Bộ Công Thức Hoán Vị - Tổ Hợp đầy đủ Nhất Trong Toán Học
Có thể bạn quan tâm
Bộ công thức Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp đầy đủ nhất trong Toán học
Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp là một chuyên đề tưởng khá thú vị, hơn nữa nó cần sự tinh tế nhất định trong cách xử lý bài toán. Các phần công thức và bài toán có lời giải dưới đây chúng tôi xin được gửi tặng các bạn đang yếu phần này và có nhu cầu học bổ trợ để nâng cao kiến thức chuyên đề Tổ hợp xác suất. Các bài tập trong tài liệu được phân dạng rất rõ ràng nên các em dễ dàng tiếp cận và học nhanh. Hi vọng mọi người đều giỏi lên sau khi đọc xong chuyên đề này nhé!
I. Định nghĩa
1. Hoán vị là gì?
Trong toán học, đặc biệt là trong đại số trừu tượng và các lĩnh vực có liên quan, một hoán vị là một song ánh từ một tập hợp hữu hạn X vào chính nó.
Trong lý thuyết tổ hợp, khái niệm hoán vị cũng mang một ý nghĩa truyền thống mà nay ít còn được dùng, đó là mô tả một bộ có thứ tự không lặp
Khái niệm hoán vị diễn tả ý tưởng rằng những đối tượng phân biệt có thể được sắp xếp theo những thứ tự khác nhau và được định nghĩa như sau:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Ví dụ: Với tập hợp gồm các số từ một đến sáu, mỗi cách sắp thứ tự sẽ tạo thành một dãy các số không lặp lại. Một số các hoán vị như thế là: "1, 2, 3, 4, 5, 6", "3, 4, 6, 1, 2, 5", "2, 1, 4, 6, 5, 3", v..v.
Một số hoán vị đặc biệt:
- Hoán vị vòng
- Hoán vị chẵn và lẻ
- Hoán vị Josephus
- Nhóm đối xứng
- Nhóm hoán vị
2. Chỉnh hợp là gì?
Trong toán học, chỉnh hợp
là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự.
Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp thứ tự. Số chỉnh hợp chập K của một tập S được tính theo công thức sau:
\({\displaystyle A(n,k)=A_{n}^{k}={\dfrac {n!}{(n-k)!}}}\)
Ví dụ với tập hợp E = {a, b, c, d}. Chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử trong E là: \({\displaystyle A_{4}^{3}=24.}\)
3. Tổ hợp là gì?
Tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách kết hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một quả cam; một quả lê và một quả cam.
Mới nhất: Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - nắm vững lý thuyết về tổ hợp
4. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp, hoán vị
Nội dung | Tổ hợp | Chỉnh hợp | Hoán vị |
Công thức | \(C^k_n={\displaystyle {\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}}\) | \(A_{n}^{k}={\dfrac {n!}{(n-k)!}}=k!C^k_n\) | \(P_n=n!=(n-k)!A^k_n\) |
Tính chất | Đổi chỗ phần tử không ảnh hưởng đến kết quả | Đổi chỗ phần tử ảnh hưởng đến kết quả | Đổi chỗ phần tử ảnh hưởng đến kết quả |
Bài tập phân biệt | Có bao nhiêu tập hợp gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4. | Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4. | Có bao nhiêu tập hợp gồm 4 chữ số khác nhua được lập từ 4 chữ số 1, 2, 3, 4. |
II. Công thức chỉnh hợp
1. Chỉnh hợp không lặp:
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A ( \(1\le k\le n\)) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
\(A^k_n=n.(n-1)(n-2)...(n-k+1)=\dfrac{n!}{(n-k)!}\)
Khi k = n thì \(A^n_n=p_n=n!\)
2. Chỉnh hợp lặp
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử tập A.
Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử:
\(A^k_n=n^k\)
III. Công thức tổ hợp
1. Tổ hợp không lặp
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k ( \(1\le k\le n\)) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A.
Tổ hợp chập k của n phần tử là số những nhóm gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp các phần tử. Các nhóm được coi là giống nhau nếu chúng có chung thành phần cấu tạo. VD: {1;2;3} và {2;1;3} là giống nhau.
Công thức tính tổ hợp chập k của n:
\({\displaystyle {\binom {n}{k}}={\dfrac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k(k-1)\dots 1}}}\)
Công thức trên có thể viết dưới dạng giai thừa \({\displaystyle {\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}}\), trong đó \({\displaystyle k\leq n}\), và kết quả là 0 khi \( {\displaystyle k>n}\). Tập hợp tất cả các tổ chập k của tập S thường được ký hiệu là \({\displaystyle {\binom {S}{k}}\,}\)
Cách tính tổ hợp
\(C^k_n={\displaystyle {\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}}\)
Tính chất:
- \(C^0_n=C^n_n=1\)
- \(C^k_n= C^{n-k}_n\)
- \(C^k_n=C^{k-1}_{n-1}+C^k_{n-1}\)
- \(C^k_n=\dfrac{n-k+1}{k}C^{k-1}_n\)
2. Tổ hợp lặp:
Cho tập \(A = {a_1,a_2,...,a_n}\)và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tổ hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:
\(C^k_n=C^k_{n+k-1}= C^{m-1}_{n+k-1}\)
Quan tâm: Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - lý thuyết quy tắc nhân
III. Bài tập về quy tắc đếm có đáp án
Bài 1: Đề thi cuối khó môn toán khối 12 ở một trường trung học gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một học sinh dự thi phải thực hiện hai đề thi gồm 1 tự luận và một trắc nghiệm, trong đó tự luận có 12 đề, trắc nghiệm có 15 đề.Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề thi?
Lời giải: Ta có:
Số cách chọ 1 đề tự luận là 12 cách. Số cách chọn 1 đề trắc nghiệm là 15 cáchVì một học sinh phải làm đồng thời 2 loại đề nên có tất cả 12.15 = 180 cách chọn đề thi.
Xem ngay:
- Dạng bài hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp - nắm vững lý thuyết chỉnh hợp
- Câu hỏi 1 trang 47 SGK Đại số
- Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp - Toán lớp 11
Bài 2: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau.
Lời giải:
a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là: \(n = \overline{a_1a_2a_3a_4}\). Để có số n ta phải chọn đồng thời \(a_1\), \(a_2\) , \(a_3\) , \(a_4\) trong đó:
- \(a_1\) có 6 cách chọn
- \(a_2\) có 5 cách chọn
- \(a_3\) có 4 cách chọn
- \(a_4\) có 3 cách chọn
Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm.
b. Gọi số tự chẵn có 5 chữ số cần tìm là \(n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\) trong đó:
- \(a_5\) chỉ có 1 cách chọn (bằng 2)
- \(a_1\) có 5 cách chọn
- \(a_2\) có 4 cách chọn
- \(a_3\) có 3 cách chọn
- \(a_4\) có 2 cách chọn
Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số.
Bài 3: Cho tập A= {0,1,2,3,4,5,6}Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhauLời giải:
1. Tìm Số có 5 chữ số khác nhau đôi một tùy ý là \(n = \overline{a_1a_2a_3a_4a_5}\)
- \(a_1\) có 6 cách chọn(vì a1 ≠ 0)
- \(a_2\) có 6 cách chọn
- \(a_3\) có 5 cách chọn
- \(a_4\) có 4 cách chọn
- \(a_5\) có 3 cách chọn
Vậycó 6.6.5.4.3 = 2160 số2. Tìm số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một và 2, 5 đứng cạnh nhau.Giả sử 2,5 là một chữ số a nào đó do vậy ta đi tìm số có 4 chữ số
Trường hợp 1: \(a_1\)= a
- \(a_2\) có 5 cách chọn
- \(a_3\) có 4 cách
- \(a_4\) có 3 cách
Vậy có 5.4.3 = 60 sốTrường hợp 2: \(a_1\) ≠ a nên
- \(a_1\) có 4 cách chọn ( a1 ≠ 0,2,5)
- có 3 vị trí cho số a giả sử \(a_2\) = a
- \(a_3\) có 4 cách
- \(a_4\) có 3 cách
Vậy có 4.3.4.3 = 204 mà 2,5 có thể đổi chỗ cho nhau nên ta đc 204.2 = 408 số.Vậy YCBT = 2160 - 408 = 1572 cách.
Trên đây là toàn bộ những thông tin cần thiết chúng tôi đã tổng hợp được về topic công thức Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp. Nếu có thắc mắc hay tài liệu tham khảo thú vị vui lòng để lại dưới mục bình luận cũng như chia sẻ thêm cho các bạn đọc cùng biết. Chúng tôi tin chắc rằng, những nguồn thông tin hữu ích này sẽ giúp ích bạn trong việc học tập rất nhiều cũng như đem lại điểm số cao. Chúc các bạn may mắn!
Tags hoán vị chỉnh hợp tổ hợpTừ khóa » Chỉnh Hợp Tổ Hợp Hoán Vị Là Gì
-
Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp Và Bài Tập áp Dụng - Toán 11 - HayHocHoi
-
Lý Thuyết Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp | SGK Toán Lớp 11
-
Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp: Công Thức Và Bài Tập
-
Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp: Công Thức Và Các Dạng Chi Tiết
-
Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp - Minh Nguyen
-
Hoán Vị - Tổ Hợp (Phần 1) - Toán 11 - Thầy Nguyễn Công Chính
-
HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP
-
Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp - Lý Thuyết Toán 11 - Marathon Education
-
Công Thức Tổ Hợp, Chỉnh Hợp, Hoán Vị Và Các Dạng Bài Tập Chi Tiết Từ A
-
[CHUẤN NHẤT] Công Thức Chỉnh Hợp, Tổ Hợp, Hoán Vị - Toploigiai
-
Hoán Vị, Chỉnh Hợp Và Tổ Hợp - Có Nghĩa Là Gì, Ý Nghĩa La Gi 2021
-
Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp | Định Nghĩa, Công Thức & Bài Tập
-
Lý Thuyết Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp Hay, Chi Tiết Nhất - Toán Lớp 11
-
Hoán Vị - Chỉnh Hợp - Tổ Hợp | Kiến Thức Wiki | Fandom