Các Dạng Bài Tập Về Bất Phương Trình Logarit Và Cách Giải - Toán Lớp ...

Vậy bất phương trình logarit có những dạng bài tập nào? cách giải các dạng bất phương trình logarit này ra sao? chúng ta cùng đi hệ thống lại trong bài viết nà và rèn luyện kỹ năng giải toán bất phương trình logarit qua một số bài tập vận dụng.

I. Các dạng toán bất phương trình Logarit

° Dạng 1: Bất phương trình logarit có dạng logaf(x) ≤ logag(x)

* Phương pháp giải:

- Để giải bất phương trình logarit dạng logaf(x) ≤ logag(x) ta thực các phép biến đổi như sau:

  

* Ví dụ: Giải bất phương trình logarit sau: 

* Lời giải:

- Ta có thể thực hiện biến đổi theo 1 trong 2 cách sau:

+ Cách 1: Điều kiện x2 - 1>0 và x - 1> 0 ⇔ x > 1.

- Biến đổi bất phương trình logarit về dạng:

 log3(x2 - 1) < 1 + log3(x - 1) ⇔ log3(x2 - 1) < log33(x - 1)

 ⇔ x2 - 1 < 3(x - 1) ⇔ x2 - 3x + 2 < 0 ⇔ (x - 1)(x - 2) < 0 ⇔ 1 < x < 2.

 Kết hợp với điều kiện x > 1 ta nhận được tập nghiệm của BPT là: (1;2)

+ Cách 2: Bất phương trình biến đổi tương đương về dạng:

 log3(x2 - 1) < 1 + log3(x - 1) ⇔ log3(x2 - 1) < log33(x - 1)

 

 

Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình logarit trên là:S=(1;2)

° Dạng 2: Bất phương trình logarit có dạng logaf(x) < b.

* Phương pháp giải:

- Để giải bất phương trình logarit dạng logaf(x) ≤ b ta thực các phép biến đổi như sau:

 

* Ví dụ: Giải bất phương trình logarit sau: 

* Lời giải:

- Điều kiện: 

- Biến đổi tương đương bất phương trình logarit trên về dạng:

 -log3(x2 - 6x + 18) + 2log3(x - 4)<0 

 ⇔ log3(x - 4)2 < log3(x2 - 6x + 18)

 ⇔ (x - 4)2 < (x2 - 6x + 18)

 ⇔ x2 - 8x + 16 < x2 - 6x + 18

 ⇔ 2x > - 2 ⇔ x > -1.

 Kết luận: Kết hợp với điều kiện x > 4 ta được tập nghiệp của bất phương trình logarit là: x>4. 

° Dạng 3: Bất phương trình logarit có dạng logaf(x) > b.

* Phương pháp giải:

- Để giải bất phương trình logarit dạng logaf(x) > b ta thực các phép biến đổi như sau:

 

* Ví dụ: Giải bất phương trình logarit sau: 

* Lời giải:

- Điều kiện 6-2x>0 ⇔ x < 3.

 

 

Kết luận: Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình logarit là: (-∞; -5]

II. Giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

- Các dạng đặt ẩn phụ trong trường hợp này cũng giống như với phương trình mũ và phương trình logarit.

* Ví dụ: Giải bất phương trình mũ sau:

* Lời giải:

 (*)

- Ta đặt t = 3x (điều kiện t>0), khi đó phương trình (*) biến đổi về dạng:

 

 

Với: 

Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm: S=(log32;+∞).

- Chia 2 vế của bất phương trình cho 2x, ta được:

   (*)

- Mặt khác, ta thấy: 

Nêu nếu đặt 

Khi đó, bất phương trình (*) tương đương: 

  

 

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:S=[-1;1]

- Điều kiện: x>0

- Biến đổi bất phương trình về dạng:  (*)

- Chia 2 vế của (*) cho 32lnx > 0 ta được: 

- Ta đặt  điều kiện t > 0. Bất phương trình được đưa về dạng

  kết hợp điều kiện t>0 ta được

  

Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm là: S=[e-2;+∞)