Các Bài Toán Về Cực Trị Hàm Bậc 3 - Blog Của Thư

Video Cực trị hàm bậc 3

Cực trị hàm số bậc 3 là một dạng toán cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán 12 và thi THPT Quốc Gia. Vậy cực trị hàm số bậc 3 là gì? Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3? Lý thuyết và Bài tập về cực trị của hàm số bậc 3… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

• Cực trị của hàm số là gì?
• Cực trị của hàm số bậc 3 là gì?
• Bài tập về cực trị hàm đa thức bậc 3
• Dạng 1: Tìm điểm cực trị hàm số bậc 3
• Dạng 2: Tìm ( m ) để hàm số bậc 3 có 2 cực trị
• Dạng 3: Tìm ( m ) để hai cực trị thỏa mãn điều kiện
• Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3
• Video liên quan

Cực trị của hàm số là gì?

Cho hàm số ( y= f(x) ) liên tục và xác định trên khoảng ( (a;b) ) và điểm ( x_0 in (a;b) )

Liên quan: cực trị hàm bậc 3

• Hàm số ( f(x) ) đạt cực đại tại ( x_0 ) nếu tồn tại số ( h>0 ) sao cho ( f(x) < f(x_0) ) với mọi ( x in (x_0-h;x_0+h) ) và (x neq x_0)
• Hàm số ( f(x) ) đạt cực tiểu tại ( x_0 ) nếu tồn tại số ( h>0 ) sao cho ( f(x) > f(x_0) ) với mọi ( x in (x_0-h;x_0+h) ) và (x neq x_0)

Định lý:

Cho hàm số ( y=f(x) ) liên tục, xác định và có đạo hàm cấp 2 trên khoảng ( (a;b) ). Khi đó

• Nếu (left{begin{matrix} f'(x_0)=0\ f”(x_0)>0 end{matrix}right. Rightarrow) ( x_0 ) là điểm cực tiểu của hàm số ( f )
• Nếu (left{begin{matrix} f'(x_0)=0\ f”(x_0)>> Cực trị của hàm số là gì? Cực trị của một số hàm số

  Cực trị của hàm số bậc 3 là gì?

  Cho hàm số bậc 3 ( y=f(x) = ax^3+bx^2+cx+d )

  Đạo hàm ( y’=f’(x) = 3ax^2+2bx+c )

  • Hàm số ( f(x) ) có cực trị (Leftrightarrow f(x) ) có cực đại và cực tiểu

  (Leftrightarrow f'(x)=0) có hai nghiệm phân biệt (Leftrightarrow Delta ‘ =b^2-3ac >0)

  • Hàm số ( f(x) ) không có cực trị ( Leftrightarrow Delta ‘ =b^2-3ac leq 0)

  Bài tập về cực trị hàm đa thức bậc 3

  Dạng 1: Tìm điểm cực trị hàm số bậc 3

  Đây là dạng bài cơ bản nhất, chỉ cần sử dụng Định lý ở mục trên là có thể tìm được cực đại, cực tiểu của hàm số.

  Ví dụ:

  Tìm cực trị của hàm số : ( f(x) =x^3-3x^2-2 )

  Cách giải:

  Tập xác định (D=mathbb{R})

  Ta có :

  ( f’(x) = 3x^2-6x =3x(x-2) )

  Vậy (f'(x)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=0\x=2end{array}right.)

  Mặt khác :

  ( f’’(x) =6x-6 )

  ( Rightarrow f’’(0) =-60 Rightarrow ) hàm số đạt cực đại tại điểm ( (2;-6) )

  Dạng 2: Tìm ( m ) để hàm số bậc 3 có 2 cực trị

  Bài toán: Tìm ( m ) để hàm số ( y=f(x;m) =ax^3+bx^2+cx+d ) có ( 2 ) điểm cực trị với ( a,b,c,d ) là các hệ chứa ( m )

  Cách làm:

  • Bước 1: Tập xác định (D=mathbb{R}). Tính đạo hàm ( y’ = 3ax^2+2bx+c )
  • Bước 2: Hàm số có ( 2 ) cực trị (Leftrightarrow Delta ‘ =b^2-3ac >0)
  • Bước 3: Giải bất phương trình trên, tìm ra điều kiện của ( m )

  Ví dụ:

  Tìm ( m ) đề hàm số ( f(x) = y=2x^{3}+3(m-1)x^{2}+6(m-2)x 1 ) có hai điểm cực trị

  Cách giải:

  Xét ( y=2x^{3}+3(m-1)x^{2}+6(m-2)x 1 ) có tập xác định ( D=mathbb {R} )

  Ta có :

  ( y’=6x^2+6(m-1)x+6(m-2) )

  Để hàm số có hai cực trị thì ( y’=0 ) có hai nghiệm phân biệt

  (Leftrightarrow x^2+(m-1)x+(m-2)=0) có hai nghiệm phân biệt

  (Leftrightarrow Delta = (m-1)^2-4(m-2)>0)

  (Leftrightarrow m^2-6m+9=(m-3)^2>0)

  (Leftrightarrow m neq 3)

  Dạng 3: Tìm ( m ) để hai cực trị thỏa mãn điều kiện

  Bài toán: Tìm ( m ) để hàm số ( y=f(x;m) =ax^3+bx^2+cx+d ) có ( 2 ) điểm cực trị ( x_1;x_2 ) thỏa mãn điều kiện ( K ) với ( a,b,c,d ) là các hệ chứa ( m )

  Cách làm:

  • Bước 1: Tập xác định (D=mathbb{R}). Tính đạo hàm ( y’ = 3ax^2+2bx+c )
  • Bước 2: Hàm số có ( 2 ) cực trị (Leftrightarrow Delta ‘ =b^2-3ac >0). Giải bất phương trình này tìm được ( m in D_1 )
  • Bước 3: Gọi ( x_1;x_2 ) là hai nghiệm của phương trình ( y’=0 ). Theo Vi-ét ta có :

  (left{begin{matrix} S=x_1+x_2=frac{-b}{3a}\ P=x_1.x_2=frac{c}{3a} end{matrix}right.)

  • Bước 4: Biến đổi điều kiện yêu cầu của đề bài về dạng ( S ) và ( P ). Từ đó giải ra tìm được ( m in D_2 )
  • Bước 5: Kết luận các giá trị của ( m ) thỏa mãn (m=D_1cap D_2)

  Ví dụ:

  Cho hàm số ( y= 4x^3+mx^2-3x ). Tìm ( m ) để hàm số đã cho có hai điểm cực trị ( x_1; x_2 ) thỏa mãn ( x_1=-4x_2 )

  Cách giải:

  Tập xác định (D=mathbb{R})

  Đạo hàm : ( y’=12x^2+2mx-3 )

  Để hàm số có hai cực trị thì phương trình ( y’=0 ) có hai nghiệm phân biệt

  (Leftrightarrow Delta’=m^2+36 >0)

  Điều này luôn đúng với mọi (m in mathbb{R})

  Vậy ( y ) luôn có hai điểm cực trị có hoành độ ( x_1;x_2 ) thỏa mãn

  (left{begin{matrix} x_1+x_2 = frac{-m}{6}\ x_1x_2=frac{-1}{4} end{matrix}right.) ( theo Vi-ét)

  Vì ( x_1=-4x_2 ) nên thay vào hệ trên ta có :

  (left{begin{matrix} -3x_2 = frac{-m}{6}\ -4x_2^2=frac{-1}{4} end{matrix}right.)

  (Leftrightarrow left{begin{matrix} m=18x_2\ x_2^2=frac{1}{16} end{matrix}right.)

  (Leftrightarrow left[begin{array}{l} left{begin{matrix} x_2=frac{1}{4}\ m=frac{9}{2} end{matrix}right.\ left{begin{matrix} x_2=frac{-1}{4}\ m=-frac{9}{2} end{matrix}right. end{array}right.)

  Vậy (m=frac{9}{2}) hoặc (m=-frac{9}{2})

  Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc 3

  Đây là một số công thức giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán trắc nghiệm một cách nhanh chóng mà không cần phải tính toán phức tạp.

  Cho hàm số ( y= ax^3+bx^2+cx+d ) có hai điểm cực trị phân biệt là ( A,B ) . Khi đó:

  • Phương trình đường thẳng ( AB ) :

  (frac{2}{3}(c-frac{b^2}{3a})x+(d-frac{bc}{9a}))

  Xem chi tiết >>> Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị hàm số bậc 3

  • Độ dài đoạn thẳng ( AB ) :

  (AB=sqrt{frac{4e(4e^2+1)}{a}}) với (e=frac{b^2-3ac}{9a})

  Bài viết trên đây của banmaynuocnong.com đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chuyên đề cực trị hàm số bậc 3 cũng như các phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề cực trị hàm số bậc 3. Chúc bạn luôn học tốt!

  Xem thêm >>> Tìm m để hàm số có 3 cực trị: Lý thuyết và Các dạng bài tập

  Cập nhật lúc: 22:00 05-06-2015 Mục tin: LỚP 12

  I Tóm tắt lý thuyết :

  II.Các dạng bài tập :

  Dạng 1 : Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị :

  Bài tập : 

  Bài 1 : Tìm m để hàm số : \(y=\frac{1}{3}x^{3}+mx^{2}+(m+6)x-(2m+1)\) có cực đại cực tiểu 

  Giải : Hàm số có cực đại cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt 

  \(x^{2}+2mx+(m+6)=0\) có hai nghiệm phân biệt  \(\Delta '=m^{2}-m-6>0\)

  m < -2 hoặc m > 3 

  Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

  Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

  >> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.