Các Bài Toán Nâng Cao Lớp 6 Về Lũy Thừa Hay Nhất - TopLoigiai

Mục lục nội dung Những kiến thức cần nhớ về lũy thừaCác dạng toán về lũy thừa thường gặpCác bài toán nâng cao lớp 6 về lũy thừa

Những kiến thức cần nhớ về lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

an = a.a…..a (n thừa số a) (n khác 0)

a được gọi là cơ số.

n được gọi là số mũ.

2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

am. an = am+n

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số

am : an = am-n (a ≠ 0 ; m ≠ 0)

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

4. Lũy thừa của lũy thừa

(am)n = am.n

Ví dụ: (32)4 = 32.4 = 38

5. Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số

am . bm = (a.b)m

ví dụ : 33 . 43 = (3.4)3 = 123

6. Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

am : bm = (a : b)m

ví dụ : 84 : 44 = (8 : 4)4 = 24

7. Một vài quy ước khác

1n = 1 ví dụ : 12017 = 1

a0 = 1 ví dụ : 20170 = 1

Các dạng toán về lũy thừa thường gặp

1. Dạng 1: Viết gọn một tích, một phép tính dưới dạng một lũy thừa

Phương pháp giải: Áp dụng công thức:  an = a.a…..a (n thừa số a) (n khác 0)

2. Dạng 2: Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định cơ số và số mũ.

Bước 2: Áp dụng công thức: am. an = am+n và am : an = am-n (a ≠ 0 ; m ≠ 0, m > n)

3. Dạng 3: So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa

Phương pháp giải: Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể làm theo:

Cách 1: Đưa về cùng cơ số là số tự nhiên, rồi so sánh hai số mũ

Nếu m > n thì am > an

Cách 2: Đưa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số

Nếu a>b thì am>bm

Cách 3: Tính cụ thể rồi so sánh

Ngoài ra ta còn sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu a < b; b < c thì a < c

4. Dạng 4: Tìm số mũ của một lũy thừa trong một đẳng thức

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa về hai luỹ thừa của cùng một cơ số.

Bước 2: Sử dụng tính chất 

Với a≠0; a≠1, nếu am = an thì m = n (a,m,n∈N)

5. Dạng 5: Tìm cơ số của lũy thừa

Phương pháp giải:

Cách 1: Dùng định nghĩa lũy thừa

a.a.....a = an (n thừa số a)Cách 2: Sử dụng tính chất

Với a≠0; a≠1, nếu am = an thì m = n (a,m,n∈N)

Các bài toán nâng cao lớp 6 về lũy thừa

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

a)     37.275.813

b)    1006.10005.100003

c)     365 : 185

d)    24.55 + 52.53

e)     1254 : 58

f)     81.(27 + 915) : (35 + 332)

Giải:

a) 37.275.813 = 37.(33)5.(34)3 = 37.315.312 = 37+15+12 = 334.

b) Tương tự.

c) 365 : 185 = (36 : 18)5 = 25 = 32.

d) 55 + 52.53 = 24.55 + 55 = 55.(24 + 1) = 55.25 = 55.52 = 57.

e) 1254 : 58 = (53)4 : 58 = 512 : 58 = 512-8 = 54 = 625.

f) 81.(27 + 915) : (35 + 332) = 34.(33 + 330) : [35(1 + 327)]

= 34.33.(1 + 327) : [35.(1 + 327)]

= 37 : 35 = 37-5 = 32 = 9.

Hoặc: 81.(27 + 915) : (35 + 332) = 34.(33 + 330) : (35 + 332)

= 32.(33.32 + 330.32) : (35 + 332)

= 32(35 + 332) : (35 + 332)

= 32 = 9.

Bài 2: Tính giá trị biểu thức (Thu gọn các tổng sau):

a) A = 2 + 22 + 23 + … + 22017

b) B = 1 + 32 + 34 + … + 32018

c) C = – 5 + 52 – 53 + 54 – … – 52017 + 52018

Giải:

a) Ta có: A = 2 + 22 + 23 + … + 22017

2A = 2.( 2 + 22 + 23 + … + 22017)

2A = 22 + 23 + 24 + … + 22018

2A – A = (22 + 23 + 24 + … + 22018) – (2 + 22 + 23 + … + 22017)

A = 22018 – 2

 

b) B = 1 + 32 + 34 + … + 32018

32.B = 32.( 1 + 32 + 34 + … + 32018)

9B = 32 + 34 + 36 + … + 32020

9B – B = (32 + 34 + 36 + … + 32020) – (1 + 32 + 34 + … + 32018)

8B = 32020 – 1

B = (32020 – 1) : 8.

 

c) C = – 5 + 52 – 53 + 54 – … – 52017 + 52018

5C = 5.( – 5 + 52 – 53 + 54 – … – 52017 + 52018)

5C = -52 + 53 – 54 + 55 – … – 52018 + 52019

5C + C = (-52 + 53 – 54 + 55 – … – 52018 + 52019) + (- 5 + 52 – 53 + 54 – … – 52017 + 52018)

6C = 52019 – 5

C = (52019 – 5) : 6

Bài 3: So sánh:

a) 536 và 1124

b) 32n và 23n (n ∈ N*)

c) 523 và 6.522

d) 213 và 216

e) 2115 và 275.498

f) 7245 – 7244 và 7244 – 7243

Giải:

a) 536 = 512 (53)12 = 12512; 1124 = 112.12 = (112)12 = 12112

Mà 12512 > 12112 => 536 > 12112

b) Tương tự

c) Ta có: 523 = 5.522 < 6.522

d) Tương tự.

e) 2115 = (7.3)15 = 715.315

275.498 = (33)5.(72)8 = 315.716 = 7.315.715 > 315.715 = 2115

=> 275.498 > 2115.

f) 7245 – 7244 = 7244.(72 – 1) = 7244.71

7244 – 7243 = 7243.(72 – 1) = 7243.71

Mà 7243.71 < 7244.71 nên suy ra: 7244 – 7243 < 7245 – 7244

Bài 4: Tìm số tự nhiên x, biết rằng:

a)     1 + 3 + 5 + … + x = 1600 (x là số tự nhiên lẻ).

Tự giải.

b)    2x + 2x + 3 = 144

Giải:

Ta có: 2x + 2x + 3 = 144

=> 2x + 2x.23 = 144

=> 2x.(1 + 8) = 144

=> 2x.9 = 144

=> 2x = 144 : 9 = 16 = 24

=> x = 4.

 

c) (x – 5)2016 = (x – 5)2018

=> (x – 5)2018 – (x – 5)2016 = 0

=> (x – 5)2016.[(x – 5)2 – 1] = 0

=>   x – 5 = 0 hoặc x – 5 = 1 hoặc x – 5 = -1

=>  x =  5 hoặc x = 6 hoặc x = 4 (Thỏa mãn x ∈ N).

Đ/s: x ∈ {4; 5; 6}.

 

d)     (2x + 1)3 = 9.81

Tự trình bày.

Bài 5: Tìm tập hợp các số tự nhiên x, biết rằng lũy thừa 52x – 1 thỏa mãn điều kiện:

100 < 52x – 1 < 56.

Giải:

Ta có: 100 < 52x – 1 < 56

=> 52 < 100 < 52x-1 < 56

=> 2 < 2x – 1 < 6

=> 2 + 1 < 2x < 6 + 1

=> 3 < 2x < 7

Vì x ∈ N nên suy ra: x ∈ {2; 3} là thỏa mãn.

Bài 6:Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lý.

a) (217 + 172).(915 – 315).(24 – 42)

b) (82017 – 82015) : (82104.8)

c) (13 + 23 + 34 + 45).(13 + 23 + 33 + 43).(38 – 812)

d) (28 + 83) : (25.23)

Giải:

a) (217 + 172).(915 – 315).(24 – 42) = (217 + 172).(915 – 315).(16 - 16) = 0

b) (82017 – 82015) : (82104.8) = 82015.(82- 1) : 82015 = 64 – 1 = 63

c) (13 + 23 + 34 + 45).(13 + 23 + 33 + 43).(38 – 812) = (13 + 23 + 34 + 45).(13 + 23 + 33 + 43).(38 - 38) = 0

d) (28 + 83) : (25.23) = (28+ 29) : 28 = 28 : 28 + 29 : 28 = 1 + 2 = 3