Các Công Thức đạo Hàm Và đạo Hàm Lượng Giác đầy đủ Nhất

Có thể bạn quan tâm

Quantrimang.com - Kiến Thức Công Nghệ Khoa Học và Cuộc sống Thông báo

Công nghệ Lập trình Cấu trúc dữ liệu và giải thuật Các công thức đạo hàm và đạo hàm lượng giác đầy đủ nhất

PP

Dưới đây là bảng công thức đạo hàm, đạo hàm lượng giác, các hàm lượng giác và công thức đạo hàm cao cấp đầy đủ nhất giúp các bạn dễ dàng ôn lại những kiến thức toán học về đạo hàm đã được học một cách nhanh nhất để giải bài tập nhanh hơn, hiệu quả hơn.

Đạo hàm

Đạo hàm là gì? Định nghĩa đạo hàm
- 1. Định nghĩa đạo hàm
- 2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
- 3. Mối liên hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục
- 4. Ý nghĩa của đạo hàm
Quy tắc cơ bản của đạo hàm
Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp
Bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản
Công thức đạo hàm lượng giác
Đạo hàm cấp cao
Công thức Lepnit
Bảng nguyên hàm

Đạo hàm là gì? Định nghĩa đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm

Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( a,b \right)$ , được gọi là có đạo hàm tại ${{x}_{0}}\in \left( a,b \right)$ nếu giới hạn sau tồn tại hữu hạn:

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

và giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ . Ta kí hiệu là $f'\left( {{x}_{0}} \right)$ tức là:

$f'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

Chú ý:

Đại lượng $\Delta x = x - {x_0}$ được gọi là số gia của đối số ${x_0}$ .
Đại lượng $\Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)$ $= f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$ được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy:

$y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm ${{x_0}}$ bằng định nghĩa ta có quy tắc sau đây:

Phương pháp 1:

Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0, tính:

$\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$

Bước 2: Lập tỉ số $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

Bước 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}$ .

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$
Nếu $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm

Phương pháp 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$
Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm.

3. Mối liên hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ thì $f\left( x \right)$ liên tục tại ${{x}_{0}}$ .

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiên cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm ${{x}_{0}}$ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ .

Đạo hàm bên trái $f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

Đạo hàm bên phải $f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}$

Hệ quả:

Hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${{x}_{0}}\Leftrightarrow \exists f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right),f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right):f'\left( {{x}_{0}}^{+} \right)=f'\left( {{x}_{0}}^{-} \right)$

4. Ý nghĩa của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ tại điểm ${{x}_{0}}$ là hệ số góc tiếp tuyến tại điểm $M\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ đó.

Ta có phương trình tiếp tuyến tại điểm M:

$y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)$

Quy tắc cơ bản của đạo hàm

Giả sử $u = u\left( x \right);v = v\left( x \right)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:

$\begin{matrix} \left( {u + v} \right)\prime = u\prime + v\prime \hfill \\ \left( {u - v} \right)\prime = u\prime - v\prime \hfill \\ \left( {uv} \right)\prime = u\prime v + uv\prime \hfill \\ \left( {\dfrac{u}{v}} \right)\prime = \dfrac{{u\prime v - v\prime u}}{{{v^2}}},v = v\left( x \right) \ne 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta có một số công thức đạo hàm mở rộng như sau:

$\left( {{u}_{1}}\pm {{u}_{2}}\pm ...\pm {{u}_{n}} \right)'={{u}_{1}}'\pm {{u}_{2}}'\pm ...\pm {{u}_{n}}'$
$\left( u.v.w \right)'=\acute{u}.v.w+u.v'.w+u.v.w'$
$\left[ k.u\left( x \right) \right]'=k.u\left( x \right)'\left( k=const \right)$
${{\left[ \frac{u\left( x \right)}{v\left( x \right)} \right]}^{'}}=\frac{u'\left( x \right).v\left( x \right)-v'\left( x \right).u\left( x \right)}{v{{\left( x \right)}^{2}}}$
$\left[ u'\left( x \right) \right]'=n{{u}^{n-1}}\left( x \right)u'\left( x \right)$
$\left[ \frac{a}{u\left( x \right)} \right]'=-\frac{a.u'\left( x \right)}{{{u}^{2}}\left( x \right)}$

Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Nếu $y=y(u(x))$ thì $y'(x)=y'(u)\times u'(x)$

Bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản

Đạo hàm sơ cấp	Đạo hàm hàm số hợp
$a'=0,a=const$
$\left( {{x}^{a}} \right)'=a.{{x}^{a-1}}$	$\left(u^a\right)^{\prime}=a \cdot u^{\prime} \cdot u^{a-1}$
$\left( \sqrt{x} \right)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\left( \sqrt[n]{x} \right)'=\frac{1}{n\sqrt[n]{{{x}^{n-1}}}}$	$\left( \sqrt[n]{u} \right)'=\frac{u'}{n\sqrt[n]{{{u}^{n-1}}}}$
$(\sin x)^{\prime}=\cos x$	$(\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u$
$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$	$(\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u$
$(\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}=1+\tan ^2 x$	$(\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^2 u}=u^{\prime} \cdot\left(1+\tan ^2 u\right)$
$(\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^2 x}=-\left(1+\cot ^2 x\right)$	$(\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^2 u}=-u^{\prime} \cdot\left(1+\cot ^2 u\right)$
$\log _a x^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$	$\log _a u^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}$
$\ln x{ }^{\prime}=\frac{1}{x}$	$\ln u^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$
$a^x{ }^{\prime}=a^x \cdot \ln a$	$a^u{ }^{\prime}=a^u \cdot u^{\prime} \cdot \ln a$
$e^x{}^{\prime}=e^x$	$\left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u$
$\left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)=\frac{\left\|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right\|. x^2+2\left\|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right\| .x+\left\|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right\|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2}$

Công thức đạo hàm lượng giác

$(\sin x)’=\cos x$

$(\cos x)’=−\sin x$

$(\tan x)′=(\frac{\cos x}{\sin x})′=\frac{\cos^2x+\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$

$(\cot x)′=(\frac{\sin x}{\cos x})′=\frac{-\sin^2x−\sin2x}{\cos^2x}=−(1+\cot^2x)$

$\left(\sec\left(x\right)\right)'=\frac{1}{\left(\cos x\right)'}=\frac{\sin\ x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos x}\times\frac{\sin x}{\cos x}=\sec\left(x\right)\times\tan x$

$\left(\csc\left(x\right)\right)'=\left(\frac{1}{\sin x}\right)'=-\frac{\cos x}{\sin^2x}=-\frac{1}{\sin x}\times\frac{\cos x}{\sin x}=-\csc\left(x\right)\cot\left(x\right)$

$\left(\arcsin\left(x\right)\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\left(\arccos\left(x\right)\right)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\left(\arctan\left(x\right)\right)'=\frac{1}{x^2+1}$

Đạo hàm cấp cao

$(x^m)^{\left(n\right)}=m(m−1)...\ (m−n+1).x^{\left(m−n\right)}$

$(\ln x)^{(n)}=\frac{(−1)^{n−1}(n−1)!}{x^n}$

$(a^x)^{(n)}=a^x.\ln^na\ \ \ \ với\ a0.$

$(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2})$

$\cos x)^{(n)}=\cos(x+n\frac{\pi}{2})$

$\left(e^x\right)^{(n)}=e^x$

$(\frac{1}{x})^{(n)}=(−1)^n.n!.x^{−n−1}$

Công thức Lepnit

Nếu u và v là các hàm khả vi n lần thì: ${{\left( u.v \right)}^{\left( n \right)}}=\sum{\begin{matrix} n \\ k=0 \\ \end{matrix}}C_{n}^{k}.{{u}^{k}}.{{v}^{\left( n-k \right)}}$ với $C_{n}^{k}$ kí hiệu tổ hợp chập k của n phần tử

$C_{n}^{k}=\frac{n\left( n-1 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}$

Bảng nguyên hàm

$\int x^a d x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+c,(a \neq-1)$

$\int \sin x d x=-\cos x+c$

$\int \cos x d x=\sin x+c$

$\int \frac{1}{\cos ^2 x} d x=\tan x+c$

$\int \frac{1}{\sin ^2 x} d x=-\cot x+c$

$\int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+c$

$\int a^x d x=\frac{a^x}{\ln a}+c$

$\int e^x d x=e^x+c$

$\int(a x+b)^a d x=\frac{1}{a} \cdot \frac{(a x+b)^{a+1}}{a+1}+c$

$\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+c$

$\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+c$

$\int \frac{1}{\cos ^2(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+c$

$\int \frac{1}{\sin ^2(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+c$

$\int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+c$

$\int a^{a x+\beta} d x=\frac{a^{a x+\beta}}{\alpha \cdot \ln a}+c$

$\int e^{a x+b} d x=\frac{1}{a} e^{a x+b}+c$

Thứ Tư, 18/09/2024 16:00 3,4 ★ 76 👨 403.074

Bạn nên đọc

Công thức tính chiều cao hình thang: thường, vuông, cân
Số thập phân là gì? Các phép tính với số thập phân
Công thức tính diện tích hình bình hành, chu vi hình bình hành
Số chính phương là gì? Cách nhận biết và ví dụ chi tiết
Trực tâm là gì? Xác định trực tâm trong tam giác
Công thức tính vận tốc, quãng đường, thời gian chính xác
Căn bậc 2, cách tính căn bậc 2
Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
Diện tích hình trụ: Diện tích xung quanh hình trụ, diện tích toàn phần hình trụ

0 Bình luậnSắp xếp theo Mặc địnhMới nhấtCũ nhất

Xóa Đăng nhập để Gửi

Cấu trúc dữ liệu và giải thuật

Lập trình

SQL
Python
Cơ sở dữ liệu
AngularJS
Cấu trúc dữ liệu và giải thuật

Cũ vẫn chất

Hướng dẫn cách chơi, lên đồ Allain mùa S1 2023
Hôm qua
Cách chuyển đổi slide Canva sang PowerPoint
Hôm qua
'Hack' tựa game khủng long của Google Chrome để chú T-Rex của bạn trở nên bất tử và max speed
Hôm qua 57
Ngày 23/3 là ngày gì?
Hôm qua
Hướng dẫn toàn tập chỉnh sửa ảnh trong GIMP
Hôm qua
Cách thiết lập font chữ mặc định và kích thước font chữ trên Excel
Hôm qua
4 lời khuyên giúp bạn đặt câu hỏi thông minh
Hôm qua
Cách tạo Header, Footer khác nhau trên Word
Hôm qua
Cách tìm trang web đã mở trên chế độ ẩn danh
Hôm qua 2
Nhà nghỉ gần đây, tìm khách sạn gần đây trên điện thoại nhanh nhất
Hôm qua

Xem thêm

Công nghệ
- Ứng dụng
- Hệ thống
- Game - Trò chơi
- iPhone
- Android
- Linux
- Nền tảng Web
- Đồng hồ thông minh
- macOS
- Chụp ảnh - Quay phim
- Phần cứng
- Thủ thuật SEO
- Kiến thức cơ bản
- Raspberry Pi
- Dịch vụ ngân hàng
- Lập trình
- Dịch vụ công trực tuyến
- Dịch vụ nhà mạng
Học CNTT
- Quiz công nghệ
- Microsoft Word 2016
- Microsoft Word 2013
- Microsoft Word 2007
- Microsoft Excel 2019
- Microsoft Excel 2016
- Hàm Excel
- Microsoft PowerPoint 2019
- Microsoft PowerPoint 2016
- Google Sheets
- Học Photoshop
- HTML
- Lập trình Scratch
- Học Python
- CSS và CSS3
- Học SQL
- Lập trình C
- Lập trình C++
- Lập trình C#
- SQL Server
- Bootstrap
- JavaScript
- Học PHP
- Unix/Linux
Download
- Ứng dụng văn phòng
- Tải game
- Tiện ích hệ thống
- Ảnh, đồ họa
- Internet
- Bảo mật, Antivirus
- Họp, học trực tuyến
- Video, phim, nhạc
- Giao tiếp, liên lạc, hẹn hò
- Hỗ trợ học tập
- Máy ảo
Tiện ích
Khoa học
- Khoa học vui
- Khám phá khoa học
- Bí ẩn - Chuyện lạ
- Chăm sóc Sức khỏe
- Khoa học Vũ trụ
- Khám phá thiên nhiên
- Phát minh Khoa học
Điện máy
- Tủ lạnh
- Tivi
- Điều hòa
- Máy giặt
- Quạt các loại
Cuộc sống
- Kỹ năng
- Món ngon mỗi ngày
- Làm đẹp
- Nuôi dạy con
- Chăm sóc Nhà cửa
- Du lịch
- DIY - Handmade
- Mẹo vặt
- Giáng sinh - Noel
- Tết 2025
- Quà tặng
- Giải trí
- Là gì?
- Nhà đẹp
- TOP
Video
- Công nghệ
- Video Khoa học
Ô tô, Xe máy
- Giấy phép lái xe
Làng Công nghệ
- Tấn công mạng
- Chuyện công nghệ
- Công nghệ mới
- Trí tuệ nhân tạo (AI)
- Trí tuệ Thiên tài
- Bình luận công nghệ
- Tổng hợp

Giới thiệu | Điều khoản | Bảo mật | Hướng dẫn | Ứng dụng | Liên hệ | Quảng cáo | Facebook | Youtube | DMCAGiấy phép số 362/GP-BTTTT. Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/06/2016. Cơ quan chủ quản: CÔNG TY CỔ PHẦN MẠNG TRỰC TUYẾN META. Địa chỉ: 56 Duy Tân, Dịch Vọng Hậu, Cầu Giấy, Hà Nội. Điện thoại: 024 2242 6188. Email: info@meta.vn. Chịu trách nhiệm nội dung: Lê Ngọc Lam.Bản quyền © 2003-2024 QuanTriMang.com. Giữ toàn quyền. Không được sao chép hoặc sử dụng hoặc phát hành lại bất kỳ nội dung nào thuộc QuanTriMang.com khi chưa được phép.

Từ khóa » Dạo Hàm Sin

PP

Đạo hàm

Đạo hàm là gì? Định nghĩa đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

3. Mối liên hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục

4. Ý nghĩa của đạo hàm

Quy tắc cơ bản của đạo hàm

Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản

Công thức đạo hàm lượng giác

Đạo hàm cấp cao

Công thức Lepnit

Bảng nguyên hàm

Bạn nên đọc

Công thức tính chiều cao hình thang: thường, vuông, cân

Số thập phân là gì? Các phép tính với số thập phân

Công thức tính diện tích hình bình hành, chu vi hình bình hành

Số chính phương là gì? Cách nhận biết và ví dụ chi tiết

Trực tâm là gì? Xác định trực tâm trong tam giác

Công thức tính vận tốc, quãng đường, thời gian chính xác

Căn bậc 2, cách tính căn bậc 2

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Diện tích hình trụ: Diện tích xung quanh hình trụ, diện tích toàn phần hình trụ

Cũ vẫn chất

Hướng dẫn cách chơi, lên đồ Allain mùa S1 2023

Cách chuyển đổi slide Canva sang PowerPoint

'Hack' tựa game khủng long của Google Chrome để chú T-Rex của bạn trở nên bất tử và max speed

Ngày 23/3 là ngày gì?

Hướng dẫn toàn tập chỉnh sửa ảnh trong GIMP

Cách thiết lập font chữ mặc định và kích thước font chữ trên Excel

4 lời khuyên giúp bạn đặt câu hỏi thông minh

Cách tạo Header, Footer khác nhau trên Word

Cách tìm trang web đã mở trên chế độ ẩn danh

Nhà nghỉ gần đây, tìm khách sạn gần đây trên điện thoại nhanh nhất

Liên Hệ