Các Dạng Bài Tập Mạch điện Xoay Chiều R L C Mắc Nối ... - HayHocHoi

Có thể bạn quan tâm

Vậy mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp có những dạng bài tập nào, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết dưới đây, sau đó vận dụng giải các bài tập và ví dụ một cách chi tiết nhé.

I. Tóm tắt lý thuyết mạch xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp

1. Khảo sát mạch R, L, C mắc nối tiếp (cuộn dây thuần cảm).

mạch xoay chiều rlc mắc nối tiếp cuộn dây thuần cảm

- Giả giử dòng điện trong mạch có biểu thức: i=I0cosωt

- Ta có:

$small u_{R}=U_{0R}cosomega t$

$small u_{L}=U_{0L}cosleft ( omega t+frac{pi }{2} ight )$

$small u_{C}=U_{0C}cosleft ( omega t-frac{pi }{2} ight )$

⇒ u = uR + uL + uC.

• Điện áp: $small U^{2}=U_{R}^{2}+U_{LC}^{2}=U_{R}^{2}+left ( U_{L}-U_{C} ight )^{2}$ $small dpi{100} small Rightarrow U=sqrt{U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C}})^{2}$

• Tổng trở: $small Z=frac{U}{I}=frac{sqrt{U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C}})^{2}}{I}=sqrt{R^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}$

• Định luật Ôm (Ohm): $small I=frac{U}{Z}=frac{U_{R}}{R}=frac{U_{C}}{Z_{C}}=frac{U_{L}}{Z_{L}}=frac{U_{RL}}{Z_{RL}}=...$

• Độ lệch pha giữa u và i: $small varphi =varphi _{u}-varphi _{i}$ ta có: $small tanvarphi=frac{U_{LC}}{U_{R}}=frac{U_{L}-U_{C}}{U_{R}}=frac{Z_{L}-Z_{C}}{R}$

° Nếu ZL > ZC : Mạch có tính cảm kháng (khi đó u sớm pha hơn i).

° Nếu ZL < ZC : Mạch có tính dung kháng (khi đó u trễ pha hơn i).

* Lưu ý: Để viết biểu thức điện áp thành phần (R, L, C) ta cần so sánh độ lệch của nó với pha của dòng điện.

2. Khảo sát mạch R, Lr, C mắc nối tiếp (cuộn dây KHÔNG thuần cảm).

mạch R Lr C nối tiếp cuộn dây không thuần cảm

- Đặt RRr = R + r là tổng trở thuần của mạch, khi đó ta có:

• Điện áp: $small dpi{100} small U^{2}=U_{Rr}^{2}+U_{LC}^{2}=left (U_{R}+U_{r} ight )^{2}+left ( U_{L}-U_{C} ight )^{2}$

• Tổng trở: $small Z=frac{U}{I}=frac{sqrt{left (U_{R}+U_{r} ight )^{2}+(U_{L}-U_{C}})^{2}}{I}$ $small =sqrt{left (R+r ight )^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}$

• Định luật Ôm (Ohm): $small dpi{100} small I=frac{U}{Z}=frac{U_{R}}{R}=frac{U_{r}}{r}=frac{U_{C}}{Z_{C}}=frac{U_{L}}{Z_{L}}=...$

• Độ lệch pha giữa u và i: $small varphi =varphi _{u}-varphi _{i}$ ta có: $small tanvarphi=frac{U_{LC}}{U_{Rr}}=frac{U_{L}-U_{C}}{U_{R}+U_{r}}=frac{Z_{L}-Z_{C}}{R+r}$

3. Hiện tượng cộng hưởng điện

• Điều kiện cộng hưởng điện: $small Z_{L}=Z_{C}Rightarrow Lomega =frac{1}{Comega }Leftrightarrow omega ^{2}.LC=1$

• Khi đó: hiệu điện thế u cùng pha với dòng điện i

• Cường độ dòng điện i là cực đại khi hiện tượng cộng hưởng xảy ra: $small I_{max}=frac{U}{R}$ hoặc $small I_{max}=frac{U}{R+r}$ (nếu cuộn cảm không thuần)

II. Các dạng bài tập mạch điện xoay chiều R, L, C mắc nối tiếp và cách giải

° Dạng 1: Viết biểu thức hiệu điện thế u và cường độ dòng điện i

* Phương pháp:

- Xác định các giá trị I0, U0, ω

- Xác định pha ban đầu φu, φi

- Viết phương trình u, i

♦ Ví dụ 1: Mạch điện xoay chiều gồm một điện trở thuần có R = 25Ω, một cuộn dây thuần cảm có L=(0,75/π)H và một tụ điện có điện dung C=(2.10-4/π)F, được mắc nối tiếp. Biết rằng dòng diện qua mạch có dạng i=5cos100πt (A). Viết biểu thức điện áp tức thời giữa hai đầu mạch.

° Hướng dẫn:

- Ta có: R = 25Ω;

ZL = ωL = 100π.(0,75/π)Ω = 75Ω.

$small Z_{C}=frac{1}{Comega }=frac{1}{frac{2}{10000pi }.100pi }=50(Omega )$

$small Rightarrow Z=sqrt{R^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}$ $small =sqrt{25^{2}+(75-50)^{2}}=25sqrt{2}(Omega )$

$small Rightarrow U_{0}=I_{0}Z=5.25sqrt{2}=125sqrt{2}(V)$

- Ta có: $small tanvarphi =frac{Z_{L}-Z_{C}}{R}=frac{75-50}{25}=1$ $small Rightarrow varphi =frac{pi }{4}Rightarrow varphi _{u}=varphi _{i}+frac{pi }{4}$

$small Rightarrow u=125sqrt{2}cos(100pi t+frac{pi }{4})(V)$

♦ Ví dụ 2: Mạch điện xoay chiều gồm một điện trở thuần có R = 40Ω, một cuộn dây thuần cảm có L=(1/π)H và một tụ điện có điện dung C=(10-4/0,6π)F, được mắc nối tiếp. Biết rằng điện áp qua mạch là small u=100sqrt{2}cos100pi t (V). Viết biểu thức dòng điện tức thời giữa hai đầu mạch.

° Hướng dẫn:

- Ta có: R = 40Ω;

ZL = ωL = 100π.(1/π)Ω = 100Ω.

$small dpi{100} small Z_{C}=frac{1}{Comega }=frac{1}{frac{1}{0,6.10000pi }.100pi }=60(Omega )$

$small Rightarrow Z=sqrt{R^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}$ $small =sqrt{40^{2}+(100-60)^{2}}=40sqrt{2}(Omega )$

$small Rightarrow I_{0}=frac{U_{0}}{Z}=frac{100sqrt{2}}{40sqrt{2}}=2,5(A)$

- Ta có: $small tanvarphi =frac{Z_{L}-Z_{C}}{R}=frac{100-60}{40}=1$ $small Rightarrow varphi =frac{pi }{4}Rightarrow varphi _{i}=varphi _{u}-frac{pi }{4}$

(ZL > ZC: hiệu điện thế u nhanh pha hơn cường độ dòng diện i, hay cường độ dòng diện trễ pha (chậm pha) hơn hiệu điện thế)

$small Rightarrow i=2,5cos(100pi t-frac{pi }{4})(A)$

° Dạng 2: Tính toán các đại lượng của mạch xoay chiều U, I, P, φ, R, L, C

* Phương pháp:

♦ Dựa vào các công thức như:

◊ Các đại lượng hiệu dụng: $small I=frac{I_{0}}{sqrt{2}};$ $small U=frac{U_{0}}{sqrt{2}};$ small P=UIcosvarphi

- Nếu mạch chỉ có R thì điện năng biến thành nhiệt năng, khi đó: $small P=R.I^{2}$

◊ Hệ số công suất: $small cosvarphi =frac{R+r}{Z}=frac{R+r}{sqrt{(R+r)^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}}$

◊ Khi mạch có cộng hưởng thì: $small Z_{min}=R+r;$ small varphi =0; $small I_{max}=frac{U}{R+r};$ và $small P_{max}=frac{U^{2}}{R+r}$

◊ Công thức điện áp: $small U^{2}=U_{R}^{2}+(U_{L}-U_{C})^{2}$ nên $small U_{R}leq U$

◊ Dùng công thức tanφ để xác định cấu tạo đoạn mạch 2 phần tử

- Nếu $small varphi =pm frac{pi }{2}$ mạch xoay chiều có L và C.

- Nếu $small varphi > 0;varphi eq frac{pi }{2}$ mạch có R và L.

- Nếu $small dpi{100} small varphi < 0;varphi eq -frac{pi }{2}$ mạch có R và C.

♦ Ví dụ 1: Một đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C mắc nối tiếp. Cường độ dòng điện tức thời đi qua mạch có biểu thức small dpi{100} small i=0,2sqrt{2}cos100pi t (A). Khi đó điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở, cuộn dây và tụ điện có giá trị tương ứng là UR = 20 (V); UL = 40 (V); UC = 25 (V). Tính R, L, C, tổng trở Z của đoạn mạch và điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch.

° Hướng dẫn:

- Ta có, cường độ dòng điện hiệu dụng: $small I=frac{I_{0}}{sqrt{2}}=frac{0,2sqrt{2}}{sqrt{2}}=0,2(A)$

$small dpi{100} small Rightarrow R=frac{U_{R}}{I}=frac{20}{0,2}=100(Omega );$

$small Z_{L}=frac{U_{L}}{I}=frac{40}{0,2}=200(Omega )$ $small Rightarrow L=frac{Z_{L}}{omega }=frac{200}{100pi }=frac{2}{pi }(H)$

$small Z_{C}=frac{U_{C}}{I}=frac{25}{0,2}=125(Omega )$ $small Rightarrow C=frac{1}{omega.Z_{C}}= frac{1}{100pi.125 }=80.10^{-6}(F)$

- Tổng trở: $small Z=sqrt{R^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}$ $small =sqrt{100^{2}+(200-125)^{2}}=125(Omega )$

⇒ U = I.Z = 0,2.125 = 25(V).

♦ Ví dụ 2: Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện R, L, C nối tiếp một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi (cuộn dây thuần cảm ) thì hiệu điện thế hiệu dụng trên các phần tử R, L, C đều bằng nhau và bằng 20V. Khi tụ bị nối tắt thì hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu điện trở sẽ là bao nhiêu?

° Hướng dẫn:

- Ban đầu mạch gồm RLC nối tiếp nên ta có:

$small I=frac{U}{Z}=frac{U_{R}}{R}=frac{U_{L}}{Z_{L}}=frac{U_{C}}{Z_{C}}$

- Theo bài ra thì: UR = UL = UC = U = 20(V) ⇒ R = ZL

- Khi nối tắt (đoản mạch) tụ thì đoạn mạch chỉ gồm R nối tiếp L thuần cảm, ta có:

$small I'=frac{U_{R}^{'}}{R}=frac{U_{L}^{'}}{Z}=frac{U}{Z}$

- Vì R = ZL nên U'R = U; mà

$small U'=U=sqrt{U_{R}^{'2}+U_{L}^{'2}}=sqrt{U_{R}^{'2}+U_{R}^{'2}}=U_{R}^{'}sqrt{2}$

$small Rightarrow U_{R}^{'}=frac{U}{sqrt{2}}=frac{20}{sqrt{2}}=10sqrt{2}(V)$

♦ Ví dụ 3: Đặt vào hai đầu một tụ điện điện áp xoay chiều có biểu thức u = U0cosωt. Điện áp và cường độ dòng điện qua tụ điện tại thời điểm t1, t2 tương ứng lần lượt là: u1= 60 (V); $small i_{1}=sqrt{3}$ (A); $small u_{2}=sqrt{2}$ (V) và $small i_{2}=sqrt{2}$ (A) . Biên độ của điện áp giữa hai bản tụ và cường độ dòng điện qua bản tụ là bao nhiêu?

° Hướng dẫn:

- Ta có: u = U0cosωt ⇒ $small dpi{100} small u^{2}=U_{0}^{2}cos^{2}omega t$ (*)

$small i=frac{U_{0}}{Z_{C}}cosleft ( omega t+frac{pi }{2} ight )=-frac{U_{0}}{Z_{C}}sinomega t$

$small Rightarrow (i.Z_{C})^{2}=U_{0}^{2}sin^{2}omega t$ (**)

- Cộng vế với vế của (*) với (**) ta có: $small (i.Z_{C})^{2}+u^{2}=U_{0}^{2}$ (***)

⇒ Thay giá trị vào (***) ta được: $small left ( sqrt{3}.Z_{C} ight )^{2}+60^{2}=left ( sqrt{Z_{C}} ight )^{2}+(60sqrt{2})^{2}$

$small Rightarrow Z_{C}=60(Omega )$ $small Rightarrow U_{0}=120(V)$ $small Rightarrow I_{0}=frac{U_{0}}{Z_{C}}=frac{120}{60}=2(A)$

♦ Ví dụ 4: Đặt điện áp $small u=U_{0}sqrt{2}cosomega t$ (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn cảm thuần mắc nối tiếp với một biến trở R. Ứng với hai giá trị R1 = 20(Ω) và R2 = 80(Ω) của biến trở thì công suất tiêu thụ trong đoạn mạch đều bằng 400 (W). Tính giá trị của U.

° Hướng dẫn:

- Ứng với giá trị R1 ta có: $small P_{1}=U.I_{1}.cosvarphi =U.frac{U}{Z_{1}}.frac{R_{1}}{Z_{1}} =frac{U^{2}.R_{1}}{R_{1}^{2}+Z_{L}^{2}}$ (*); với $small Z_{1}=sqrt{R_{1}^{2}+Z_{L}^{2}}$

- Ứng với giá trị R2 ta có: $small P_{2}=U.I_{2}.cosvarphi =U.frac{U}{Z_{2}}.frac{R_{2}}{Z_{2}} =frac{U^{2}.R_{2}}{R_{2}^{2}+Z_{L}^{2}}$ (**); với $small Z_{2}=sqrt{R_{2}^{2}+Z_{L}^{2}}$

- Từ (*) và (**) ta có: $small frac{U^{2}.R_{1}}{R_{1}^{2}+Z_{L}^{2}}=frac{U^{2}.R_{2}}{R_{2}^{2}+Z_{L}^{2}}$ $small Rightarrow R_{1}({R_{2}^{2}+Z_{L}^{2})=R_{2}(R_{1}^{2}+Z_{L}^{2})$

$small Rightarrow (R_{2}-R_{1})Z_{L}^{2}=R_{1}R_{2}(R_{2}-R_{1})$ $small Rightarrow Z_{L}=sqrt{R_{1}.R_{2}}=sqrt{20.80}=40(Omega )$

- Theo bài ra, $small P_{1}=P_{2}=P=400(W)$ nên:

$small Rightarrow U=sqrt{frac{P(R_{1}^{2}+Z_{L}^{2})}{R_{1}}}=sqrt{frac{400(20^{2}+40^{2})}{20}}=200(V)$

- Kết luận: Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch là 200(V).

° Dạng 3: Tìm Cực trị (cực đại, cực tiểu) của một đại lượng trong mạch xoay chiều

* Phương pháp:

♦ Tổng quát: Xác định đại lượng (thường là điện áp) Y cực trị khi X thay đổi

- Thiết lập Y theo X

- Dùng các phép biến đổi (tam thức bậc 2, bất đẳng thức, đạo hàm,...) để tìm cực trị.

◊ Điện áp lớn nhất của tụ điện: $small U_{Cmax}=frac{U}{cosvarphi }=frac{Usqrt{R^{2}+Z_{L}^{2}}}{R}$ khi: $small Z_{C}=frac{Z_{L}^{2}+R^{2}}{Z_{L}}$

◊ Điện áp lớn nhất của cuộn cảm: $small U_{Lmax}=frac{U}{cosvarphi }=frac{Usqrt{R^{2}+Z_{C}^{2}}}{R}$ khi: $small Z_{L}=frac{Z_{C}^{2}+R^{2}}{Z_{C}}$

◊ Công suất lớn nhất của mạch R, L, C có R thay đổi: $small P_{max}=frac{U^{2}}{2R}$ khi: $small R=left | Z_{L}-Z_{C} ight |$

◊ Công suất lớn nhất của mạch r, R, L, C có R thay đổi: $small P_{max}=frac{U^{2}}{2left (R+r ight )}$ khi: $small left ( R+r ight )=left | Z_{L}-Z_{C} ight |$

◊ Công suất lớn nhất của điện trở R mạch r, R, L, C có R thay đổi: $small P_{max}=frac{U^{2}.R}{left (R+r ight )^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}$ khi: $small R=sqrt{r^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}$

◊ Mạch xoay chiều có R,L,C có ω thay đổi, tìm ω để:

- Hiệu điện thế hai đầu R cực đại: $small omega =frac{1}{sqrt{LC}}$

- Hiệu điện thế hai đầu C cực đại: $small omega =sqrt{frac{1}{LC}-frac{R^{2}}{2L^{2}}}$

- Hiệu điện thế hai đầu L cực đại: $small omega =sqrt{frac{2}{2LC-R^{2}C^{2}}}$

♦ Ví dụ: Một tụ điện C có điện dung thay đổi được, nối tiếp với điện trở small R=10sqrt{3} (Ω) và cuộn dây thuần cảm L = (0,2/π)H trong mạch điện xoay chiều có tần số của dòng điện là 50Hz. Để cho điện áp hiệu dụng của đoạn mạch R nối tiếp C là URC đạt cực đại thì điện dung C phải có giá trị dung kháng là bào nhiêu?

° Hướng dẫn:

- Ta có: small R=10sqrt{3} (Ω) ; $small Z_{L}=Lomega =frac{0,2}{pi }.2pi f=frac{0,2}{pi }.2pi. 50=20(Omega )$

- Lại có: $small frac{U_{RC}}{U}=frac{I.Z_{RC}}{I.Z}=frac{Z_{RC}}{Z}=frac{sqrt{R^{2}+Z_{C}^{2}}}{sqrt{R^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}}$

$small Rightarrow U_{RC}=frac{U.sqrt{R^{2}+Z_{C}^{2}}}{sqrt{R^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}} =frac{U}{sqrt{1+frac{Z_{L}^{2}-2Z_{L}Z_{C}}{R^{2}+Z_{C}^{2}}}}$

- Đặt $small x=Z_{C}$ và $small y=frac{Z_{L}^{2}-2Z_{L}x}{R^{2}+x^{2}}=frac{400-40x}{300+x^{2}}$ ta thấy, $small U_{RCmax}Leftrightarrow y_{min}$

- Tính đạo hàm y' theo x của ta được: $small y'=frac{40(x^{2}-40x-300)}{300+x^{2}}=0Leftrightarrow x=30(Omega )$

$small Rightarrow y_{min}Leftrightarrow x=Z_{C}=30(Omega )$ suy ra:

$small frac{1}{Comega }=30Rightarrow C=frac{1}{30.2pi f}=frac{1}{30.2pi.50 }=frac{1}{300pi }(F)$

° Dạng 4: Mối quan hệ về PHA (φ) giữa 2 đại lượng

* Phương pháp:

♦ Dựa vào công thức liên quan đã có ở trên.

♦ Hai điện áp trên cùng đoạn mạch cùng pha:

$small varphi _{1}=varphi _{2}Rightarrow tanvarphi _{1}=tanvarphi _{2}$

♦ Hai điện áp trên cùng đoạn mạch có pha vuông góc:

$small varphi _{1}=varphi _{2}pm frac{pi }{2}Rightarrow tanvarphi _{1}=-frac{1}{tanvarphi _{2}}$

♦ Hai điện áp trên cùng đoạn mạch có pha lệch nhau góc α :

$small varphi _{1}=varphi _{2}pm alpha Rightarrow tanvarphi _{1}=-frac{tanvarphi _{2}pm tanalpha }{1mp tanvarphi _{2}.tanalpha}$

♦ Ví dụ: Đặt điện áp $small u=100cos(omega t+frac{pi }{6})$ (V) vào hai đầu đoạn mạch R, L, C mắc nối tiếp thì dòng điện qua mạch là $small i=sqrt{2}cos(omega t+frac{pi }{3})$ (A). Tính công suất tiêu thụ và điện trở thuần của đoạn mạch.