Các Dạng Bài Tập Tổ Hợp, Xác Suất Chọn Lọc, Có Lời Giải - Toán Lớp 11

Các dạng bài tập Tổ hợp, Xác suất chọn lọc, có lời giải - Toán lớp 11 ❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Tổ hợp, Xác suất chọn lọc, có lời giải

Với Các dạng bài tập Tổ hợp, Xác suất chọn lọc, có lời giải Toán lớp 11 tổng hợp các dạng bài tập, 200 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tổ hợp, Xác suất từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Tổng hợp lý thuyết chương Tổ hợp - Xác suất

• Lý thuyết Quy tắc đếm Xem chi tiết
• Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp Xem chi tiết
• Lý thuyết Nhị thức Niu-tơn Xem chi tiết
• Lý thuyết Phép thử và biến cố Xem chi tiết
• Lý thuyết Xác suất của biến cố Xem chi tiết
• Lý thuyết Tổng hợp chương Tổ hợp - Xác suất Xem chi tiết

Chủ đề: Tổ hợp

• Bài toán đếm số phương án Xem chi tiết
• Cách giải bài toán đếm số phương án Xem chi tiết
• Dạng 1:Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Xem chi tiết
• Trắc nghiệm đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Xem chi tiết
• Dạng 2:Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Xem chi tiết
• Trắc nghiệm đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế Xem chi tiết
• Dạng 3: Bài toán đếm số tự nhiên Xem chi tiết
• Trắc nghiệm bài toán đếm số tự nhiên Xem chi tiết
• Dạng 4: Bài toán xếp vị trí, phân công công việc Xem chi tiết
• Trắc nghiệm bài toán xếp vị trí, phân công công việc Xem chi tiết
• Dạng 5: Bài toán tổ hợp trong hình học Xem chi tiết
• Trắc nghiệm bài toán tổ hợp trong hình học Xem chi tiết
• Dạng 6: Giải phương trình, bất phương trình tổ hợp Xem chi tiết
• Trắc nghiệm giải phương trình, bất phương trình tổ hợp Xem chi tiết
• Dạng 7: Xác định hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn Xem chi tiết
• Trắc nghiệm xác định hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn Xem chi tiết
• Dạng 8: Tính tổng trong nhị thức Niu-tơn Xem chi tiết
• Trắc nghiệm tính tổng trong nhị thức Niu-tơn Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài tập về quy tắc cộng cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Bài tập về quy tắc cộng nâng cao cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài tập về quy tắc nhân cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài toán đếm số cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài toán đếm hình cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài tập Hoán vị cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Hoán vị cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài toán Hoán vị vòng quanh cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài toán Hoán vị lặp cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài tập Chỉnh hợp cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Chỉnh hợp cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài tập Tổ hợp cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách giải bài toán đếm số sử dụng Tổ hợp cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách giải bài toán đếm hình sử dụng Tổ hợp cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách khai triển nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển cực hay Xem chi tiết
• Tìm số hạng chứa x^a trong khai triển đa thức P cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách tìm hệ số lớn nhất trong khai triển cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Bài tập về nhị thức Newton nâng cao cực hay có lời giải Xem chi tiết
• 60 bài tập trắc nghiệm Tổ hợp chọn lọc, có lời giải Xem chi tiết

Chủ đề: Xác suất

• Dạng 1: Xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố Xem chi tiết
• Trắc nghiệm xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố Xem chi tiết
• Dạng 2: Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Xem chi tiết
• Trắc nghiệm tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Xem chi tiết
• Dạng 3: Các quy tắc tính xác suất Xem chi tiết
• Trắc nghiệm các quy tắc tính xác suất Xem chi tiết
• Cách xác định phép thử, không gian mẫu cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách tìm xác suất của biến cố cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách tính xác suất bài toán liên quan đến đếm số cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách tính xác suất bài toán liên quan đến hình học cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách giải bài tập Xác suất nâng cao, cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài tập về Quy tắc cộng xác suất cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài tập về Biến cố đối cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Phương pháp giải bài tập về Quy tắc nhân xác suất cực hay có lời giải Xem chi tiết
• Cách giải bài tập về Hai qui tắc đếm cơ bản cực hay, chi tiết Xem chi tiết
• Cách giải bài tập qui tắc hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp cực hay, chi tiết Xem chi tiết
• Biến cố xung khắc là gì? Bài tập biến cố xung khắc cực hay, chi tiết Xem chi tiết
• Biến cố đối là gì? Bài tập về biến cố đối cực hay, chi tiết Xem chi tiết
• Biến cố độc lập là gì? Bài tập biến cố độc lập cực hay, chi tiết Xem chi tiết
• 60 bài tập trắc nghiệm Xác suất chọn lọc, có lời giải Xem chi tiết

Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ta sử dụng phương pháp chung và một số lưu ý sau:

Khi lập một số tự nhiên ta cần lưu ý:

* ai ∈ {0,1,2,…,9} và a1 ≠ 0.

* x là số chẵn ⇔ an là số chẵn.

* x là số lẻ ⇔ an là số lẻ.

* x chia hết cho 3 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 3.

* x chia hết cho 4 ⇔ chia hết cho 4.

* x chia hết cho 5 ⇔ an=0 hoặc an=5.

* x chia hết cho 6 ⇔ x là số chẵn và chia hết cho 3.

* x chia hết cho 8 ⇔ chia hết cho 8.

* x chia hết cho 9 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 9.

* x chia hết cho 11⇔ tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.

* x chia hết cho 25 ⇔ hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.

Đáp án và hướng dẫn giải

a,b,c,d ∈ {0,1,2,4,5,6,8}, a ≠ 0.

Vì x là số chẵn nên d ∈ {0,2,4,6,8}.

TH1: d = 0 ⇒ có 1 cách chọn d.

Vì a ≠ 0 nên ta có 6 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}.

Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a}.

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a,b}.

Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số.

TH2: d ≠ 0, d chẵn nên d ∈ {2,4,6,8}. Vậy có 4 cách chọn d

Với mỗi cách chọn d, do a ≠ 0 nên ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}\{d}.

Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d}.

Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d,b}.

Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4= 400 số.

Vậy có tất cả 120 + 400 = 520 số cần lập.

Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.

Đáp án và hướng dẫn giải

a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}, a ≠ 0.

Vì a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}.

Với mỗi cách chọn a ta có 6 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a}.

Với mỗi cách chọn a,b ta có 5 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b}.

Với mỗi cách chọn a,b, c ta có 4 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,c}.

Vậy có 6.6.5.4 = 720 số cần lập.

Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ta sử dụng phương pháp chung để làm các bài toán dạng này.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.

Đáp án và hướng dẫn giải

Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 6 con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 7 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Vậy có 6.7 = 42 cách đi từ thành phố A đến C.

Bài 2: Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam.

a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường?

b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?

Đáp án và hướng dẫn giải

a) Theo quy tắc cộng có: 23 +17 = 40 cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi môi trường.

b) Việc chọn hai học sinh (nam và nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp

Hành động 1: chọn 1 học sinh nữ trong số 23 học sinh nữ nên có 23 cách chọn

Hành động 2: chọn 1 học sinh nam có 17 cách chọn

Theo quy tắc nhân, có 23.17=391 cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có cả nam và nữ.

Bài 3: Một túi có 20 viên bi khác nhau trong đó có 7 bi đỏ, 8 bi xanh và 5 bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 3 viên bi khác màu?

Đáp án và hướng dẫn giải

Việc chọn 3 viên bi khác màu phải tiến hành 3 hành động liên tiếp: chọn 1 bi đỏ trong 7 bi đỏ nên có 7 cách chọn, tương tự có 8 cách chọn 1 bi xanh và 5 cách chọn 1 bi vàng. Theo quy tắc nhân ta có: 7.8.5 = 280 cách.

Cách giải Bài toán xếp vị trí, phân công công việc

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, đếm gián tiếp, đếm phần bù.

Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.

1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:

♦ Tất cả n phần tử đều phải có mặt

♦ Mỗi phần tử xuất hiện một lần.

♦ Có thứ tự giữa các phần tử.

2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi

♦ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

♦ k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.

3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi

♦ Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần

♦ Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5 HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS được chọn

Bài 2: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Cách tính tổng nhị thức Niu-tơn

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton

Ta chọn những giá trị a,b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm số nguyên dương n sao cho:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 2: Tính tổng sau:

Đáp án và hướng dẫn giải