Sinh học
  - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hệ phương trình chủ đề Hóa học
  - Giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình, chủ đề Vật lí
  - Giải bài toán lập phương trình, hệ phương trình tính số tuổi
  - Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng chuyển động
  - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng di chuyển trên sông
  - Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học
  - Ứng dụng giải hệ phương trình trong cân bằng phương trình hóa học
- Chuyên đề Bất phương trình, Bất đẳng thức
  - Hướng dẫn giải bài tập toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Có đáp án
  - Bài tập toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
  - Tổng hợp Bài tập Toán 9 So sánh hai số
  - Cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt
  - Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình
  - Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình
  - Cách chứng minh bất đẳng thức bằng PP biến đổi tương đương
  - Bất đẳng thức Cô si
  - Bất đẳng thức Bunhiacopxki
  - Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN
  - Dùng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm chứng minh bất đẳng thức
  - Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hình học
  - Bất đẳng thức tam giác
  - Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)
  - Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
  - 19 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức
  - 150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án
- Chuyên đề: Các bài toán thực tế
  - Cách tính tiền điện sinh hoạt
  - Cách tính tiền nước sinh hoạt
  - Cách tính Can Chi
  - Bài toán thực tế tính lãi suất
  - Hướng dẫn giải các bài toán thực tế về Tỉ lệ Toán 9: Ví dụ và phương pháp
  - Bài toán thực tế tính tiền cước điện thoại
  - Tìm điều kiện độ dài cạnh để hình khối đạt diện tích và thể tích lớn nhất
- Chuyên đề Một số hình khối trong thực tiễn
  - Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ
  - Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón
  - Diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu
  - Chuyên đề Toán 9 Phép quay
  - Các dạng bài toán Hình Trụ
Chuyên đề Toán 9 Chân trời sáng tạo
- Chuyên đề đường tròn Toán 9
- Chuyên đề căn thức
- Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Chuyên đề bất đẳng thức, bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Chuyên đề phương trình và hệ phương trình
Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10
- 13 chuyên đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán
- Ôn Thi Vào 10: Bộ Bài Tập Chứa Căn Có Đáp Án
- Chuyên đề Toán 9 Biến đổi biểu thức chứa căn thức (Nâng cao)
- Bài tập Toán nâng cao lớp 9 ôn thi vào 10 có đáp án chi tiết
- Bài tập Toán cổ lớp 9 có đáp án chi tiết – Tài liệu ôn thi vào 10
- Tổng hợp các bài toán thực tế kết hợp bất đẳng thức trong các đề thi môn Toán THCS
- Tổng hợp các bài toán thực tế Lãi suất lớp 9: Cách giải nhanh và chính xác
- Tổng hợp các bài toán thực tế về tỉ số phần trăm Toán 9
- Các bài toán thực tế lập hàm số lớp 9
- Cách xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong Toán 9 có đáp án
- Phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài Toán Xác Suất Thống Kê Ôn Thi Vào 10 Có Đáp Án – Tổng Hợp Các Dạng Hay Gặp
- Tổng hợp bài tập hình học ôn thi vào 10 có đáp án – Bộ đề trọng tâm giải chi tiết

Lớp 9
Toán 9
Chuyên đề Toán 9
Thi vào lớp 10
Đề thi vào 10 môn Toán
Đề thi vào 10 môn Văn
Đề thi vào 10 môn tiếng Anh
Đề thi vào 10 môn Lịch sử
Đề thi vào 10 môn Sinh học
Đề thi vào 10 môn Hóa học
Đề thi vào 10 môn Vật lý
Đề thi vào 10 môn Địa
Đề thi vào 10 môn GDCD
Xem Điểm thi vào 10
Thông tin Tuyển sinh lớp 10

Tham khảo thêm

Trình bày suy nghĩ của em về trách nhiệm của thế hệ trẻ hôm nay đối với đất nước
30 đề thi học kì 2 tiếng Anh lớp 9 có đáp án năm 2024
Viết về Sở thích bằng tiếng Anh lớp 6
Bộ 20 đề ôn tập môn Toán tuyển sinh 10 năm 2026-2027, có đáp án
Bộ 15 đề ôn thi môn Toán tuyển sinh 10 năm 2026-2027, có đáp án
Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
Viết đoạn văn nghị luận về hiện tượng học tủ, học vẹt
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước
Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu
Suy nghĩ về câu tục ngữ Một cây làm chẳng nên non, ba cây chụm lại nên hòn núi cao

Đề thi vào 10 môn Toán

Đề thi - Đáp án thi tuyển sinh lớp 10 THPT TP Hà Nội năm 2014 - 2015
Các dạng bài toán về Xác suất ôn thi vào 10, có đáp án
Các dạng bài toán về Thống kê ôn thi vào 10, có đáp án
Bộ 15 đề ôn thi môn Toán tuyển sinh 10 năm 2026-2027, có đáp án
Các dạng bài toán về Rút gọn biểu thức ôn thi vào 10, có đáp án
Bộ 20 đề ôn tập môn Toán tuyển sinh 10 năm 2026-2027, có đáp án

Xem thêm

Gợi ý cho bạn

Tổng hợp đề thi vào lớp 10 được tải nhiều nhất
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán
Bài tập cuối tuần môn Toán lớp 6 Cánh diều - Tuần 1
Các bài toán Hình học ôn thi vào lớp 10
TOP 13 Viết thư cho ông bà để hỏi thăm và kể về tình hình gia đình em lớp 4
Bộ đề thi vào lớp 10 môn Toán
Bài tập tiếng Anh lớp 10 Unit 1 Family life nâng cao
Được 18-20 điểm khối A1 nên đăng ký trường nào?
Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
Các dạng Toán cơ bản lớp 9 ôn thi vào lớp 10

Xem thêm

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Chỉ mua tài liệu trên 25.000đ Ưu đãi kèm thêm

Mua gói VnDoc Pro chỉ với giá

79.000đ 59.000đ

30 lượt tải tài liệu thường
10.000+ bài luyện Trắc nghiệm trực tuyến
Không quảng cáo

Mua tài liệu này và Gói Thành viên 84.000đ ×

Thông tin thanh toán nhanh

Tên tài liệu:

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

25.000đ

Số điện thoại/email

Vui lòng nhập số điện thoại hoặc email hợp lệ.

Tải nhanh tài liệu này 25.000đ Hỗ trợ Zalo × ← Thanh toán 25.000đ để tải tài liệu

Tên tài khoản:CÔNG TY CỔ PHẦN MẠNG TRỰC TUYẾN META
Số tài khoản:1038633514Copy
Ngân hàng:Vietcombank
Số tiền:25.000đ
Nội dung bắt buộc*: Copy

Ngân hàng Ngoại thương Việt Nam Chi nhánh Vietcombank Thành Công

Vui lòng giữ đúng nội dung KH khi chuyển khoản và giữ nguyên cửa sổ này để tải tài liệu tự động.

Hỗ trợ Zalo

Từ khóa » Bunhiacopxki 2 Số

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Chuyên đề luyện thi vào 10: Bất đẳng thức Bunhiacopxki

I. Một số kiến thức cần nhớ về bất đẳng thức Bunhiacopxki

1) Giới thiệu về bất đẳng thức Bunhiacopxki

2) Công thức của bất đẳng thức Bunhiacopxki

3) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản

4) Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

II. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9

III. Bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki

IV. Đáp án bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Tải tài liệu định dạng .doc

Có thể bạn quan tâm

Chuyên đề Toán 9 Kết nối tri thức

Chuyên đề Toán 9 Chân trời sáng tạo

Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10

Lớp 9

Toán 9

Chuyên đề Toán 9

Thi vào lớp 10

Đề thi vào 10 môn Toán

Đề thi vào 10 môn Văn

Đề thi vào 10 môn tiếng Anh

Đề thi vào 10 môn Lịch sử

Đề thi vào 10 môn Sinh học

Đề thi vào 10 môn Hóa học

Đề thi vào 10 môn Vật lý

Đề thi vào 10 môn Địa

Đề thi vào 10 môn GDCD

Xem Điểm thi vào 10

Thông tin Tuyển sinh lớp 10

Tham khảo thêm

Trình bày suy nghĩ của em về trách nhiệm của thế hệ trẻ hôm nay đối với đất nước

30 đề thi học kì 2 tiếng Anh lớp 9 có đáp án năm 2024

Viết về Sở thích bằng tiếng Anh lớp 6

Bộ 20 đề ôn tập môn Toán tuyển sinh 10 năm 2026-2027, có đáp án

Bộ 15 đề ôn thi môn Toán tuyển sinh 10 năm 2026-2027, có đáp án

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

Viết đoạn văn nghị luận về hiện tượng học tủ, học vẹt

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu

Suy nghĩ về câu tục ngữ Một cây làm chẳng nên non, ba cây chụm lại nên hòn núi cao

Đề thi vào 10 môn Toán

Đề thi - Đáp án thi tuyển sinh lớp 10 THPT TP Hà Nội năm 2014 - 2015

Các dạng bài toán về Xác suất ôn thi vào 10, có đáp án

Các dạng bài toán về Thống kê ôn thi vào 10, có đáp án

Bộ 15 đề ôn thi môn Toán tuyển sinh 10 năm 2026-2027, có đáp án

Các dạng bài toán về Rút gọn biểu thức ôn thi vào 10, có đáp án

Bộ 20 đề ôn tập môn Toán tuyển sinh 10 năm 2026-2027, có đáp án

Gợi ý cho bạn

Tổng hợp đề thi vào lớp 10 được tải nhiều nhất

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Bài tập cuối tuần môn Toán lớp 6 Cánh diều - Tuần 1

Các bài toán Hình học ôn thi vào lớp 10