Các Bất đẳng Thức Trong Tam Giác Vuông Và Tam

cân

Bài toán 1.17. Cho góc vuông xAy. B là điểm trên tia Ax, C là điểm trên tia Ay (B 6= A;C 6= A). Chứng minh rằng AB +√

3AC ≤ 2BC.

Giải.

Hình 1.17

Trong góc xAy vẽ tia Az sao cho

d

xAz = 300, do đó yAzd = 600. Vẽ BH⊥Az, CK⊥Az(H, K ∈ Az), Az cắt BC tại I. Xét ∆ABH có AHB\ = 900,BAH\ = 300 nên là nửa tam giác đều, cạnh AB. Suy ra BH = 12AB mà BH ≤

BI. Do đó

Xét ∆ACK có \AKC = 900,\CAK = 600 nên là nửa tam giác đều, cạnh AC. Suy ra CK = AC √ 3 2 mà CK ≤IC. Do đó √ 3AC ≤ 2IC. (1.50) Cộng theo vế (1.49) và (1.50) được AB+√

3AC ≤ (BI +CI) = 2BC. Bài toán 1.18. Cho tam giác ABC cân tại A.D là điểm trên cạnh BC,

E là điểm trên trên tia đối của tia CB sao cho CE = BD. Chứng minh rằng AD+ AE > 2AB.

Giải.

Hình 1.18

Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BD. Áp dụng định lí 1.26 ta có AD + AF > 2AB. Mặt khác, xét ∆ABF và ∆ACE có AB = AC,ABF[ = ACE[ (vì ABC[ =

[

ACB,ABC[ +ABF[ = ACE[+ACB[ = 1800), BF = CE. Do đó ∆ABF = ∆ACE (c.g.c). Suy ra AF = AE. Vậy AD+ AE > 2AB.

Bài toán 1.19. (Iran, 2005) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là giao điểm của phân giác trong của góc Abvới cạnh BC và Ia là tâm của đường tròn bàng tiếp cạnh BC của tam giác ABC. Chứng minh rằng

AD

DIa ≤ √2−1.

Giải.

Hình 1.19

Gọi E, F lần lượt là điểm tiếp xúc của đường tròn bàng tiếp với các cạnh AB, AC tương ứng. Ta có ra = IaE = AF = F Ia = p, trong đó p là nửa chu vi của tam giác ABC. Hơn nữa, DIAD

a = ha ra. Vì aha = bc, ta có DIAD a = ha ra = apbc = bac4R 4aRr2 1 rp = 4Rr a2 . Vì 2R = a và 2r = b + c − a nên

AD DIa = b+ca−a = b+ac − 1. Mặt khác a = √ b2 +c2 ≥ q (b+c)2 2 = b√+c 2 hay b+c ≤a√ 2. Do đó DIAD a ≤ √2−1.

Bài toán 1.20. (Rumani, 2007) Cho ABC là một tam giác vuông cân tại A. Với điểm P tùy ý nằm trong tam giác, xét đường tròn tâm A và bán kính AP cắt các cạnh AB và AC tại M và N, tương ứng. Hãy xác định vị trí của P để M N +BP + CP đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải.

Hình 1.20

Xét điểm Q trên đường trung trực của BC thỏa mãn AQ = AP. Gọi S là giao điểm của BP và tiếp tuyến với đường tròn tại Q. Khi đó SP +P C ≥

SC. Do đó BP + P C = BS + SP + P C ≥ BS +SC.

Mặt khác, BS+SC ≥ BQ+QC, nên BP + P C đạt giá trị nhỏ nhất nếu P ≡ Q.

Gọi T là trung điểm của M N. Vì ∆AM Q cân và M T là một trong những chiều cao của nó, khi đó M T = ZQ trong đó Z là chân đường vuông

góc hạ từ Q xuống AB. Khi đó M N + BQ+ QC = 2(M T + QC) = 2(ZQ+QC) đạt giá trị nhỏ nhất khi Z, Q, C thẳng hàng và điều này có nghĩa CZ là chiều cao. Bằng phép đối xứng, BQ cũng là chiều cao và do đó P là trực tâm.