Bất đẳng Thức Cosi

Có thể bạn quan tâm

- Lớp 1
- Lớp 2
- Lớp 3
- Lớp 4
- Lớp 5
- Lớp 6
- Lớp 7
- Lớp 8
- Lớp 9
- Lớp 10
- Lớp 11
- Lớp 12
- Thi chuyển cấp
- - Mầm non
    - Tranh tô màu
    - Trường mầm non
    - Tiền tiểu học
    - Danh mục Trường Tiểu học
    - Dạy con học ở nhà
    - Giáo án Mầm non
    - Sáng kiến kinh nghiệm
  - Học tập
    - Giáo án - Bài giảng
    - Luyện thi
    - Văn bản - Biểu mẫu
    - Viết thư UPU
    - An toàn giao thông
    - Dành cho Giáo Viên
    - Hỏi đáp học tập
    - Cao học - Sau Cao học
    - Trung cấp - Học nghề
    - Cao đẳng - Đại học
  - Hỏi bài
    - Toán học
    - Văn học
    - Tiếng Anh
    - Vật Lý
    - Hóa học
    - Sinh học
    - Lịch Sử
    - Địa Lý
    - GDCD
    - Tin học
  - Trắc nghiệm
    - Trắc nghiệm IQ
    - Trắc nghiệm EQ
    - KPOP Quiz
    - Đố vui
    - Trạng Nguyên Toàn Tài
    - Trạng Nguyên Tiếng Việt
    - Thi Violympic
    - Thi IOE Tiếng Anh
    - Kiểm tra trình độ tiếng Anh
    - Kiểm tra Ngữ pháp tiếng Anh
  - Tiếng Anh
    - Luyện kỹ năng
    - Giáo án điện tử
    - Ngữ pháp tiếng Anh
    - Màu sắc trong tiếng Anh
    - Tiếng Anh khung châu Âu
    - Tiếng Anh phổ thông
    - Tiếng Anh thương mại
    - Luyện thi IELTS
    - Luyện thi TOEFL
    - Luyện thi TOEIC
  - Khóa học trực tuyến
    - Tiếng Anh cơ bản 1
    - Tiếng Anh cơ bản 2
    - Tiếng Anh trung cấp
    - Tiếng Anh cao cấp
    - Toán mầm non
    - Toán song ngữ lớp 1
    - Toán Nâng cao lớp 1
    - Toán Nâng cao lớp 2
    - Toán Nâng cao lớp 3
    - Toán Nâng cao lớp 4

Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Chọn lớpLớp 1Lớp 2Lớp 3Lớp 4Lớp 5Lớp 6Lớp 7Lớp 8Lớp 9Lớp 10Lớp 11Lớp 12 Lưu và trải nghiệm VnDoc.com Lớp 10 Toán lớp 10 Bất đẳng thức CosiBất đẳng thức lớp 10Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi. Mua ngay Từ 79.000đ Tìm hiểu thêm

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phíTrang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188Đề số: 020 BẤT ĐẲNG THỨC COSIBài 1: Chứng minh rằng 2222222228))()((cbaaccbba+++cba,,----------------------------------------------------------------------Bài 2: Chứng minh rằng 28)(64)(baabba++0,ba----------------------------------------------------------------------Bài 3: Chứng minh rằng ababbaba9))(1(++++0,ba----------------------------------------------------------------------Bài 4: Chứng minh rằng 233963abba+0,ba----------------------------------------------------------------------Bài 5: Chứng minh rằng ababba4)1)((++0,ba----------------------------------------------------------------------Bài 6: Chứng minh rằng baba++411----------------------------------------------------------------------Bài 7: Chứng minh rằng cabcabcba++++0,,cba----------------------------------------------------------------------Bài 8: Chứng minh rằng )(222222cbaabcaccbba++++cba,,----------------------------------------------------------------------Bài 9: Chứng minh rằng abccbcaba16))()(1)(1(++++0,,cba----------------------------------------------------------------------Bài 10: Chứng minh rằng +++++++cbaaccbbacba111212220,,cba----------------------------------------------------------------------Bài 11: Chứng minh rằng abcaccbba3444++0,,cba----------------------------------------------------------------------Bài 12: Chứng minh rằng 29121212+++++abcccabbbcaa0,,cba

Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phíTrang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188----------------------------------------------------------------------Bài 13: Chứng minh rằng accbbacba222333++++0,,cbaHướng dẫn: babaa23333++. Tương tự rồi cộng từng vế----------------------------------------------------------------------Bài 14: Chứng minh rằng ()222333333cabcababcaccbba++++0,,cba---------------------------------------------------------------------- Bài 15: Chứng minh rằng abcacbbcaaccbba222333333++++0,,cba----------------------------------------------------------------------Bài 16: Chứng minh rằng 333252525cbaaccbba++++0,,cba----------------------------------------------------------------------Bài 17: Chứng minh rằng cbabacacbcba++++2424240,,cba----------------------------------------------------------------------Bài 18: Chứng minh rằng 222252525cbaabccabbca++++0,,cba----------------------------------------------------------------------Bài 19: Chứng minh rằng 2222444cabcabacccbbbaa+++++++0,,cba----------------------------------------------------------------------Bài 20: Chứng minh rằng accbbabacacbcba222262626++++0,,cba----------------------------------------------------------------------Bài 21: Cho hai số a, b thòa mãn : 1;4ab. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng11Aabab=+++---------------------------------------------------------------------- Bài 22: Chứng minh bất đẳng thức: 221ababab++++

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Bất đẳng thức Cosi để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết tổng hợp nội dung tài liệu chắc chắn sẽ là nguồn thông tin hữu ích để giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập. Mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

Bài tập bất đẳng thức lớp 10 có đáp án
Bài tập trắc nghiệm: Bất đẳng thức
Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
Bài tập công thức lượng giác lớp 10
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Bất đẳng thức Cosi - Toán 10

1. Bất đẳng thức Cosi là gì?
2. Các dạng bất đẳng thức Cosi
3. Hệ quả của bất đẳng thức Cosi
4. Chi tiết Bất đẳng thức Cosi

Bất đẳng thức Cosi là một khái niệm toán học thường được sử dụng trong các bài toán ở bậc trung học cơ sở, trung học phổ thông. hãy cùng tìm hiểu về khái niệm này nhé!

1. Bất đẳng thức Cosi là gì?

- Tên đúng của bất đẳng thức này là bất đẳng thức AM - GM. Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng hay nhất là cách chứng minh quy nạp của Cauchy. Vì vậy, nhiều người nhầm lẫn rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra cách chứng minh rất hay của mình chứ không phải là người phát hiện ra đầu tiên. Theo cách gọi tên chung của quốc tế, bất đẳng thức Bunyakovsky có tên là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, còn bất đẳng thức Cauchy có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means).

Bất đẳng thức Cosi: Cho hai số không âm a và b, ta luôn có

$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab} ,(a,b\geq 0)$ $\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab} ,(a,b\geq 0)$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Mở rộng:

a. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:

$a + b + c \geqslant 3\sqrt[3]{{abc}}$ $a + b + c \geqslant 3\sqrt[3]{{abc}}$

Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b. Với n số ${a_i},i = \overline {1,n}$ ${a_i},i = \overline {1,n}$ không âm, ta luôn có:

$\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} \geqslant n\sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}}$ $\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} \geqslant n\sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${a_1} = {a_2} = ... = {a_n}$ ${a_1} = {a_2} = ... = {a_n}$

c. Với n số ${a_i},i = \overline {1,n}$ ${a_i},i = \overline {1,n}$ dương, ta luôn có

$\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} \geqslant \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}}$ $\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} \geqslant \sqrt[n]{{\prod\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${a_1} = {a_2} = ... = {a_n}$ ${a_1} = {a_2} = ... = {a_n}$

2. Các dạng bất đẳng thức Cosi

- Bất đẳng thức được chia làm 2 loại: Bất đẳng thức dạng cụ thể và Bất đẳng thức dạng tổng quát

a. Bất đẳng thức dạng cụ thể

Đây là dạng bất đẳng thức với trị số n cụ thể như 2 số thực không âm, 3 số thực không âm, 4 số thực không âm,... n ở đây là những con số nhất định.

Ví dụ: Với n = 3, $\forall x,y,z\geq 0$ $\forall x,y,z\geq 0$

Khi đó: $\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$ $\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

b. Bất đẳng thức tổng quát

- Đây là dạng bất đẳng thức với n là số không xác định và phải đáp ứng điều kiện à n không âm. Công thức tổng quát của nó như sau:

Với $x_1,x_2,....,x_n$ không âm, ta có:

Dạng 1: $\frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1.x_2....x_n}$ $\frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1.x_2....x_n}$

Dạng 2: $x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1.x_2....x_n}$ $x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1.x_2....x_n}$

Dạng 3: $\frac{\left(x_1+x_2+...+x_n\right)^n}{n}\ge x_1.x_2....x_n$ $\frac{\left(x_1+x_2+...+x_n\right)^n}{n}\ge x_1.x_2....x_n$

Dấu bằng xảy ra khi $x_1=x_2=...=x_n$

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cosi

Hệ quả 1: Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Bất đẳng thức Cauchy thường được sử dụng trong các dạng bài toán:

Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức

Dạng 3: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Ví dụ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

ab(a + b - 2c) + bc( b + c - 2a) + ac(a + c - 2b) ≥ 0

Hướng dẫn giải

Biến đổi bất phương trình về dạng:

$\begin{matrix} \dfrac{{a + b - 2c}}{c} + \dfrac{{b + c - 2a}}{a} + \dfrac{{c + a - 2b}}{b} \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} - 2 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} - 2 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b} - 2 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b} \geqslant 6 \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \dfrac{{a + b - 2c}}{c} + \dfrac{{b + c - 2a}}{a} + \dfrac{{c + a - 2b}}{b} \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} - 2 + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} - 2 + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b} - 2 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{a}{b} \geqslant 6 \hfill \\ \end{matrix}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy của VT ta được:

$\Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b}6\sqrt[6]{{\frac{a}{c}.\frac{b}{c}.\frac{b}{a}.\frac{c}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{b}}} = 6\left( {dpcm} \right)$ $\Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b}6\sqrt[6]{{\frac{a}{c}.\frac{b}{c}.\frac{b}{a}.\frac{c}{a}.\frac{c}{b}.\frac{a}{b}}} = 6\left( {dpcm} \right)$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{c} = \frac{b}{c} = \frac{b}{a} = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow a = b = c$ $\frac{a}{c} = \frac{b}{c} = \frac{b}{a} = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow a = b = c$

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$y = {x^3} + \frac{3}{{{x^2}}},x \in \left( {0; + \infty } \right)$ $y = {x^3} + \frac{3}{{{x^2}}},x \in \left( {0; + \infty } \right)$

Hướng dẫn giải

Biến đổi hàm số ta có:

$y =\frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}$ $y =\frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{2}{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

$y\geqslant 5\sqrt[5]{{\frac{1}{2}{x^3}.\frac{1}{2}{x^3}.\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{5}{{\sqrt[5]{4}}}$ $y\geqslant 5\sqrt[5]{{\frac{1}{2}{x^3}.\frac{1}{2}{x^3}.\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{x^2}}}.\frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{5}{{\sqrt[5]{4}}}$

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là: ${y_{Min}} = \frac{5}{{\sqrt[5]{4}}}$ ${y_{Min}} = \frac{5}{{\sqrt[5]{4}}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

$\frac{1}{2}{x^3} = \frac{1}{2}{x^3} = \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^5} = 2 \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{2}$ $\frac{1}{2}{x^3} = \frac{1}{2}{x^3} = \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{{{x^2}}} \Leftrightarrow {x^5} = 2 \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{2}$

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x(1 - x)3 với x ∈ [0;1]

Hướng dẫn giải

Biến đổi hàm số: $y = x{\left( {1{\text{ }} - {\text{ }}x} \right)^3} = \frac{1}{3}.3x.{\left( {1 - x} \right)^3} = \frac{1}{3}.3x.\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)$ $y = x{\left( {1{\text{ }} - {\text{ }}x} \right)^3} = \frac{1}{3}.3x.{\left( {1 - x} \right)^3} = \frac{1}{3}.3x.\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số không âm là 3x, 3 và 1 - x ta có:

$\begin{matrix} y = \dfrac{1}{3}.3x.\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right) \hfill \\ \Rightarrow y \leqslant \dfrac{1}{3}{\left[ {\dfrac{{3x + \left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right)}}{4}} \right]^4} = \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^4} = \dfrac{{{3^3}}}{{{4^4}}} \hfill \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} y = \dfrac{1}{3}.3x.\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 - x} \right) \hfill \\ \Rightarrow y \leqslant \dfrac{1}{3}{\left[ {\dfrac{{3x + \left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right) + \left( {1 - x} \right)}}{4}} \right]^4} = \dfrac{1}{3}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^4} = \dfrac{{{3^3}}}{{{4^4}}} \hfill \\ \end{matrix}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = \frac{1}{4}$ $x = \frac{1}{4}$

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 +a2) ≥ 8a2b2c2 ∀a, b, c

Bài 2: Chứng minh rằng ${\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^6} \geqslant 64ab{\left( {a + b} \right)^2};\forall a,b \geqslant 0$ ${\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^6} \geqslant 64ab{\left( {a + b} \right)^2};\forall a,b \geqslant 0$

Bài 3: Chứng minh rằng $\left( {1 + a + b} \right)\left( {a + b + ab} \right) \geqslant 9ab;a,b \geqslant 0$ $\left( {1 + a + b} \right)\left( {a + b + ab} \right) \geqslant 9ab;a,b \geqslant 0$

Bài 4: Chứng minh rằng $3{a^3} + 6{b^3} \geqslant 9a{b^2},\forall a,b \geqslant 0$ $3{a^3} + 6{b^3} \geqslant 9a{b^2},\forall a,b \geqslant 0$

Bài 5: Chứng minh rằng $\left( {a + b} \right)\left( {a + ab} \right) \geqslant 4ab,\forall a,b \geqslant 0$ $\left( {a + b} \right)\left( {a + ab} \right) \geqslant 4ab,\forall a,b \geqslant 0$

----------------------------------------------------------------

Tham khảo thêm

Cách tính độ dài Vecto
Bài tập công thức lượng giác lớp 10
Bộ đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 10 (Có đáp án)
Tập nghiệm của bất phương trình
Toán 10 Bài 1: Mệnh đề
100 câu hỏi trắc nghiệm Đại số ôn thi học kỳ 1 lớp 10 năm 2018, sở GD&ĐT Kiên Giang
Ôn thi giữa học kỳ 2 Đại số lớp 10 năm học 2017 - 2018
Giáo án mới Đại 10 Bài 1 Chương 3 Đại cương về Phương Trình
Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 10
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Chia sẻ, đánh giá bài viết 70 50.912 Bài viết đã được lưu

Chia sẻ bởi: Nguyễn Sumi
Nhóm: Sưu tầm
Ngày: 03/09/2024

Tải về Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi. Mua ngay Từ 79.000đ Tìm hiểu thêmSắp xếp theo Mặc địnhMới nhấtCũ nhất

Xóa Đăng nhập để Gửi

Gợi ý cho bạn

Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
Tập nghiệm của bất phương trình
Bài tập cuối tuần môn Toán lớp 6 - Số học - Tuần 1 - Đề 1
Tìm m để bất phương trình vô nghiệm
Toán 10 Bài 1: Mệnh đề
Được 18-20 điểm khối A1 kỳ thi THPT Quốc gia 2022, nên đăng ký trường nào?
Bài tập tiếng Anh 7 i-Learn Smart World Unit 1
35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
Bài tập công thức lượng giác lớp 10
TOP 12 Viết thư cho ông bà để hỏi thăm và kể về tình hình gia đình em lớp 4

Xem thêm

Lớp 10
Toán lớp 10

Toán lớp 10

Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 10
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
Bài tập công thức lượng giác lớp 10
Cách tính độ dài Vecto
Toán 10 Bài 1: Mệnh đề
Bộ đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 10 (Có đáp án)

Xem thêm

Từ khóa » Bài Tập Bdt Côsi

Mầm non

Học tập

Hỏi bài

Trắc nghiệm

Tiếng Anh

Khóa học trực tuyến

Bất đẳng thức Cosi - Toán 10

1. Bất đẳng thức Cosi là gì?

2. Các dạng bất đẳng thức Cosi

3. Hệ quả của bất đẳng thức Cosi

4. Bài tập ví dụ minh họa

4. Bài tập vận dụng

Tham khảo thêm

Cách tính độ dài Vecto

Bài tập công thức lượng giác lớp 10

Bộ đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 10 (Có đáp án)

Tập nghiệm của bất phương trình

Toán 10 Bài 1: Mệnh đề

100 câu hỏi trắc nghiệm Đại số ôn thi học kỳ 1 lớp 10 năm 2018, sở GD&ĐT Kiên Giang

Ôn thi giữa học kỳ 2 Đại số lớp 10 năm học 2017 - 2018

Giáo án mới Đại 10 Bài 1 Chương 3 Đại cương về Phương Trình

Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 10

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Gợi ý cho bạn

Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12

Tập nghiệm của bất phương trình

Bài tập cuối tuần môn Toán lớp 6 - Số học - Tuần 1 - Đề 1

Tìm m để bất phương trình vô nghiệm

Toán 10 Bài 1: Mệnh đề

Được 18-20 điểm khối A1 kỳ thi THPT Quốc gia 2022, nên đăng ký trường nào?

Bài tập tiếng Anh 7 i-Learn Smart World Unit 1

35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn

Bài tập công thức lượng giác lớp 10

TOP 12 Viết thư cho ông bà để hỏi thăm và kể về tình hình gia đình em lớp 4

Lớp 10

Toán lớp 10

Toán lớp 10

Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 10

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Bài tập công thức lượng giác lớp 10

Cách tính độ dài Vecto

Toán 10 Bài 1: Mệnh đề

Bộ đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 10 (Có đáp án)

Liên Hệ