Biểu Diễn Một Vectơ Theo Hai Vectơ Không Cùng Phương

Biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương là như thế nào? Làm sao có thể biểu diễn được một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương? Bài giảng này sẽ giải đáp cho các bạn hai câu hỏi trên.

Trước tiên các bạn cần biết tới định lý sau:

Cho trước hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{o}$ và không cùng phương. Với mọi vectơ $\vec{c}$ bao giờ cũng tìm được một cặp số thực m, n duy nhất sao cho: $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$

Như vậy công việc của chúng ta là phải tìm được hai số m và n trong biểu thức trên.

Để các bạn hiểu hơn về việc tìm hai số m và n này thầy sẽ có hai ví dụ cơ bản sau đây, ví dụ này thực chất nó là lý thuyết cơ sở giúp chúng ta giải bài toán phức tạp hơn.

Xem thêm bài giảng:

• Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ bằng phương pháp tọa độ
• Tổng hợp các khái niệm liên quan tới vectơ đầy đủ, dễ hiểu
• Cách chứng minh hai vectơ cùng phương đơn giản
• Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ lớp 10

Ví dụ 1:

Cho đoạn thẳng AB có trung điểm là M. Theo quy tắc trung điểm với một điểm I bất kì ta luôn có:

$\vec{IM}=\frac{1}{2}(\vec{IA}+\vec{IB})=\frac{1}{2}\vec{IA}+\frac{1}{2}\vec{IB}$

Như vậy, ở đây vecto $\vec{IM}$ đã được phân tích theo hai vecto không cùng phương là $\vec{IA}$ và $\vec{IB}$. Trong đó hai giá trị m và n cùng là $\frac{1}{2}$

Ví dụ 2:

Giả sử ở hình trên chúng ta có một vectơ $\vec{DB}$. Yêu cầu của bài toán là phải biểu diễn vectơ $\vec{DB}$ theo hai vectơ không cùng phương là $\vec{DA}$ và $\vec{DC}$.

Hình trên ta có tứ giác ABCD là hình bình hành. Do đó $\vec{DB}=\vec{DA}+\vec{DC}$ hay $\vec{DB}=1. \vec{DA}+1.\vec{DC}$. Như vậy hai số m và n cần tìm ở đây chính là $m=1$ và $n=1$. Giải thích qua như vậy để các bạn có thể hiểu được rõ hơn yêu cầu của bài toán dạng này. Tất nhiên sẽ không có bài toán nào hỏi câu hỏi dễ như vậy, bởi câu hỏi trên chính là lý thuyết rồi.

Vậy để có thể biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương thì các bạn phải sử dụng tới một số quy tắc hay tính chất như: Quy tắc cộng vectơ, quy tắc trừ vectơ, quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm trong tam giác…

Đây là hai ví dụ lấy từ lý thuyết rất điển hình và dễ hiểu giúp các bạn dễ định hướng được cách làm của bài toán này. Từ cơ sở đó chúng ta sẽ làm được những bài toán có yêu cầu cao hơn.

Bài tập 1: Cho tam giác ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC và AB.

a. Phân tích vectơ $\vec{PN}$ theo vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$

b. Biến đổi vectơ $\vec{AB}$ theo $\vec{PN}$ và $\vec{PM}$

Hướng dẫn:

a. Vì P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC, suy ra PN là đường trung bình của tam giác ABC. Ta có:

$\vec{PN}=\frac{1}{2}\vec{BC} =\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB})$

b. $\vec{AB}=\vec{CB}-\vec{CA}=2\vec{NP}-2\vec{PM}$

$=-2\vec{PN}-2\vec{PM}$

Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn vectơ $\vec{AI}$ theo vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AD}$ với $I$ là trung điểm của BO.

Hướng dẫn:

Vì I là trung điểm của BO nên ta có:

$\vec{AI}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AO})$           (1)

Vì O là trung điểm của BD nên ta có:

$\vec{AO}=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AD})$              (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$\vec{AI}=\frac{1}{2}\left[\vec{AB}+\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AD})\right]=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AD})=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AD})=\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{1}{4}\vec{AD}$

Bài tập 3: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI=3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB=2JC.

a. Biến đổi vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{AJ}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$

b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, hãy phân tích vectơ $\vec{AG}$ theo $\vec{AI}$ và $\vec{AJ}$

Hướng dẫn:

Với bài toán này các bạn sẽ phải sử dụng tới quy tắc cộng vectơ hay quy tắc 3 điểm. Ngoài ra các bạn cần phải phân tích được cái giả thiết bài toán cho: 2CI=3BI và 5JB=2JC.

• $2CI=3BI \Rightarrow \frac{CI}{BI}=\frac{3}{2} \Rightarrow CI=\frac{3}{5}BC; BI=\frac{2}{5}BC$
• $5JB=2JC \Rightarrow \frac{JB}{JC}=\frac{2}{5} \Rightarrow JB=\frac{2}{3}BC; JC=\frac{5}{3}BC$

Đẳng thức trên chỉ là mối liên hệ về độ dài, sau này khi các bạn sử dụng cho vectơ thì cần chú ý tới hướng của các vectơ. Ở đây thầy muốn biến đổi theo BC vì từ $\vec{BC}$ có thể phân tích theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ được. Ngoài ra các bạn nên kết hợp với hình vẽ để có thể thấy hướng đi rõ hơn.

a. $\vec{AI}=\vec{AB}+\vec{BI}$

$=\vec{AB}+\frac{2}{5}\vec{BC}$

$=\vec{AB}+\frac{2}{5}(\vec{AC}-\vec{AB})$

$=\vec{AB}+\frac{2}{5}\vec{AC}-\frac{2}{5}\vec{AB}$

$=\frac{3}{5}\vec{AB}+\frac{2}{5}\vec{AC}$

Vậy  $\vec{AI}=\frac{3}{5}\vec{AB}+\frac{2}{5}\vec{AC}$

b. $\vec{AJ}=\vec{AB}+\vec{BJ}$

$=\vec{AB}-\vec{JB}$

$=\vec{AB}-\frac{2}{3}\vec{BC}$

$=\vec{AB}-\frac{2}{3}(\vec{AC}-\vec{AB})$

$=\vec{AB}-\frac{2}{3}\vec{AC}+\frac{2}{3}\vec{AB}$

$=\frac{5}{3}\vec{AB}-\frac{2}{3}\vec{AC}$

Vậy $\vec{AJ}=\frac{5}{3}\vec{AB}-\frac{2}{3}\vec{AC}$

Qua hai ví dụ và ba bài tập trong bài giảng trên có lẽ cũng giúp các bạn định hướng được phương pháp phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. Các bạn cũng có thể luyện tập thêm một số bài tập thầy cho ở ngay dưới đây. Các bạn có thể thảo luận về bài giảng này của thầy trong khung bình luận phía dưới.

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho IB=3IC. Hãy phân tích:

a. Vectơ $\vec{AI}$ theo $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$

b. Gọi J và K lầ lượt là các điểm thuộc cạnh AC và AB sao cho JA=2JC và KB=3KA. Tính $\vec{JK}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$

c. Biến đổi vectơ $\vec{BC}$ theo hai vectơ $\vec{AI}$ và $\vec{JK}$

Đáp số:

$\vec{AI}=-\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{3}{2}\vec{AC}$;  $\vec{JK}=\frac{1}{4}\vec{AB}-\frac{2}{3}\vec{AC}$;   $\vec{BC}=-10\vec{AI}-24\vec{JK}$

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biến đổi các vec tơ sau theo hai vec tơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.

a. $\vec{AI}$ với I là trung điểm của BO

b. $\vec{BG}$ với G là trung điểm của tam giác OCD.

Đáp số: 

a. $\vec{AI}=\frac{3}{4}\vec{AB}+\frac{1}{4}\vec{AC}$

b. $\vec{BG}=-\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{5}{6}\vec{AC}$

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ