Bất đẳng Thức Svac-xơ (bất đẳng Thức Cộng Mẫu Số) - Abcdonline

Trang chủ » Bài Tập Bất đẳng Thức Svacxơ » Bất đẳng Thức Svac-xơ (bất đẳng Thức Cộng Mẫu Số) - Abcdonline

Có thể bạn quan tâm

Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu số)Đây là bài thứ 16 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thứcBất đẳng thức
  • Lý thuyết cơ bản chứng minh bất đẳng thức
  • Lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức
  • Phương pháp biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thức
  • Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình
  • Một số bất đẳng thức phụ hay dùng
  • Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức như nào?
  • Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến
  • Bất đẳng thức Schur với t=1. Các kết quả hay sử dụng
  • Sử dụng biểu thức phụ để tìm cực trị của biểu thức
  • Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp ghép cặp
  • Ứng dụng Cosi ngược dấu chứng minh bất đẳng thức
  • Cách chứng minh bất đẳng thức bằng vectơ
  • Bất đẳng thức Côsi (Cauchy) và bài tập áp dụng
  • Bất đẳng thức Bunhiacopxki và các kỹ thuật thường dùng
  • Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên Toán 2020
  • Bất đẳng thức Svac-xơ (bất đẳng thức cộng mẫu số)

Bất đẳng thức Svac-xơ hay bất đẳng thức cộng mẫu số là bất đẳng thức được sử dụng khá nhiều trong chứng minh BĐT có liên quan tới phân số.

Bài viết này hướng dẫn cách chứng minh BĐT Svac-xơ dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Chứng minh bất đẳng thức cộng mẫu số – Svac-xơ

Cho \displaystyle\mathrm{b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}, \ldots \mathrm{bn}>0.Khi đó ta có

\displaystyle\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\ldots+\frac{a^{2}_{n}}{b_{n}} \geq \frac{\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}}

Dấu “=” xảy ra khi \displaystyle\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\ldots=\frac{a_{n}}{b_{n}}

– Chứng minh:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số \displaystyle\left(\frac{a_{1}}{\sqrt{b_{1}}}+\frac{a_{2}}{\sqrt{b_{2}}}+\ldots+\frac{a_{n}}{\sqrt{b_{n}}}\right) và

\displaystyle\left(\sqrt{b_{1}}+\sqrt{b_{2}}+\ldots+\sqrt{b_{n}}\right). Ta có:

\displaystyle\left(\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\ldots+\frac{a^{2} n}{b_{n}}\right)\left(b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}\right) \geq\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)^{2}

\displaystyle\Rightarrow \frac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+\ldots+\frac{a^{2} n}{b_{n}} \geq \frac{\left(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right)^{2}}{b_{1}+b_{2}+\ldots+b_{n}} . (điều phải chứng minh).

Ví dụ áp dụng BĐT Svac-xơ

Ví dụ 1: Cho a, b, c>0, a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của :

P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

\displaystyle P=\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c=3

\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{(1+1+1)^{2}}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}=3

Vậy P \geq 3+3=6

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1

Ví dụ 2: Cho các số thực dương. Chứng minh rằng:

\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c} \geq \frac{36}{a+b+c}

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có:

\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{9}{c}=\frac{1^{2}}{a}+\frac{2^{2}}{b}+\frac{3^{2}}{c} \geq \frac{(1+2+3)^{2}}{a+b+c}=\frac{36}{a+b+c}(D P C M)

Dấu “=” xảy ra khi \displaystyle\frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{3}{c}

3. Bài tập vận dụng bất đẳng thức Svac-xơ

Cho các số thực >0 chứng minh rằng:

a. \displaystyle\frac{x^{2}}{x^{2}+2 y z}+\frac{y^{2}}{y^{2}+2 z x}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2 x y} \geq 1

b. \displaystyle\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}

Cùng chuyên đề:

<< Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên Toán 2020

Đại số 9 - Tags: bất đẳng thức, bất đẳng thức Svac-xơ

  • Tóm tắt kiến thức Đại số 9 cả năm

  • Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọn

  • Cách so sánh hai căn bậc hai – Đại số 9

  • Đề kiểm tra Đại số 9 chương 3

  • Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

  • Bài tập cơ bản giải phương trình vô tỷ – Toán 9

  • Ví dụ tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn

Từ khóa » Bài Tập Bất đẳng Thức Svacxơ