Biến đổi Phương Trình Lượng Giác Thành Phương Trình Tích | Tăng Giáp

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC > Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi > Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích

Thảo luận trong 'Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi' bắt đầu bởi Doremon, 11/12/14.

1. 

   Doremon Moderator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 29/9/14 Bài viết: 1,299 Đã được thích: 210 Điểm thành tích: 63 Giới tính: Nam

   I. Phương pháp Có rất nhiều cách đưa phương trình lượng giác về phương trình tích ta có thể sử dụng các phép biến đổi các dạng như sau:

   • Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích
   • Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng
   • Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho cos(2x)
   • Dạng 4: Phương pháp tách hệ số
   • Dạng 5 : Phương pháp hằng số biến thiên
   • Dạng 6: Phương pháp nhân
   • Dạng 7: Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp

   Ta đưa phương trình cần giải về dạng $\begin{array}{l} f({x_1})......f({x_n}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f({x_1}) = 0\\ .............\\ f({x_n}) = 0 \end{array} \right.\\ \end{array}$ trong đó các phương trình: f(x$_1$), … , f($x_n$) là các phương trình có dạng chuẩn Sau đây ta xét từng dạng

   1. Phương pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích:

   Ví Dụ 1: Giải phương trình: 1 + cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0 (1) Giải​Cách 1: Biến đổi tổng thành tích: Ta có: (1) ↔[1+cos(2x)].[cos(3x) + cos(x)] = 0 ↔ 2cos$^2$(x) + 2cos(2x).cos(x) = 0 ↔[cos(x) + cos(2x)].cos(x) = 0 ↔ 2cos(1,5x).cos(0,5x).cos(x) = 0 $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos \frac{x}{2} = 0\\ \cos \frac{{3x}}{2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos \frac{{3x}}{2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ \frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3} \end{array} \right.\,\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm . Cách 2: Biến đổi phương trình chứa một hàm lượng giác (1) $ \Leftrightarrow 1 + \cos x + 2{\cos ^2}x - 1 + 4{\cos ^3}x - 3\cos x = 0$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x + 2{\cos ^2}x - 2\cos x = 0 \Leftrightarrow (2{\cos ^2}x + \cos x - 1)\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos x = - 1\\ \cos x = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \pi + k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z \end{array}$ Ví Dụ 2: Giải phương trình: 1 + sin(x) + cos(3x) = cos(x) + sin(2x) + cos(2x) (2) Giải​Ta có (2)↔ 1 - cos(2x) + sin(x) + cos(3x) - cos(x) - sin(2x) = 0 $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \sin x - 2\sin 2x\sin x - 2\sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow (2\sin x + 1 - 4\sin x\cos x - 2\cos x)\sin x = 0 \Leftrightarrow (2\sin x + 1)(1 - 2\cos x)\sin x = 0 \end{array}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{1}{2}\\ \sin x = 0\\ \sin x = - \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ x = k\pi \\ x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có 5 họ nghiệm. Ví Dụ 3: Giải phương trình $\sin x + {\sin ^2}x + {\sin ^3}x + {\sin ^4}x = \cos x + {\cos ^2}x + {\cos ^3}x + {\cos ^4}x$ (3) Giải​(3)↔ $(\sin x - \cos x) + ({\sin ^2}x - {\cos ^2}x) + ({\sin ^3}x - {\cos ^3}x) + ({\sin ^4}x - {\cos ^4}x) = 0$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\sin x - \cos x)\left[ {1 + \left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {1 + \sin x\cos x} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left[ {2 + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x\cos x} \right] = 0 \end{array}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x - \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ 2 + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x\cos x = 0\,\,\,\,(2) \end{array} \right.$ Giải (1) ta được $\sin x = \cos x \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,\,k \in Z$ Giải (2): Đặt $\sin x + \cos x = t\,\,\,\,\,\,\,\,|t| \le \sqrt 2 $ (*) suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ Khi đó phương trình có dạng $2 + 2t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\\ t = - 3 \end{array} \right.$ Kết hợp với điều kiện (*) phương trình trên tương đương với $\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. 2. Phương pháp biến đổi tích thành tổng. Ví Dụ 1: Giải phương trình: $\sin x\,\,.\sin 3x + \sin 4x\,\sin 8x = 0$ (1) Giải​ Ta có (1) $ \Leftrightarrow \cos 4x - \cos 2x + \cos 12x - \cos 4x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 12x = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 12x = 2x + k2\pi \\ 12x = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{5}\\ x = \frac{{k\pi }}{7} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 2: Giảiphươngtrình: $\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2$ (2) Giải​$\begin{array}{l} 4\cos x\,\cos 2x\,\,\cos 3x = 2\cos 2x2(\cos x\cos 3x) = 2\cos 2x\left( {\cos 2x + \cos 4x} \right)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{\cos ^2}2x + 2\cos 2x\cos 4x = 1 + \cos 4x + \cos 2x + \cos 6x \end{array}$ Do vậy (2) $ \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \frac{1}{4}(1 + \cos 4x + \cos 2x + \cos 6x) + 2$ $ \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 3$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos 2x = 1\\ \cos 4x = 1\\ \cos 6x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . 3. Lựa chọn phép biến đổi cho cos(x). Ví Dụ 1: Giải phương trình : $2{\cos ^3}x + \cos 2x + \sin x = 0$ (1) Giải​$\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow 2{\cos ^3}x + 2{\cos ^2}x - 1 + \sin x = 0 \Leftrightarrow 2(\cos x + 1){\cos ^2}x + \sin x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2(\cos x + 1)(1 - {\sin ^2}x) + \sin x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow (1 - \sin x)\left[ {2(\cos x + 1)(1 + \sin x) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow (1 - \sin x)\left[ {1 + 2\sin x\cos x + 2(\sin x + \cos x)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow (1 - \sin x)\left[ {{{(\sin x + \cos x)}^2} + 2(\sin x + \cos x)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow (1 - \sin x)(\sin x + \cos x)(\sin x + \cos x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 - \sin x = 0\\ \sin x + \cos x = 0\\ \sin x + \cos x + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(vn) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 1\\ \sin (x + \frac{\pi }{4}) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z \end{array}$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm . Nhận xét: Trong lời giải trên sở dĩ chúng ta lựa chọn phép biến đổi cos(2x) = 2cos$^2$(x) - 1 bởi hai nhân tử còn lại là 2cos$^3$(x) (cos có hệ số là 2) và sin(x) (sin có hệ số là 1),thực hiện phép biến đổi để nhóm nhân tử chung đưa về phương trình dạng tích. Như vậy trong trường hợp trái lại ta sẽ lựa chọn phép biến đổi cos(2x) = 1 – 2sin$^2$(x) Cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải phương trình 2sin$^3$(x) – cos(2x) + cos(x) = 0 (2) Giải ​Ta có: $\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 1 + 2{\sin ^2}x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2(sinx + 1)si{n^2}x + cosx - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2(\sin x + 1)(1 - {\cos ^2}x) + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {2(sinx + 1)(cosx + 1) - 1 = 0} \right]\\ \Leftrightarrow (1 - \cos x)\left[ {{{(\sin x + \cos x)}^2} + 2(\sin x + \cos x)} \right]\\ \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x + \cos x)(\sin x + \cos x + 2) = 0\\ \left[ \begin{array}{l} 1 - \cos x = 0\\ \sin x + \cos x = 0\\ \sin x + \cos x + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,(vn) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 1\\ \sin (x + \frac{\pi }{4}) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z \end{array}$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. Nhận xét: Như vậy chúng ta đã có đượcphương pháp suy luận trong việc lựa chọn 2 hướng biến đổi cos(2x) Cuối cùng trong trường hợp hệ số đối xứng ta lựa chọn phép biến đổi cos(2x) = cos$^2$(x) - sin$^2$(x) ​Cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 3: Giải phương trình: ${\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \cos 2x$ (1) Giải​ Phương trình (1) $ \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x$ $ \Leftrightarrow (\cos x + \sin x)(1 - \cos x\sin x + \cos x - \sin x) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x + \sin x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\ 1 - \cos x\sin x + \cos x - \sin x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \end{array} \right.$ Giải (2): Ta được $\sin x = - \cos x \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,k \in Z$ Giải (3): Ta đặt $\sin x - \cos x = t\,\,\,\,\,|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\,\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ Khi đó (3) có dạng: $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 - \frac{{1 - {t^2}}}{2} + t = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(t + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - 1\\ \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z \end{array}$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 4. Phương pháp tách hệ số. Ví dụ 1: Giải phương trình: cos(x) + cos(3x) + 2cos(5x) = 0 (1) Giải​$\begin{array}{l}\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left( {\cos 5x\, + \,\cos x} \right)\, + \,(\cos 3x\, + \,\cos 5x)\, = \,0\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\cos 3x\,.\,\cos 2x\, + \,2\cos 4x\,.\,\cos x\, = \,0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,(4{\cos ^3}x - \,3\cos x)\,.\,\cos 2x\, + \,\cos 4x\, - \,\cos 3x\, = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,[(4{\cos ^2}x - \,3)\cos 2x\, + \,\,\cos 4x]\,.\,cosx\, = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\{ [2(1\, + \,\cos 2x)\, - \,3]\cos 2x\, + \,2{\cos ^2}2x\, - \,1\} .\cos x\, = \,0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,({\cos ^2}2x\, - \,\cos 2x\, - \,1)\cos x\, = \,0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\cos x\, = \,0\\\cos 2x\, = \,\frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}\, = \,\cos 2{\alpha _1}\\\cos 2x\, = \,\frac{{1 - \sqrt {17} }}{8}\, = \,\cos 2{\alpha _2}\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \\2x\, = \,{\alpha _1}\, + \,k2\pi \\2x\, = \,{\alpha _2} + \,k2\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \\x\, = \,\frac{{{\alpha _1}}}{2}\, + \,k\pi \\x\, = \,\frac{{{\alpha _2}}}{2}\, + \,k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$ Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: $\frac{{\sin 3x}}{3}\, = \,\frac{{\sin 5x}}{5}$ Giải Biến đổi phương trình về dạng $\begin{array}{l} 5\sin 3x\, = \,3\sin 5x\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2\sin 2x\, = \,3(\sin 5x\, - \,sin3x)\\ \Leftrightarrow \,2(3\sin x\, - \,4{\sin ^3}x)\, = \,6\cos 4x.\sin x \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,(3\, - \,{\sin ^2}x\, - \,3\cos 4x)\sin x\, = 0\\ \Leftrightarrow \,\left[ {3 - \,2\left( {1\, - \,\cos 2x} \right)\, - \,3\left( {{{\cos }^2}2x\, - \,1} \right)} \right]\sin x\, = \,0\\ \Leftrightarrow \left( {3{{\cos }^2}2x\, - \,\cos 2x\, - \,2} \right)\sin x\, = \,0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} \cos 2x\, = \,1\\ \cos 2x\, = \, - \frac{2}{3}\\ \cos 2x\, = \,0 \end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} \cos 2x\, = - \frac{2}{3}\, = \,\cos 2\alpha \,\\ \sin x\, = \,0 \end{array} \right.\,\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} 2x\, = \, \pm 2\alpha \, + \,k2\pi \\ x\, = \,k\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} x\, = \, \pm \alpha \, + \,k\pi \\ x\, = \,k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,(k \in Z) \end{array}$ Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Chú ý:Ta cũng có thể giải bằng phương pháp tách dần. $\begin{array}{l} \sin 3x\, = 3\sin x\, - \,4\,{\sin ^3}x\\ \sin 5x\, = \,\sin (x\, + \,4x)\, = \,\sin x.\cos 4x\, + \sin 4x.\cos x\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\sin x.\cos 4x\, + \,2\cos x.\sin 2x.\cos 2x\, = \sin x.\cos 4x\,\, + 4{\cos ^2}x.\sin x.\cos 2x\,\, \end{array}$ 5. Phương pháp hằng số biến thiên. Ví dụ 1: Giải phương trình: $\left( {\sin x + 3} \right){\sin ^4}\frac{x}{2}\, - \,\left( {\sin x + 3} \right){\sin ^2}\frac{x}{2}\, + 1\, = \,0\,$ (1) Giải​Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau Cách 1: Phương pháp hằng số biến thiên. Đặt $t\, = \,{\sin ^2}\frac{x}{2}$ điều kiện 0 ≤ t ≤ 1 Khi đó (1) có dạng $\left( {\sin x\, + \,3} \right){t^2}\, - \,\left( {\sin x\, + \,3} \right)t\, + \,1\, = \,0$ Ta có $\Delta \, = \,{\left( {\sin x\, + \,3} \right)^2}\, - \,4\left( {\sin x\, + \,3} \right)\,\, = \,\left( {\sin x\, + \,3} \right)\left( {\sin x\, - \,1} \right) \le \,0$ ( do |sin(x)| ≤ 1) Do đó phương trình được chuyển thành $\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \Delta \, = \,0\\ t\, = \, - \frac{b}{{2a}} \end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l} \sin x\, - \,1\, = \,0\\ {\sin ^2}\frac{x}{2}\, = \,\frac{1}{2} \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} \sin x\, = \,1\\ 1\, - \,\cos x\, = \,1 \end{array} \right.\,\,\\ \, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sin x\, = \,1\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \,\,\,(k \in Z) \end{array}$ Cách 2: Phương pháp phân tích $\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2}\, - \,1} \right)\left( {\sin x\, + \,3} \right){\sin ^2}\frac{x}{2}\, + \,1\, = \,0$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\, - \left( {\sin x\, + \,3} \right){\sin ^2}{\kern 1pt} \frac{x}{2}{\cos ^2}\frac{x}{2}\, + 1\, = \,0\\ \Leftrightarrow (\sin x\, - \,1)({\sin ^2}x\, + \,4\sin x\, + 4)\, = \,0\\ \Leftrightarrow (\sin x\, - \,1){(\sin x\, + \,2)^2}\, = \,0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\sin x\, = \,1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k2\pi \,\,\,(k \in Z) \end{array}$ Ví dụ 2: Giải phương trình: ${3^{2\sin x\, - \,3}}\, + \,\left( {3\sin x\, - 10} \right){3^{\sin x\, - \,2}}\, + \,3\, - \,\sin x\, = \,0$ Giải​Đặt $t\, = \,{3^{\sin x\, - \,2}}\,\,\,\,\,,\,\,t > 0$ Khi đó phương trình tương đương với $3{t^2}\, + \,\left( {3\sin x\, - \,10} \right)t\, + \,3\, - \,\sin x = 0$ $\Delta \, = \,{\left( {3\sin x\, - \,10} \right)^2}\, - \,4.3\left( {3\, - \,\sin x} \right)\, = \,{\left( {3\sin x\, - \,8} \right)^2}\,\, \Rightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} t\, = \,{\kern 1pt} \frac{1}{3}\\ t\, = 3 - \sin x \end{array} \right.$ -Với t = 1/3 ta được ${3^{\sin x\, - \,2}}\, = \,\frac{1}{3}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\sin x\, - \,2\, = \, - 1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\sin x\, = \,1\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ -Với t = 3 – sin(x) ta được ${3^{\sin x\, - 2}}\, = 3\, - \,\sin x$ Ta đoán được nghiệm sin(x) = 2 và 3$^0$ = 3 - 2 Vì VT là hàm đồng biến còn VP là hàm nghịch biến, do vậy sin(x) = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Nhưng phương trình sin(x) = 2 vô nghiệm. Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. 6. Phương pháp nhân. Ví dụ 1: Giải phương trình: $2\cos 2x\, - \,8\cos x\, + \,7\, = \,\frac{1}{{\cos x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ Giải​Điều kiện: cos(x) ≠ 0 . Nhân cả hai vế của phương trình (1) với cos(x) ≠ 0 ta có $2\cos 2x.\cos x\, - \,8{\cos ^2}x\, + \,7\cos x\, = \,1$ $ \Leftrightarrow \,2\cos x(2{\cos ^2}x\, - \,1)\, - \,8{\cos ^2}x\,\, + \,7\cos x = \,1$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,4{\cos ^3}x - \,8{\cos ^2}x\,\, + \,5\cos x - \,1\, = \,0\\ \Leftrightarrow \,(\cos x\, - \,1)(4{\cos ^2}x\, - \,4\cos x\, + \,1)\, = \,0\, \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,(\cos x\, - \,1){(2\cos x - \,1)^2}\, = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} \cos x\, = \,1\\ \cos x\, = \,\frac{1}{2} \end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} x\, = \,k2\pi \\ x = \, \pm \frac{\pi }{3}\, + \,k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,(k\, \in \,Z)\\\end{array}$ Các họ nghiệm trên thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin \frac{{5x}}{2} = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin \frac{x}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right)$ Giải​+) Với $\cos \frac{x}{2}\, = \,0$ ta được $\cos x\, = \,2{\cos ^2}\frac{x}{2}\, - \,1\, = \, - 1$ và $\sin \frac{x}{2}\, = \, \pm 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\,VP\, = \, \pm 5$ Khi đó phương trình (2) có dạng: $\sin \frac{{5x}}{2}\, = \, \pm 5$ vô nghiệm. +)Với $\cos \frac{x}{2}\, \ne \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \,\, \Leftrightarrow \,\,\,x \ne \,\pi \, + \,k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$ (*) Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2cos(x/2) ≠ 0 ta được $2\sin \frac{{5x}}{2}.\,\cos \frac{x}{2} = 10{\cos ^3}x\,.\,\sin \frac{x}{2}.\,\cos \frac{x}{2}\,\,\,\,$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\sin 3x\, + \,\,\sin 2x\, = \,5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\,3\sin x\, - \,4{\sin ^3}x\, + \,2\sin x.\cos x\, = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\,\\ \, \Leftrightarrow \,\,\,3\sin x\, - \,4{\sin ^3}x\, + \,2\sin x.\cos x\, = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\\ \Leftrightarrow \,\,\,(3\, - \,4{\sin ^2}x\, + \,\cos x\, - 5{\cos ^3}x)\sin x\, = \,0\\ \, \Leftrightarrow \,\,(5{\cos ^3}x\, - \,4{\cos ^2}x\, - \,2\cos x\, + \,1)\,\sin x\, = \,0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,(5{\cos ^2}x\, + \cos x\, - \,1)(\cos x\, - \,1)\,\sin x\, = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} 5{\cos ^2}x\, + \cos x\, - \,1\, = \,0\\ \cos x\, - \,1\, = \,0\\ \sin x\, = 0\, \end{array} \right.\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x\, = \,\frac{{1\, - \,\sqrt {21} }}{{10}}\, = \,\cos \alpha \\ \cos x\, = \,\frac{{1\, + \,\sqrt {21} }}{{10}}\, = \,\cos \beta \\ \sin x\, = \,0 \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ \begin{array}{l} x\, = \, \pm \alpha \, + \,k2\pi \\ x\, = \, \pm \beta \, + \,k2\pi \\ x\, = \,k\pi \end{array} \right.\,\,\\ \,\,\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( * \right)} \,\left[ \begin{array}{l} x\, = \, \pm \alpha \, + \,k2\pi \\ x\, = \, \pm \beta \, + \,k2\pi \\ x\, = \,2k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array}$ 7.Sử dụng các phép biến đổi. Ví dụ 1: Giải phương trình: $\cos 10x\, + \,2{\cos ^2}4x\, + \,6\cos 3x.\cos x\, = \,\cos x\, + \,8\cos x.{\cos ^3}x.$ Giải​Biến đổi phương trình về dạng $\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,\,\cos 10x\, + \,1\, + \,\cos 8x\, = \,\cos x\, + \,2(4{\cos ^3}x\, - \,3\cos 3x)\cos x\\ \Leftrightarrow \,\,\,2\cos 9x.\,\cos x\, + \,1\, = \,\cos x\, + \,2\cos 9x.\cos x\\ \Leftrightarrow \,\,\cos x\, = \,1\,\, \Leftrightarrow \,\,x\, = \,k\pi \,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \end{array}$ Vậy phương trình có một họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: ${\cos ^2}x\, + \,{\sin ^3}x\, + \,\cos x\, = \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ Giải.​$\begin{array}{l} \left( 2 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{\cos ^2}x\, + \,\cos x\, + \,{\sin ^2}x.\sin x\, = \,0\,\, \Leftrightarrow \,(\cos x\, + 1)(1\, - \,{\cos ^2}x)\sin x\, = \,0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,(\cos x\, + \,1)\,[\cos x\, + \left( {1\, - \,\cos x} \right)\,\sin x]\, = \,0\,\,\, \end{array}$ $ \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} \cos x\, = \,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \sin x\, + \,\cos x\, - \,\sin x.\,\cos x\, = \,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$ Giải (1): Ta được x = π + k2π; k ∈ Z Giải (2): Đặt $\sin x\, + \,\cos x\, = \,t,\,\,\left| t \right| \le 2\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\sin x.\cos x\, = \,\frac{{{t^2}\, - \,1}}{2}$ $\begin{array}{l} \left( 2 \right)\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,t\, - \frac{{{t^2}\, - \,1}}{2} = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{t^2}\, - \,2t\, - 1\, = \,0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} t\, = \,1\, - \,\sqrt 2 \\ t\, = \,1\, + \,\sqrt 2 \,\,\,\,\,\left( {loai} \right) \end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\sin x\, + \,\cos x\, = \,1\, - \,\sqrt 2 \\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt 2 \sin \left( {x\, + \,\frac{\pi }{4}} \right)\, = 1\, - \,\sqrt 2 \,\,\, \Rightarrow \,\sin \left( {x\, + \,\frac{\pi }{4}} \right)\, = \,\frac{{1\, - \,\sqrt 2 }}{2}\, = \,\sin \alpha \\ \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l} x\, + \,\frac{\pi }{4}\, = \,\alpha \, + \,k2\pi \\ x\, + \,\frac{\pi }{4}\, = \,\pi \, - \,\alpha \, + \,k2\pi \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} x\, = \,\alpha \, - \,\,\,\frac{\pi }{4}\,\, + \,k2\pi \\ x\, = \,\,\frac{{3\pi }}{4}\,\, - \,\alpha \, + \,k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \end{array}$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình: ${\cos ^3}x\, + \,{\sin ^3}x\, = \,\cos x\, + \,\sin 2x\, + \,\sin x$ (3) Giải​$\left( 3 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,(\cos x\, + \,\sin x)(1\, - \,\cos x.\,\sin x)\, = \,\cos x\, + \,\sin 2x\, + \,\sin x$ $\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\frac{1}{2}(\cos x\, + \,\sin x)\,\sin 2x\, = \,\,\sin 2x\,\, \Leftrightarrow \,\,\,(\cos x\, + \,\sin x\, - 2)\,\sin 2x\, = \,0\\ \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\sin 2x = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2x\, = \,k\pi \,\,\, \Leftrightarrow x\, = \,k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \end{array}$ Vậy phương trình có 1 họ nghiệm .

   Bài viết mới nhất

   • Tìm điều kiện để phương trình có k nghiệm thuộc D12/12/2014
   • Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số12/12/2014
   • Dùng phương pháp khảo sát hàm số12/12/2014
   • Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá.12/12/2014
   • Biến đổi phương trình lượng giác thành tổng các đại lượng không âm12/12/2014
   Doremon, 11/12/14 #1

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,071 Bài viết: 12,735 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: duychien.saigonapp

Chủ đề mới nhất

• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
• Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài kí Ai đã đặt... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích truyện Vợ chồng... Tăng Giáp posted 6/8/20
• [8+] Phân tích bài thơ tây tiến... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC > Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi >