Giản đồ Vecto

GIẢI BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU DÙNG GIẢN ĐỒ VÉCTƠ

A. CÁCH VẼ GIẢN ĐỒ VÉC TƠ:

-Xét mạch R,L,C mắc nối tiếp như hình 1:

-Xét mạch R,L,C mắc nối tiếp như hình1.

Các giá trị tức thời của dòng điện là như nhau:

    iR = iL = iC = i  

Các giá trị tức thời của điện áp các phần tử là khác nhau và ta có:

    u = uR +uL+uC

-Việc so sánh pha dao động giữa điện áp hai đầu mỗi phần tử với dòng điện chạy qua nó cũng chính là so sánh pha dao động của chúng với dòng điện chạy trong mạch chính. Do đó trục pha trong giản đồ Frexnel ta chọn là trục dòng điện thường nằm ngang. Các véc tơ biểu diễn các điện áp hai đầu mỗi phần tử và hai đầu mạch điện biểu diễn  trên trục pha thông qua quan hệ pha của nó với cường độ dòng điện

1.Cách vẽ giản đồ véc tơ cùng gốc O :Véc tơ buộc (Qui tắc hình bình hành):

(Chiều dương  ngược chiều kim đồng hồ)

-Ta có: ( xem hình 2)

-Để có một giản đồ véc tơ gọn ta không nên dùng quy tắc hình bình hành (rối hơn hình 2b) mà nên dùng quy tắc đa giác( dễ nhìn hình 3 )

2.Cách vẽ giản đồ véc tơ theo quy tắc đa giác như hình 3 (Véc tơ trượt):

Xét tổng véc tơ: \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{{}}}}=\overrightarrow{{{\text{U}}_{R}}}+\overrightarrow{{{\text{U}}_{L}}}+\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{C}}}}\] Từ điểm ngọn của véc tơ \overrightarrow{{{\text{U}}_{L}}} ta vẽ nối tiếp véc tơ \overrightarrow{{{\text{U}}_{R}}}(gốc của \overrightarrow{{{\text{U}}_{R}}} trùng với ngọn của \overrightarrow{{{\text{U}}_{L}}} ). Từ ngọn của véc tơ \overrightarrow{{{\text{U}}_{R}}}vẽ nối tiếp véc tơ \overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{C}}}} . Véc tơ tổng \overrightarrow{{{\text{U}}_{{}}}}có gốc là gốc của \overrightarrow{{{\text{U}}_{L}}}  và có ngọn là ngọn của véc tơ cuối cùng \overrightarrow{{{\text{U}}_{C}}}(Hình 3)  L - lên.; C – xuống.;  R – ngang

B. Một số Trường hợp thường gặp:

1. Trường hợp 1: UL > UC    j > 0 u sớm pha hơn i

Phương pháp véc tơ trượt ( Đa giác): Đầu tiên vẽ véc tơ \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{R}}}}\], tiếp đến là \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{L}}}}\] cuối cùng là \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{C}}}}\]. Nối gốc của \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{R}}}}\] với ngọn của \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{C}}}}\] ta được véc tơ  \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{{}}}}\] như  hình sau:

Khi cần biểu diễn \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{RL}}}}\];

Vẽ theo quy tắc hình bình hành(véc tơ buộc):

Vẽ theo quy tắc đa giác ( dễ nhìn):

Khi cần biểu diễn  \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{RC}}}}\]:

Vẽ theo quy tắc hình bình hành:

Vẽ theo quy tắc đa giác:

2. Trường hợp 2:  UL < UC j < 0:  u trễ  pha so với  i ( hay i sớm pha hơn u ):

Làm lần lượt như trường hợp 1 ta được các giản đồ thu gọn tương ứng là:

3. Trường hợp đặc biệt - Cuộn cảm có điện trở thuần r:

Vẽ theo đúng quy tắc và lần lượt từ \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{R}}}}\] đến  \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{r}}}}\] đến \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{L}}}}\] đến \[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{C}}}}\]

C. Một số công thức toán học thường áp dụng :

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

b2=ab, c2=ac , h2=b'c' ,b.c=a h, $\frac{1}{h2}$=$\frac{1}{b2}$+$\frac{1}{c2}$

2. Hệ thức lượng trong tam giác:

a. Định lý hàm số sin:   $\frac{a}{\sin \widehat{A}}=\frac{b}{\sin \widehat{B}}=\frac{c}{\sin \widehat{C}}$

b. Định lý hàm số cos:   ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos \widehat{A}$

Chú ý: Thực ra không thể có một giản đồ chuẩn cho tất cả các bài toán điện xoay chiều nhưng những giản đồ được vẽ trên là giản đồ có thể thường dùng . Việc sử dụng giản đồ véc tơ nào là hợp lí còn  phụ thuộc vào kinh nghiệm của từng người. Dưới đây là một số bài tập có sử dụng giản đồ véc tơ làm ví dụ.

 

D.CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH.

Ví dụ 1.Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, tụ điện có điện dung C, điện trở có giá trị R. Hai đầu A, B duy trì một điện áp u = 100$\sqrt{2}$cos 100$\pi t$.Cường độ dòng điện chạy trong mạch có giá trị hiệu dụng là; 0,5A. Biết điện áp giữa hai điểm A,M sớm pha hơn dòng điện một góc $\frac{\pi }{6}$Rad; Điện áp giữa hai điểm M và B chậm pha hơn điện áp giữa A và B một góc $\frac{\pi }{6}$ Rad

a. Tìm R,C?

b. Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch?

c. Viết biểu thức điện áp giữa hai điểm A và M?

Lời giải:

Theo bài ra uAM sớm pha $\frac{\pi }{6}$so với cường độ dòng điện. uMB chậm pha hơn uAB một góc $\frac{\pi }{6}$, mà uMB lại chậm  pha so với i một góc $\frac{\pi }{2}$nên uAB chậm pha $\frac{\pi }{3}$so với dòng điện

Vậy ta có giản đồ vecto sau biểu diện phương trình:\[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{AB}}}}\]=\[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{AM}}}}\]+\[\overrightarrow{{{\text{U}}_{\text{MB}}}}\]

Từ giãn đồ vec to ta có:UAM = UAB.tg$\frac{\pi }{6}$=100/$\sqrt{3}$(V)

     UMB = UC = UAM/sin$\frac{\pi }{6}$ = 200/$\sqrt{3}$ (V).

        UR = UAM.cos$\frac{\pi }{6}$ = 50 (V)

1. Tìm R,C?  R = UR/I = 50/0,5 = 100;          
2. C = $\frac{1}{\omega ZC }$=$\frac{\sqrt{3}}{4\pi }$.10-4 F

b. Viết phương trình i? i = I0cos(100$\pi t$ +$\phi$i )

Trong đó: I0=I.$\sqrt{2}$=0,5$\sqrt{2}$(A); $\phi$i=-$\phi$=$\frac{\pi }{3}$(Rad). Vậy i = 0,5$\sqrt{}$cos(100$\pi$t +$\frac{\pi }{3}$ ) (A)

c.Viết phương trình uAM?   uAM = u0AMcos(100$\pi$t+$\phi$AM)

Trong đó: U0AM =UAM$\sqrt{2}$=100$\sqrt{\frac{2}{3}}$(V); $\phi$AM=$\phi$uAM-i=$\frac{\pi }{6}$+$\frac{\pi }{3}$=$\frac{\pi }{2}$ (Rad). Vậy : biểu thức điện áp giữa hai điểm A và M: uAM = 100$\sqrt{\frac{2}{3}}$cos(100$\pi$t+$\frac{\pi }{2}$ )(V)

Kinh nghiệm:

1. khi vẽ giản đồ véc tơ cần chỉ rỏ: Giản đồ vẽ cho phương trình điện áp nào? Các véc tơ thành phần lệch pha so với trục dòng điện những góc bằng bao nhiêu?
2. Khi viết phương trình dòng điện và  điện áp cần lưu ý: $\phi$được định nghĩa là góc lệch pha của  u đối với i  do vậy thực chất ta có: $\phi$= $\phi$u - $\phi$i  suy ra ta có:

                                                         $\phi$u= $\phi$+ $\phi$i  (1*)

                                                       $\phi$i = $\phi$u - $\phi$   (2*)

-Nếu bài toán cho phương trình u tìm i ta sử dụng (1*). Trong bài trên ý b) thuộc trường hợp này nhưng có $\phi$u= 0 do đó $\phi$i = -$\phi$=-(-$\frac{\pi }{3}$) =$\frac{\pi }{3}$

-Nếu bài toán cho phương trình u tìm i ta sử dụng (1*). Trong bài trên ý b) thuộc trường hợp này nhưng có $\phi$u= 0 do đó $\phi$i = -$\phi$=-(-$\frac{\pi }{3}$) =$\frac{\pi }{3}$

-Nếu bài toán cho phương trình i tìm u của cả mạch hoặc một phần của mạch(Trường hợp ý c) bài này) thì ta sử dụng (2*). Trong ý c) bài này ta có $\phi$AM=$\phi$uAM -$\phi$i=$\frac{\pi }{6}$+$\frac{\pi }{3}$=$\frac{\pi }{2}$

Bài tương tự 1B: Cho mạch điện như hình vẽ. u =\[160\sqrt{2}\cos (100\pi t)(V)\]. Ampe kế chỉ 1A và i nhanh pha hơn hiệu điện thế hai đầu A,B  một góc  $\frac{\pi }{6}$Rad. Vôn kế chỉ 120v và uV nhanh pha $\frac{\pi }{3}$ so với i trong mạch.

1. Tính R, L, C, r. cho các dụng cụ đo là lí tưởng.

        b.Viết phương trình hiệu điện thế hai đầu A,N và N,B

Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ. Điện áp hai đầu có tần số f = 100Hz và giá trị hiệu dụng U không đổi.

1./Mắc vào M,N ampe kế có điện trở rất nhỏ thì pe kế chỉ I = 0,3A.

Dòng điện trong mạch lệch pha 600 so với uAB, Công suất toả nhiệt trong mạch là P = 18W. Tìm R1, L, U

2./ Mắc vôn kế có điện trở rất lớn  vào M,N thay cho Ampe kế thì vôn kế chỉ 60V đồng thời  điện áp trên vôn kế chậm pha 600 so với uAB. Tìm R2, C

Lời giải:

1. Mắc Am pe kế vào M,N ta có mạch điện như hình bên ( R1 nt L)

Áp dụng công thức tính công suất: P = UIcos$\phi$ suy ra: U = P/ Icos$\phi$ 

Thay số ta được: U = 120V.

                 Lại có P = I2R1  suy ra R1 = P/I2.Thay số ta được: R1 = 200

Từ i lệch pha so với uAB 600 và mạch chỉ có R,L nên i nhanh pha so với u vậy ta có:

tan$\frac{\pi }{3}$=$\frac{ZL }{R1}$=$\sqrt{3}$ →L=$\frac{\sqrt{3}}{\pi }$ H

2.Mắc vôn kế có điện trở rất lớn vào M,N ta có mạch như hình vẽ:

Vì R1, L không đổi nên góc lệch pha của uAM so với i trong mạch vẫn không đổi so với khi chưa mắc vôn kế vào M,N vậy: uAM nhanh pha so với i một góc $\phi$AM=$\frac{\pi }{3}$

Từ giả thiết điện áp hai đầu vôn kế uMB trể pha một góc $\frac{\pi }{3}$so với uAB.

Tù đó ta có giãn đồ véc tơ biểu diễn phương trình véc tơ

$\underset{UAB}{\rightarrow}$=$\underset{UAB}{\rightarrow}$+$\underset{UMB}{\rightarrow}$

Từ giãn đồ véc tơ ta có:UAM2 = UAB2+UMB2-2UABUMBcos$\frac{\pi }{3}$.thay số ta được UAM = 60$\sqrt{3}$V.

áp dụng định luật ôm cho đoạn mạch AM ta có:

 I = UAM/ZAM = 0,15$\sqrt{3}$A.

Với đoạn MB Có  ZMB= $\sqrt{R2+ZC2}$ =$\frac{UMB}{I}$=$\frac{60}{0,15$\sqrt{3}$}$ (1)

Với toàn mạch ta có: Z=$\sqrt{(R+R2)2+(ZL-ZC)2}$=$\frac{UAB}{I}$=$\frac{800}{\sqrt{3}}$(2)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được R2=200; ZC = 200/$\sqrt{3}$$\Omega$ , C=$\frac{$\sqrt{3}$}{$4\pi$}$.10-4F

Kinh Nghiệm:

1/Bài tập này cho thấy không phải bài tập nào cũng dùng thuần tuý duy nhất một phương pháp. Ngược lại đại đa số các bài toán ta nên dùng phối hợp nhiều phương pháp giải.

2/Trong bài này khi vẽ giản đồ véc tơ ta sẽ bị lúng túng do không biết uAB nhanh pha hay trể pha so với i vì chưa biết rõ!  Sự so sánh giữa ZL và ZC!. Trong trường hợp này ta vẽ ngoài giấy nháp theo một phương án lựa chọn bất kỳ (Đều cho phép giải bài toán đến kết quả cuối cùng). Sau khi tìm được giá trị của ZL và ZC ta sẽ có cách vẽ đúng. Lúc này mới vẽ giản đồ chính xác!

Ví dụ 3: Cho mạch điện R,L,C mắc nối tiếp như hình vẽ trong đó uAB =U$\sqrt{2}$cos$\omega$t

+ Khi L = L1 =$\frac{1}{\pi }$(H) thì i sớm pha $\frac{\pi }{4}$so với uAB

+ Khi L = L2 = $\frac{2,5 }{$\pi$}$(H) thì UL đạt cực đại

1./ biết C = $\frac{10-4}{2$\pi$}$F tính R, ZC

2./ biết điện áp hai đầu cuộn cảm đạt cực đại = 200V. Xác định điện áp hiệu dụng ở hai đầu đoạn mạch

Lời giải:

 

Bài viết gợi ý:

1. Sóng cơ và các đại lượng đặc trưng phần 3

2. Sóng cơ và các đại lượng đặc trưng phần 2

3. Sóng cơ và các đại lượng đặc trưng phần 1

4. Dao động điều hòa và các đại lượng đặc trưng

5. Bài tập lí thuyết trọng tâm dao động điều hòa

6. Phương pháp đường tròn vecto và bài tập về thời gian

7. Bài tập liên quan đến phương trình dao động điều hòa phần 2