What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity
Members Current visitors New profile posts Search profile posts
Đăng nhậpCó gì mới?Tìm kiếm
Tìm kiếm
Everywhere Threads This forum This thread Chỉ tìm trong tiêu đề NoteBy:SearchTìm nâng cao…
New posts
Search forums
Menu Đăng nhập Install the app Install How to install the app on iOS
Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.
Note: This feature may not be available in some browsers.
Home
Forums
Lớp 11
Toán học 11
Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC
Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích
Thread starterThread starterDoremon
Ngày gửiNgày gửi 11/12/14
Doremon
Moderator
Thành viên BQTI. Phương pháp Có rất nhiều cách đưa phương trình lượng giác về phương trình tích ta có thể sử dụng các phép biến đổi các dạng như sau:
Dạng 1: Biến đổi tổng hiệu thành tích
Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng
Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho cos(2x)
Dạng 4: Phương pháp tách hệ số
Dạng 5 : Phương pháp hằng số biến thiên
Dạng 6: Phương pháp nhân
Dạng 7: Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp
Ta đưa phương trình cần giải về dạng $\begin{array}{l} f({x_1})......f({x_n}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f({x_1}) = 0\\ .............\\ f({x_n}) = 0 \end{array} \right.\\ \end{array}$ trong đó các phương trình: f(x$_1$), … , f($x_n$) là các phương trình có dạng chuẩn Sau đây ta xét từng dạng
Phương pháp biến đổi tổng , hiệu thành tích:
Ví Dụ 1: Giải phương trình: 1 + cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0 (1) GiảiCách 1: Biến đổi tổng thành tích: Ta có: (1) ↔[1+cos(2x)].[cos(3x) + cos(x)] = 0 ↔ 2cos$^2$(x) + 2cos(2x).cos(x) = 0 ↔[cos(x) + cos(2x)].cos(x) = 0 ↔ 2cos(1,5x).cos(0,5x).cos(x) = 0 $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos \frac{x}{2} = 0\\ \cos \frac{{3x}}{2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos \frac{{3x}}{2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ \frac{{3x}}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3} \end{array} \right.\,\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm . Cách 2: Biến đổi phương trình chứa một hàm lượng giác (1) $ \Leftrightarrow 1 + \cos x + 2{\cos ^2}x - 1 + 4{\cos ^3}x - 3\cos x = 0$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x + 2{\cos ^2}x - 2\cos x = 0 \Leftrightarrow (2{\cos ^2}x + \cos x - 1)\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos x = - 1\\ \cos x = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \pi + k2\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{3} + \frac{{2k\pi }}{3} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z \end{array}$ Ví Dụ 2: Giải phương trình: 1 + sin(x) + cos(3x) = cos(x) + sin(2x) + cos(2x) (2) GiảiTa có (2)↔ 1 - cos(2x) + sin(x) + cos(3x) - cos(x) - sin(2x) = 0 $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \sin x - 2\sin 2x\sin x - 2\sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow (2\sin x + 1 - 4\sin x\cos x - 2\cos x)\sin x = 0 \Leftrightarrow (2\sin x + 1)(1 - 2\cos x)\sin x = 0 \end{array}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = \frac{1}{2}\\ \sin x = 0\\ \sin x = - \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\ x = k\pi \\ x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có 5 họ nghiệm. Ví Dụ 3: Giải phương trình $\sin x + {\sin ^2}x + {\sin ^3}x + {\sin ^4}x = \cos x + {\cos ^2}x + {\cos ^3}x + {\cos ^4}x$ (3) Giải(3)↔ $(\sin x - \cos x) + ({\sin ^2}x - {\cos ^2}x) + ({\sin ^3}x - {\cos ^3}x) + ({\sin ^4}x - {\cos ^4}x) = 0$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\sin x - \cos x)\left[ {1 + \left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {1 + \sin x\cos x} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left[ {2 + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x\cos x} \right] = 0 \end{array}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x - \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ 2 + 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + \sin x\cos x = 0\,\,\,\,(2) \end{array} \right.$ Giải (1) ta được $\sin x = \cos x \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,\,k \in Z$ Giải (2): Đặt $\sin x + \cos x = t\,\,\,\,\,\,\,\,|t| \le \sqrt 2 $ (*) suy ra $\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ Khi đó phương trình có dạng $2 + 2t + \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 1\\ t = - 3 \end{array} \right.$ Kết hợp với điều kiện (*) phương trình trên tương đương với $\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. 2. Phương pháp biến đổi tích thành tổng. Ví Dụ 1: Giải phương trình: $\sin x\,\,.\sin 3x + \sin 4x\,\sin 8x = 0$ (1) Giải Ta có (1) $ \Leftrightarrow \cos 4x - \cos 2x + \cos 12x - \cos 4x = 0$ $ \Leftrightarrow \cos 12x = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 12x = 2x + k2\pi \\ 12x = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{5}\\ x = \frac{{k\pi }}{7} \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 2: Giảiphươngtrình: $\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \cos x\cos 2x\cos 3x + 2$ (2) Giải$\begin{array}{l} 4\cos x\,\cos 2x\,\,\cos 3x = 2\cos 2x2(\cos x\cos 3x) = 2\cos 2x\left( {\cos 2x + \cos 4x} \right)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{\cos ^2}2x + 2\cos 2x\cos 4x = 1 + \cos 4x + \cos 2x + \cos 6x \end{array}$ Do vậy (2) $ \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = \frac{1}{4}(1 + \cos 4x + \cos 2x + \cos 6x) + 2$ $ \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = 3$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos 2x = 1\\ \cos 4x = 1\\ \cos 6x = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . 3. Lựa chọn phép biến đổi cho cos(x). Ví Dụ 1: Giải phương trình : $2{\cos ^3}x + \cos 2x + \sin x = 0$ (1) Giải$\begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow 2{\cos ^3}x + 2{\cos ^2}x - 1 + \sin x = 0 \Leftrightarrow 2(\cos x + 1){\cos ^2}x + \sin x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2(\cos x + 1)(1 - {\sin ^2}x) + \sin x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow (1 - \sin x)\left[ {2(\cos x + 1)(1 + \sin x) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow (1 - \sin x)\left[ {1 + 2\sin x\cos x + 2(\sin x + \cos x)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow (1 - \sin x)\left[ {{{(\sin x + \cos x)}^2} + 2(\sin x + \cos x)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow (1 - \sin x)(\sin x + \cos x)(\sin x + \cos x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 - \sin x = 0\\ \sin x + \cos x = 0\\ \sin x + \cos x + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(vn) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 1\\ \sin (x + \frac{\pi }{4}) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x + \frac{\pi }{4} = k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z \end{array}$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm . Nhận xét: Trong lời giải trên sở dĩ chúng ta lựa chọn phép biến đổi cos(2x) = 2cos$^2$(x) - 1 bởi hai nhân tử còn lại là 2cos$^3$(x) (cos có hệ số là 2) và sin(x) (sin có hệ số là 1),thực hiện phép biến đổi để nhóm nhân tử chung đưa về phương trình dạng tích. Như vậy trong trường hợp trái lại ta sẽ lựa chọn phép biến đổi cos(2x) = 1 – 2sin$^2$(x) Cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải phương trình 2sin$^3$(x) – cos(2x) + cos(x) = 0 (2) GiảiTa có: $\begin{array}{l} (2) \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 1 + 2{\sin ^2}x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2(sinx + 1)si{n^2}x + cosx - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2(\sin x + 1)(1 - {\cos ^2}x) + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {2(sinx + 1)(cosx + 1) - 1 = 0} \right]\\ \Leftrightarrow (1 - \cos x)\left[ {{{(\sin x + \cos x)}^2} + 2(\sin x + \cos x)} \right]\\ \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x + \cos x)(\sin x + \cos x + 2) = 0\\ \left[ \begin{array}{l} 1 - \cos x = 0\\ \sin x + \cos x = 0\\ \sin x + \cos x + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,(vn) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 1\\ \sin (x + \frac{\pi }{4}) = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z \end{array}$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. Nhận xét: Như vậy chúng ta đã có đượcphương pháp suy luận trong việc lựa chọn 2 hướng biến đổi cos(2x) Cuối cùng trong trường hợp hệ số đối xứng ta lựa chọn phép biến đổi cos(2x) = cos$^2$(x) - sin$^2$(x) Cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 3: Giải phương trình: ${\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \cos 2x$ (1) Giải Phương trình (1) $ \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x$ $ \Leftrightarrow (\cos x + \sin x)(1 - \cos x\sin x + \cos x - \sin x) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x + \sin x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\ 1 - \cos x\sin x + \cos x - \sin x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \end{array} \right.$ Giải (2): Ta được $\sin x = - \cos x \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,k \in Z$ Giải (3): Ta đặt $\sin x - \cos x = t\,\,\,\,\,|t| \le \sqrt 2 $, suy ra $\sin x\,\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}$ Khi đó (3) có dạng: $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 - \frac{{1 - {t^2}}}{2} + t = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 1 = 0$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(t + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - 1\\ \Leftrightarrow \sin (x + \frac{\pi }{4}) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z \end{array}$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm. 4. Phương pháp tách hệ số. Ví dụ 1: Giải phương trình: cos(x) + cos(3x) + 2cos(5x) = 0 (1) Giải$\begin{array}{l}\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left( {\cos 5x\, + \,\cos x} \right)\, + \,(\cos 3x\, + \,\cos 5x)\, = \,0\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,2\cos 3x\,.\,\cos 2x\, + \,2\cos 4x\,.\,\cos x\, = \,0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,(4{\cos ^3}x - \,3\cos x)\,.\,\cos 2x\, + \,\cos 4x\, - \,\cos 3x\, = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,[(4{\cos ^2}x - \,3)\cos 2x\, + \,\,\cos 4x]\,.\,cosx\, = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\{ [2(1\, + \,\cos 2x)\, - \,3]\cos 2x\, + \,2{\cos ^2}2x\, - \,1\} .\cos x\, = \,0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,({\cos ^2}2x\, - \,\cos 2x\, - \,1)\cos x\, = \,0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}\cos x\, = \,0\\\cos 2x\, = \,\frac{{1 + \sqrt {17} }}{8}\, = \,\cos 2{\alpha _1}\\\cos 2x\, = \,\frac{{1 - \sqrt {17} }}{8}\, = \,\cos 2{\alpha _2}\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \\2x\, = \,{\alpha _1}\, + \,k2\pi \\2x\, = \,{\alpha _2} + \,k2\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \\x\, = \,\frac{{{\alpha _1}}}{2}\, + \,k\pi \\x\, = \,\frac{{{\alpha _2}}}{2}\, + \,k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$ Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: $\frac{{\sin 3x}}{3}\, = \,\frac{{\sin 5x}}{5}$ Giải Biến đổi phương trình về dạng $\begin{array}{l} 5\sin 3x\, = \,3\sin 5x\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2\sin 2x\, = \,3(\sin 5x\, - \,sin3x)\\ \Leftrightarrow \,2(3\sin x\, - \,4{\sin ^3}x)\, = \,6\cos 4x.\sin x \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,(3\, - \,{\sin ^2}x\, - \,3\cos 4x)\sin x\, = 0\\ \Leftrightarrow \,\left[ {3 - \,2\left( {1\, - \,\cos 2x} \right)\, - \,3\left( {{{\cos }^2}2x\, - \,1} \right)} \right]\sin x\, = \,0\\ \Leftrightarrow \left( {3{{\cos }^2}2x\, - \,\cos 2x\, - \,2} \right)\sin x\, = \,0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} \cos 2x\, = \,1\\ \cos 2x\, = \, - \frac{2}{3}\\ \cos 2x\, = \,0 \end{array} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} \cos 2x\, = - \frac{2}{3}\, = \,\cos 2\alpha \,\\ \sin x\, = \,0 \end{array} \right.\,\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} 2x\, = \, \pm 2\alpha \, + \,k2\pi \\ x\, = \,k\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} x\, = \, \pm \alpha \, + \,k\pi \\ x\, = \,k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,(k \in Z) \end{array}$ Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Chú ý:Ta cũng có thể giải bằng phương pháp tách dần. $\begin{array}{l} \sin 3x\, = 3\sin x\, - \,4\,{\sin ^3}x\\ \sin 5x\, = \,\sin (x\, + \,4x)\, = \,\sin x.\cos 4x\, + \sin 4x.\cos x\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\sin x.\cos 4x\, + \,2\cos x.\sin 2x.\cos 2x\, = \sin x.\cos 4x\,\, + 4{\cos ^2}x.\sin x.\cos 2x\,\, \end{array}$ 5. Phương pháp hằng số biến thiên. Ví dụ 1: Giải phương trình: $\left( {\sin x + 3} \right){\sin ^4}\frac{x}{2}\, - \,\left( {\sin x + 3} \right){\sin ^2}\frac{x}{2}\, + 1\, = \,0\,$ (1) GiảiTa có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau Cách 1: Phương pháp hằng số biến thiên. Đặt $t\, = \,{\sin ^2}\frac{x}{2}$ điều kiện 0 ≤ t ≤ 1 Khi đó (1) có dạng $\left( {\sin x\, + \,3} \right){t^2}\, - \,\left( {\sin x\, + \,3} \right)t\, + \,1\, = \,0$ Ta có $\Delta \, = \,{\left( {\sin x\, + \,3} \right)^2}\, - \,4\left( {\sin x\, + \,3} \right)\,\, = \,\left( {\sin x\, + \,3} \right)\left( {\sin x\, - \,1} \right) \le \,0$ ( do |sin(x)| ≤ 1) Do đó phương trình được chuyển thành $\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \Delta \, = \,0\\ t\, = \, - \frac{b}{{2a}} \end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l} \sin x\, - \,1\, = \,0\\ {\sin ^2}\frac{x}{2}\, = \,\frac{1}{2} \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} \sin x\, = \,1\\ 1\, - \,\cos x\, = \,1 \end{array} \right.\,\,\\ \, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sin x\, = \,1\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \,\,\,(k \in Z) \end{array}$ Cách 2: Phương pháp phân tích $\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2}\, - \,1} \right)\left( {\sin x\, + \,3} \right){\sin ^2}\frac{x}{2}\, + \,1\, = \,0$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\, - \left( {\sin x\, + \,3} \right){\sin ^2}{\kern 1pt} \frac{x}{2}{\cos ^2}\frac{x}{2}\, + 1\, = \,0\\ \Leftrightarrow (\sin x\, - \,1)({\sin ^2}x\, + \,4\sin x\, + 4)\, = \,0\\ \Leftrightarrow (\sin x\, - \,1){(\sin x\, + \,2)^2}\, = \,0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\sin x\, = \,1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k2\pi \,\,\,(k \in Z) \end{array}$ Ví dụ 2: Giải phương trình: ${3^{2\sin x\, - \,3}}\, + \,\left( {3\sin x\, - 10} \right){3^{\sin x\, - \,2}}\, + \,3\, - \,\sin x\, = \,0$ GiảiĐặt $t\, = \,{3^{\sin x\, - \,2}}\,\,\,\,\,,\,\,t > 0$ Khi đó phương trình tương đương với $3{t^2}\, + \,\left( {3\sin x\, - \,10} \right)t\, + \,3\, - \,\sin x = 0$ $\Delta \, = \,{\left( {3\sin x\, - \,10} \right)^2}\, - \,4.3\left( {3\, - \,\sin x} \right)\, = \,{\left( {3\sin x\, - \,8} \right)^2}\,\, \Rightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} t\, = \,{\kern 1pt} \frac{1}{3}\\ t\, = 3 - \sin x \end{array} \right.$ -Với t = 1/3 ta được ${3^{\sin x\, - \,2}}\, = \,\frac{1}{3}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\sin x\, - \,2\, = \, - 1\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\sin x\, = \,1\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ -Với t = 3 – sin(x) ta được ${3^{\sin x\, - 2}}\, = 3\, - \,\sin x$ Ta đoán được nghiệm sin(x) = 2 và 3$^0$ = 3 - 2 Vì VT là hàm đồng biến còn VP là hàm nghịch biến, do vậy sin(x) = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Nhưng phương trình sin(x) = 2 vô nghiệm. Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. 6. Phương pháp nhân. Ví dụ 1: Giải phương trình: $2\cos 2x\, - \,8\cos x\, + \,7\, = \,\frac{1}{{\cos x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ GiảiĐiều kiện: cos(x) ≠ 0 . Nhân cả hai vế của phương trình (1) với cos(x) ≠ 0 ta có $2\cos 2x.\cos x\, - \,8{\cos ^2}x\, + \,7\cos x\, = \,1$ $ \Leftrightarrow \,2\cos x(2{\cos ^2}x\, - \,1)\, - \,8{\cos ^2}x\,\, + \,7\cos x = \,1$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,4{\cos ^3}x - \,8{\cos ^2}x\,\, + \,5\cos x - \,1\, = \,0\\ \Leftrightarrow \,(\cos x\, - \,1)(4{\cos ^2}x\, - \,4\cos x\, + \,1)\, = \,0\, \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,(\cos x\, - \,1){(2\cos x - \,1)^2}\, = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} \cos x\, = \,1\\ \cos x\, = \,\frac{1}{2} \end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} x\, = \,k2\pi \\ x = \, \pm \frac{\pi }{3}\, + \,k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,(k\, \in \,Z)\\\end{array}$ Các họ nghiệm trên thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin \frac{{5x}}{2} = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin \frac{x}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right)$ Giải+) Với $\cos \frac{x}{2}\, = \,0$ ta được $\cos x\, = \,2{\cos ^2}\frac{x}{2}\, - \,1\, = \, - 1$ và $\sin \frac{x}{2}\, = \, \pm 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\,VP\, = \, \pm 5$ Khi đó phương trình (2) có dạng: $\sin \frac{{5x}}{2}\, = \, \pm 5$ vô nghiệm. +)Với $\cos \frac{x}{2}\, \ne \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \,\, \Leftrightarrow \,\,\,x \ne \,\pi \, + \,k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)$ (*) Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2cos(x/2) ≠ 0 ta được $2\sin \frac{{5x}}{2}.\,\cos \frac{x}{2} = 10{\cos ^3}x\,.\,\sin \frac{x}{2}.\,\cos \frac{x}{2}\,\,\,\,$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\sin 3x\, + \,\,\sin 2x\, = \,5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\,3\sin x\, - \,4{\sin ^3}x\, + \,2\sin x.\cos x\, = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\,\\ \, \Leftrightarrow \,\,\,3\sin x\, - \,4{\sin ^3}x\, + \,2\sin x.\cos x\, = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\\ \Leftrightarrow \,\,\,(3\, - \,4{\sin ^2}x\, + \,\cos x\, - 5{\cos ^3}x)\sin x\, = \,0\\ \, \Leftrightarrow \,\,(5{\cos ^3}x\, - \,4{\cos ^2}x\, - \,2\cos x\, + \,1)\,\sin x\, = \,0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,(5{\cos ^2}x\, + \cos x\, - \,1)(\cos x\, - \,1)\,\sin x\, = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} 5{\cos ^2}x\, + \cos x\, - \,1\, = \,0\\ \cos x\, - \,1\, = \,0\\ \sin x\, = 0\, \end{array} \right.\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x\, = \,\frac{{1\, - \,\sqrt {21} }}{{10}}\, = \,\cos \alpha \\ \cos x\, = \,\frac{{1\, + \,\sqrt {21} }}{{10}}\, = \,\cos \beta \\ \sin x\, = \,0 \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ \begin{array}{l} x\, = \, \pm \alpha \, + \,k2\pi \\ x\, = \, \pm \beta \, + \,k2\pi \\ x\, = \,k\pi \end{array} \right.\,\,\\ \,\,\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( * \right)} \,\left[ \begin{array}{l} x\, = \, \pm \alpha \, + \,k2\pi \\ x\, = \, \pm \beta \, + \,k2\pi \\ x\, = \,2k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array}$ 7.Sử dụng các phép biến đổi. Ví dụ 1: Giải phương trình: $\cos 10x\, + \,2{\cos ^2}4x\, + \,6\cos 3x.\cos x\, = \,\cos x\, + \,8\cos x.{\cos ^3}x.$ GiảiBiến đổi phương trình về dạng $\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,\,\cos 10x\, + \,1\, + \,\cos 8x\, = \,\cos x\, + \,2(4{\cos ^3}x\, - \,3\cos 3x)\cos x\\ \Leftrightarrow \,\,\,2\cos 9x.\,\cos x\, + \,1\, = \,\cos x\, + \,2\cos 9x.\cos x\\ \Leftrightarrow \,\,\cos x\, = \,1\,\, \Leftrightarrow \,\,x\, = \,k\pi \,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \end{array}$ Vậy phương trình có một họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình: ${\cos ^2}x\, + \,{\sin ^3}x\, + \,\cos x\, = \,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ Giải.$\begin{array}{l} \left( 2 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,{\cos ^2}x\, + \,\cos x\, + \,{\sin ^2}x.\sin x\, = \,0\,\, \Leftrightarrow \,(\cos x\, + 1)(1\, - \,{\cos ^2}x)\sin x\, = \,0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,(\cos x\, + \,1)\,[\cos x\, + \left( {1\, - \,\cos x} \right)\,\sin x]\, = \,0\,\,\, \end{array}$ $ \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} \cos x\, = \,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \sin x\, + \,\cos x\, - \,\sin x.\,\cos x\, = \,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.$ Giải (1): Ta được x = π + k2π; k ∈ Z Giải (2): Đặt $\sin x\, + \,\cos x\, = \,t,\,\,\left| t \right| \le 2\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\sin x.\cos x\, = \,\frac{{{t^2}\, - \,1}}{2}$ $\begin{array}{l} \left( 2 \right)\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,t\, - \frac{{{t^2}\, - \,1}}{2} = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{t^2}\, - \,2t\, - 1\, = \,0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} t\, = \,1\, - \,\sqrt 2 \\ t\, = \,1\, + \,\sqrt 2 \,\,\,\,\,\left( {loai} \right) \end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\sin x\, + \,\cos x\, = \,1\, - \,\sqrt 2 \\ \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt 2 \sin \left( {x\, + \,\frac{\pi }{4}} \right)\, = 1\, - \,\sqrt 2 \,\,\, \Rightarrow \,\sin \left( {x\, + \,\frac{\pi }{4}} \right)\, = \,\frac{{1\, - \,\sqrt 2 }}{2}\, = \,\sin \alpha \\ \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l} x\, + \,\frac{\pi }{4}\, = \,\alpha \, + \,k2\pi \\ x\, + \,\frac{\pi }{4}\, = \,\pi \, - \,\alpha \, + \,k2\pi \end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l} x\, = \,\alpha \, - \,\,\,\frac{\pi }{4}\,\, + \,k2\pi \\ x\, = \,\,\frac{{3\pi }}{4}\,\, - \,\alpha \, + \,k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \end{array}$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình: ${\cos ^3}x\, + \,{\sin ^3}x\, = \,\cos x\, + \,\sin 2x\, + \,\sin x$ (3) Giải$\left( 3 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,(\cos x\, + \,\sin x)(1\, - \,\cos x.\,\sin x)\, = \,\cos x\, + \,\sin 2x\, + \,\sin x$ $\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\frac{1}{2}(\cos x\, + \,\sin x)\,\sin 2x\, = \,\,\sin 2x\,\, \Leftrightarrow \,\,\,(\cos x\, + \,\sin x\, - 2)\,\sin 2x\, = \,0\\ \,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\sin 2x = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2x\, = \,k\pi \,\,\, \Leftrightarrow x\, = \,k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \end{array}$ Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . You must log in or register to reply here. Share:BlueskyLinkedInRedditPinterestTumblrWhatsAppEmailShareLink
Trending content
Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.'
Tăng Giáp
8/12/18
Trả lời: 0
Thread 'Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát'
Tăng Giáp
7/12/18
Trả lời: 1
Thread 'SỐ PHỨC'
AnhNguyen
14/4/16
Trả lời: 84
Thread 'Công thức giải nhanh cấp số cộng và cấp số nhân'
Tăng Giáp
5/10/17
Trả lời: 18
Thread 'Công thức giải nhanh vật lý phần dao động cơ'
Tăng Giáp
10/4/15
Trả lời: 6
H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số'
Huy Hoàng
22/2/16
Trả lời: 179
Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp'
Minh Toán
10/11/17
Trả lời: 148
Thread 'Các bước khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất'
Doremon
3/12/14
Trả lời: 6
V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU'
Vật Lí
19/9/16
Trả lời: 98
Thread 'Giải phương trình logarit'
Doremon
2/12/14
Trả lời: 96
Latest posts
Sóng dừng
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Sóng cơ
Giao Thoa Sóng Cơ
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Sóng cơ
Sóng điện từ
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Bài 22: Sóng điện từ
Sóng ngang. Sóng dọc. Sự truyền năng lượng của sóng cơ
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Sóng cơ
Mô tả sóng
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Sóng cơ
Dao động tắt dần - dao động cưỡng bức
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Dao động cơ
Động năng. Thế năng. Sự chuyển hoá năng lượng trong dao động điều hoà
Latest: Tăng Giáp
2/12/25
Dao động cơ
Bài 5. Điện thế
Latest: Tăng Giáp
25/11/25
Chương 1. Điện tích - Điện trường
Bài 6. Tụ Điện
Latest: Tăng Giáp
25/11/25
Chương 1. Điện tích - Điện trường
Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
Latest: Tăng Giáp
22/11/25
Bài 01. Phương trình
Members online
No members online now. Total: 23 (members: 0, guests: 23)
Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.' 
Thread 'SỐ PHỨC' 
Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp' 
Thread 'Các bước khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất'