Các Bài Tập Về Dấu Của Tam Thức Bậc Hai - DINHNGHIA.VN

Kiến thức cơ bản tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là gì?

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức dạng \(ax^{2}+bx+c\). Trong đó: \(a, b, c\) là những số cho trước với \(a≠0\).

Nghiệm của tam thức bậc 2

Nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\) được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\)

\(Δ=b^2−4ac\) được gọi là biệt thức

\(Δ‘=b′^2−ac\) được gọi là biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\).

So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số

Tìm hiểu dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc 2 tổng quát

Dấu của tam thức bậc 2 tổng quát được thể hiện qua bảng sau:

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai \(a^2+bx+c\)

Ta có:

• \(a^{2}+bx+c>0,\forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a >0\\ \Delta <0 \end{matrix}\right.\)
• \(a^{2}+bx+c\geq 0,\forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a >0\\ \Delta \leq 0 \end{matrix}\right.\)
• \(a^{2}+bx+c<0,\forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a <0\\ \Delta <0 \end{matrix}\right.\)
• \(a^{2}+bx+c\leq 0,\forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a <0\\ \Delta \leq 0 \end{matrix}\right.\)

Định lý về dấu của tam thức bậc 2

Định lý về dấu của tam thức bậc 2 được minh họa bằng đồ thị như sau:

Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai

Với định lý thuận về dấu của tam thức bậc 2 là “Trong trái, ngoài cùng”

Có:\(f(x)=ax^{2}+bx+c (a\neq 0)\)

Gọi \(x_{1},x_{2}\) là nghiệm của \(f(x)=0\) thì: \(S=x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a};P=x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\)

Với 3 trường hợp: \(Δ<0;Δ=0;Δ>0\)

Định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2

Cho tam thức bậc hai \(f(x)=ax^{2}+bx+c (a\neq 0)\). Nếu có số \(α\) thỏa mãn \(af(α)<0\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1},x_{2}\) và \(x_{1}<\alpha <x_{2}\)

Các bài tập về dấu của tam thức bậc hai

So sánh nghiệm với 1 số cho trước

• \(x_{1}<\alpha <x_{2}\Leftrightarrow af(\alpha )<0\)
• \(\alpha <x_{1} <x_{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0\\ af(\alpha )>0 \\ \frac{S}{2}-\alpha >0 \end{matrix}\right.\)
• \(x_{1} <x_{2}<\alpha \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0\\ af(\alpha )>0 \\ \frac{S}{2}-\alpha <0 \end{matrix}\right.\)
• \(\alpha \notin x_{1} ;x_{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0\\ af(\alpha )>0 \end{matrix}\right.\)

So sánh nghiệm với 2 số cho trước \(α<β\)

• \(x_{1}<\alpha <\beta <x_{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} af(\alpha)<0\\ af(\beta)<0 \end{matrix}\right.\)
• \(x_{1}<\alpha <x_{2}<\beta \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} af(\alpha)<0\\ af(\beta)>0 \end{matrix}\right.\)
• \(\alpha<x_{1} <\beta<x_{2} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} af(\alpha)>0\\ af(\beta)<0 \end{matrix}\right.\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm thuộc khoảng \((α,β)\) khi \(f(\alpha) .f(\beta )<0\)

Tìm điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R

Tìm điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R hoặc 1 miền cho trước, ta giải như sau:

• \(f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>0\\ \Delta <0 \end{matrix}\right.\)
• \(f(x)<0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a<0\\ \Delta <0 \end{matrix}\right.\)
• \(f(x)\geq 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a>0\\ \Delta \leq 0 \end{matrix}\right.\)
• \(f(x)\leq 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a<0\\ \Delta \leq 0 \end{matrix}\right.\)

Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm

• Nếu có \(α\) sao cho \(af(α)<0\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
• Nếu có 2 số \(α,β\) sao cho \(f(α),f(β)<0\) thì phương trình \(f(x)=0\) có nghiệm
• Nếu có 2 số \(α,β\) sao cho \(f(α),f(β)<0, a≠0\) thì phương trình \(f(x)=0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Giải và biện luận phương trình qua lập bảng

Sử dụng phương pháp lập bảng xét dấu:

Ví dụ: Bài 2 (trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu biểu thức: \(f(x)=(4x^{2}-1)(-8x^{2}+x-3)(2x+9)\)

Cách giải:

Như vậy, bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp những kiến thức hữu ích liên quan đến chủ đề dấu của tam thức bậc hai. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang