Các Bài Tập Về Vecto Riêng, Giá Trị Riêng, Chéo Hóa Ma Trận Và Lời Giải

Các bài tập về vecto riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận và lời giải 9 8K 88 TẢI XUỐNG 88

Đang tải... (xem toàn văn)

XEM THÊM TẢI XUỐNG 88 1 / 9 trang TẢI XUỐNG 88

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	2,13 MB

Nội dung

Nguyễn Thị Vân BÀI TẬP TOÁN III (ĐSTT) – BUỔI "Mathematics is like love, a simple idea, but it can get complicated." PHẦN 7: + Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng + Chéo hoá ma trận + Ứng dụng chéo hóa ma trận việc tính lũy thừa ma trận Tìm giá trị riêng, vectơ riêng ma trận đây: ; −1 ; 1 −2 ; 0 1 −1 ; −2 0 1 −1 ; −1 Đs: + Giá trị riêng là: 5, -1 vectơ riêng tương ứng: (1, 1); (1, -2) + Giá trị riêng là: 2; vectơ riêng là: (1, 1) + Chỉ có giá trị riêng số phức: 2+ i, - i; vectơ riêng tương ứng (1, 1+i), (1, 1- i) + Các giá trị riêng là: 1, 4, -2 vectơ riêng (1, 0, 0), (1,1,1), (-1, -1, 5) + Giá trị riêng -1, vectơ riêng (1, 0, 1); 2.(5T337) Tìm giá trị riêng ma trận A, B A + B : ⎡1 0⎤ A=⎢ ⎥, ⎣1 ⎦ ⎡1 1⎤ ⎡2 1⎤ A + B = ⎢ B=⎢ ⎥ ⎥ ⎣0 1⎦ ⎣1 ⎦ Giá trị riêng A + B (bằng) (không bằng) giá trị riêng A cộng với giá trị riêng B? Đs: A có giá trị riêng λ = 1, B có giá trị riêng λ = 1, A + B có giá trị riêng là: 1; ⎡1 ⎤ (2T337) (a) Hãy tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận A = ⎢ ⎥ ⎣2 3⎦ (b) Điền vào chỗ trống (+) A + I có _như A Các giá trị riêng với 1 Nguyễn Thị Vân −1 (+) A có A Các giá trị riêng (+) A2009 − A + I có A Các giá trị riêng Đs: (a) λ = -1, vectơ riêng tương ứng: (-2, 1) ; λ =5, vectơ riêng tương ứng (1, -1) ⎡1 ⎤ Cho ma trận A = ⎢ Tìm tất giá trị riêng ma trận A4 + A + 2I ⎥ ⎣2 2⎦ Đs: 2, 86 ( 6T337) Tìm giá trị riêng ma trận A, B, AB BA: ⎡1 0⎤ A=⎢ ⎥, 1 ⎣ ⎦ ⎡1 1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡2 1⎤ , AB = ⎢ BA = ⎢ B=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ 1 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Giá trị riêng AB (bằng) (không bằng) giá trị riêng A nhân với giá trị riêng B Giá trị riêng AB (bằng) (không bằng) giá trị riêng BA? Đs: Các giá trị riêng AB BA là: !! ! !! ! ! ; ! ⎡2 2⎤ C = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ Kiểm tra tính chéo hóa ma trận Đs: Ma trận C có đủ vecto riêng độc lập tuyến tính nên chéo hóa ⎡2 1⎤ Chéo hoá ma trận A tính A2009 với A = ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦ Đs: A có giá trị riêng Với vecto riêng tương ứng (-1, 1) (1, 1) 𝐴!""# = 3!""# + 3!""# − 3!""# − 3!""# + ⎡2 4⎤ −1 Cho ma trận A = ⎢ ⎥ Phân tích A thành S ΛS ⎣ ⎦ Chéo hoá ma trận B tính S Λ k S −1 để chứng minh công thức tính Bk sau ⎡3k ⎡3 ⎤ k có B=⎢ B = ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ ⎣0 k Đs: ⎡1 ⎤ ⎡3 0⎤ ⎡1 ⎤ ⎡3k B =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎣0 −1⎦ ⎣0 2⎦ ⎣0 −1⎦ ⎣ k 3k − 2k ⎤ ⎥ 2k ⎦ 3k − 2k ⎤ ⎥ 2k ⎦ Nguyễn Thị Vân PHẦN + Tính trực giao bốn không gian tuyến tính + Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn phương pháp trực giao hoá Gram-Schmidt 10 Cho hai vecto x = (-1, -1, 1, 1) y = (1, 1, 5, -3) Chứng minh x y trực giao Tính ||x||, ||y|| 11 (17.t236) (a) Cho S không gian R3 chứa vectơ không, tìm S⊥ (b) Cho S không gian sinh (1, 1, 1), tìm S⊥ (c) Cho S không gian sinh (2, 0, 0) (0, 0, 3), tìm S⊥ Đs: (a) S⊥ = R3 ; (b) A = [1 1] ⇒ S = C ( AT ) ⇒ S ⊥ = N ( A) có sở là: {(-1,1,0),(-1,0,1)}; ⎡2 0 ⎤ (c) A = ⎢ ⇒ S = C ( AT ) ⇒ S ⊥ = N ( A) có sở là: {(0,1,0)} ⎥ ⎣0 ⎦ 12 Cho S không gian sinh véc tơ (1,2,3) (0,1,2) Tìm sở số chiều không gian S ⊥ Đs: Cơ sở S ⊥ {(1, - 2, 1)} dim S ⊥ =1 13 Giả sử P không gian nghiệm phương trình x – 3y – 4z = (a) Tìm sở P (b) Tìm vectơ u∈P vectơ v∈ P⊥ cho u + v = (6, 4, 5) Đs: (a) s1 = (3,1,0); s2 = (4,0,1) ⎡7 ⎤ ⎡ −1⎤ (b) u = ⎢1 ⎥ ; v = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 14 Cho vectơ v1 = (1, 0, -2, 1), v2 = (0, 1, 3, −2) Ký hiệu W không gian R4 gồm tất tổ hợp tuyến tính v1, v2 (a) Hãy tìm W⊥ (b) Tính số chiều W⊥ ⎡1 − ⎤ T ⊥ ⊥ Đs: AT = ⎢ ⎥ ; Ta thấy W = C(A) nên W =N( A ) Số chiều W − ⎣ ⎦ 16 (18.t280) Hãy tìm vectơ trực giao A, B, C phương pháp Gram-Schmidt từ a, b , Nguyễn Thị Vân c: a = (1, −1, 0, 0) b = (0, 1, −1, 0) c = (0, 0, 1, −1) Đs: (+) A = (1, -1, 0, 0); B = (1/2, 1/2, -1, 0); C = (1/3, 1/3, 1/3, -1) 16 Cho vectơ v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (2, 1, 0, 0), v3 = (3, 2, 1, 0) (a) Chứng minh v1, v2, v3 độc lập tuyến tính (b) Dùng phương pháp trực giao hóa Gram- Schmidt xây dựng tập trực giao {u1, u2, u3} từ {v1, v2, v3} 17 S không gian nghiệm phương trình: x1 + x2 − x3 − x4 = (a) Tìm sở S? Dùng phương pháp Gram – Schmidt xây dựng sở trực giao từ sở (b) Tìm sở phần bù trực giao S ⊥ ? Đs: (a) Cơ sở S { ( −2,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1) } Cơ sở trực giao S ( −2,1,0,0 ); ( ) b) Cơ sở S ⊥ = C AT ⎛1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎜ , , 1, ⎟ ; ⎜ , , − , 1⎟ ⎝5 ⎠ ⎝6 ⎠ ⎡1 ⎤ ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦ ⎡1 ⎤ 18 Tìm sở trực chuẩn không gian cột ma trận A = ⎢0 5⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ !" ! u Đs: Cơ sở trực chuẩn C(A) !"1 = (1,0,0 ) ; u1 !" ! u2 !" ! = ( 0, 0, 1) ; u2 !" ! u3 !" ! = ( 0, 1, ) u3 HƯỚNG DẪN GIẢI: det( A − λ I ) = ⇔ (1 − λ ) = ⇔ λ = 1; * det( B − λ I ) = ⇔ (1 − λ )2 = ⇔ λ = 1; det( A + B − λ I ) = ⇔ (2 − λ ) − = ⇔ λ = 1, λ = Nguyễn Thị Vân * Giá trị riêng A + B không giá trị riêng A cộng với giá trị riêng B Các giá trị riêng A nghiệm phương trình det(A - λ I) = + det( A − λ I ) = 1− λ = λ − 4λ − = ⇔ λ = −1; λ = 3−λ ⎡ ⎤⎡ x ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ −2 ⎤ λ = −1 : ( A − (−1)I ) = ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥→ x= ⎢ ⎥; y ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎡-4 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0⎤ λ = : ( A − 5I ) x = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇔ x = ⎣ −2⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0⎦ ⎡1⎤ y ⎢ ⎥ ( y ≠ 0) ⎣-1⎦ Các giá trị riêng A + I nghiệm phương trình det(A+ I - λ I) = + det( A + I − λ I ) = 2−λ = λ − 6λ = ⇔ λ = 0; λ = 4−λ ⎡ ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⇔ x = ⎣ ⎦ ⎣ y ⎦ ⎣0 ⎦ ⎡1⎤ λ = 6, x = y ⎢ ⎥ ( y ≠ 0) ⎣-1⎦ λ = 0:⎢ ⎡-2 ⎤ y ⎢ ⎥ ( y ≠ 0); ⎣1⎦ A+I có vectơ riêng vectơ riêng A Các giá trị riêng giá trị riêng A cộng với det ( A − λ I ) = → λ1 = 0; λ2 = ! ! ! λ , v giá trị riêng véc tơ riêng nên thỏa mãn Av = λ v ! "! ! 4 Đặt µ = λ + λ + ta có µ v = ( λ + λ + 2) v = A + A + 2I v nên µ = λ + λ + ( ) giá trị riêng ma trận A4 + A + 2I Do µ1 = 2; µ2 = 86 5 Nguyễn Thị Vân det( A − λ I ) = ⇔ (1 − λ ) = ⇔ λ = 1; * det( B − λ I ) = ⇔ (1 − λ ) = ⇔ λ = 1; det( AB − λ I ) = ⇔ λ − 3λ + = ⇔ λ = (3 − 5) / 2, λ = (3 − 5) / 2; det( BA − λ I ) = ⇔ λ − 3λ + = ⇔ λ = (3 − 5) / 2, λ = (3 − 5) / * Giá trị riêng AB không giá trị riêng A nhân với giá trị riêng B Giá trị riêng AB giá trị riêng BA 2−λ det(C − λ I ) = ⇔ 2 2−λ 2 2−λ = ⇔ λ = 0, λ = − ⎡ − x2 − x3 ⎤ ⎡ −1⎤ ⎡ −1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +λ = : ( A − I ) x = ⇔ x = ⎢ x2 ⎥ = x2 ⎢ ⎥ + x3 ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡1⎤ 2 +λ = − : ( A + I ) x = ⇔ x = x1 ⎢⎢1⎥⎥ ( x1 ≠ 0) 3 ⎢⎣1⎥⎦ ( x2 x3 ≠ 0) Ma trận C chéo hóa có đủ véc tơ riêng độc lập det( A − λ I ) = − λ det( A − λ I ) = 2−λ 1 = (2 − λ )2 − = ⇔ λ = 1, λ = 3; 2−λ = (2 − λ ) − = ⇔ λ = 1, λ = 3; 2−λ ⎡-1⎤ +λ = 1: x = ⎢ ⎥ ; ⎣1⎦ ⎡1⎤ +λ = : x = ⎢ ⎥ ⎣1⎦ ⎡ −1 1⎤ ⎡1 ⎤ ⎡ −1/ 1/ ⎤ ⎡ −1 1⎤ ⎡12009 2009 A=⎢ ⇒ A = ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎣ 1⎦ ⎣0 3⎦ ⎣ 1/ 1/ ⎦ ⎣ ⎦⎣ A2009 = ⎤ ⎡ −1/ 1/ ⎤ ⎥⎢ ⎥ 32009 ⎦ ⎣ 1/ 1/ ⎦ ⎡1 + 32009 32009 − 1⎤ ⎢ ⎥ ⎣32009 − 32009 + 1⎦ 10 a) S⊥ = R3 b) A = [1 1] ⇒ S = C ( A ) ⇒ S = N ( A) có sở là: {(-1,1,0),(-1,0,1)} T Nguyễn Thị Vân ⊥ ⎡2 0 ⎤ c) A = ⎢ ⇒ S = C ( AT ) ⇒ S ⊥ = N ( A) có sở là: {(0,1,0)} ⎥ ⎣0 ⎦ ⎡1 12 A = ⎢⎢ ⎢⎣ 0⎤ ⎥⎥ 2⎥⎦ S ⊥ = N ( AT ) ⎡1 ⎤ AT = ⎢ ⎥ ⎣0 2⎦ AT y = → x3 = → x2 = −2 → x1 = Vậy sở S ⊥ {(1, - 2, 1)} dim S ⊥ =1 13 a)Gọi A = [1 − − 4] ⇒ Cơ sở P= N(A ) gồm nghiệm đặc biệt : s1 = (3,1,0); s2 = (4,0,1) ⎡6 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎡4⎤ ⎡1 ⎤ b) P = C ( A ) có sở {(1,-3,-4)} Từ ⎢ 4⎥ = a ⎢1 ⎥ + b ⎢0 ⎥ + c ⎢ −3⎥ suy a =1,b =1, c = -1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣5 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ −4⎥⎦ ⊥ T ⎡7 ⎤ ⎡ −1⎤ ⎢ ⎥ Do u = ; v = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 14 Ta thấy W = C(A) nên W⊥ =N( AT ) ⎡1 − ⎤ T ⊥ AT = ⎢ ⎥ nên nghiệm tự x3 , x Nghiệm đặc biệt A sở W − ⎣ ⎦ s1 = (2, −3,1,0); s2 = ( −1, 2,0,1) Số chiều W⊥ 15 +) a = (1, -1, 0, 0) +) B = xA + b = (x, - x + 1, -1, 0) B.A = ⇒ 2x – = ⇒ x = 1/2 Vậy B = (1/2, 1/2, -1, 0) +) C= yA + zB + c = ( y + z/2, - y + z/2, - z + 1, -1) CA = CB = nên y = 0, z = 2/3 Vậy C = (1/3, 1/3, 1/3, -1) Nguyễn Thị Vân ⎡1 ⎢0 16 a) Xét ma trận A = [v1 ,v ,v ] = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 ⎤ ⎥ ⎥ r(A) = nên véc tơ v1, v2, v3 độc ⎥ ⎥ ⎦ lập tuyến tính b) !" ! !" ! u1 = v1 !" ! T !" ! !" ! !# ! u1 v !!" u2 = v - !" ! T !" ! u1 u1 u1 !" ! T !!" !" ! T !" !" ! !" ! u1 v !" u2 v !" u3 = v - !" ! T !" ! u1 - " T " u u1 u1 u u 17 (a) S = N ( A ) Cơ sở S tập tất nghiệm đặc biệt phương trình { ( −2,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1) } !" ! !" ! u = v = ( −2,1,0,0 ) 1 !" ! T !" ! !" ! !# ! u1 v !!" ⎛1 ⎞ −2 u2 = v - !" −2,1,0,0 ) = ⎜ , , 1, 0⎟ ( ! T !" ! u1 = (1,0,1,0 ) ⎝5 ⎠ u1 u1 !" ! T !!" !" ! T !" !" ! !" ! u1 v !" u2 v !" u3 = v - !" ! T !" ! u1 - " T " u u1 u1 u u ⎛1 ⎞ ⎛1 1 ⎞ −2 = (1,0,0,1) −2,1,0,0 ) - ⎜ , , 1, 0⎟ = ⎜ , , − , 1⎟ ( 6⎝5 5 ⎠ ⎝6 ⎠ ( ) b) Cơ sở S ⊥ = C AT ⎡1 ⎤ ⎢2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦ 18 Do r (A) =3 nên không gian cột A có sở !" ! !" ! !# ! v1 = (1, 0,0 ) ; v = ( 2,0,3) ; v = ( 4,5, ) !" ! !" ! u1 = v1 = 1,0,0 !" ! u2 = 2,0,3 1,0,0 = 0, 0, !" ! 18 u3 = 4,5,6 1,0,0 0,0,3 = 0, 5, ( Nguyễn Thị Vân ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( !" ! u Cơ sở trực chuẩn C(A) !"1 = (1,0,0 ) ; u1 ) !" ! u2 !" ! = ( 0, 0, 1) ; u2 !" ! u3 !" ! = ( 0, 1, ) u3

Ngày đăng: 10/10/2016, 21:58

Xem thêm

• Các bài tập về vecto riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận và lời giải

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

• các bài tập về kế toán quản trị
• bài tập về định lý giá trị trung bình