Các Dạng Bài Tập Về đường Elip Chọn Lọc, Có Lời Giải - Toán Lớp 10

Các dạng bài tập về đường Elip (chọn lọc, có lời giải)

• Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 29-11 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Các dạng bài tập về đường Elip với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các dạng bài tập về đường Elip.

• Ví dụ minh họa bài tập đường Elip
• Bài tập vận dụng đường Elip
• Bài tập tự luyện đường Elip

Các dạng bài tập về đường Elip (chọn lọc, có lời giải)

B. Ví dụ minh họa

Quảng cáo

Ví dụ 1: Biết Elip (E) có các tiêu điểm F1( - √7; 0), F2(√7; 0) và đi qua M(- √7; ) . Gọi N là điểm đối xứng với M qua gốc toạ độ. Khi đó

A. = 1 B. OM = 3

C. ON = 3 D. NF1 + MF1 = 8.

Hướng dẫn giải:

Ta có N đối xứng với M qua gốc tọa độ nên N(√7; - ) .

Suy ra: NF1 = ; MF1 =

Từ đó: NF1 + MF1 = 8.

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho elíp có phương trình 16x2 + 25y2 = 100.Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x = 2 đến hai tiêu điểm.

A. √3 B. 2√2 C. 5 D. 4√3

Hướng dẫn giải:

Ta có: 16x2 + 25y2 = 100 ⇔

Tổng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc Elip đến 2 tiêu điểm bằng 2a = 5.

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho Elip (E): = 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng

A. 4 ± √2 B. 3 và 5. C. 3,5 và 4,5 . D. 4 ±

Hướng dẫn giải

Ta có a2 = 16; b2 = 12 nên c2 = a2 - b2 = 4

⇒ a = 4; c = 2 và hai tiêu điểm F1 ( - 2;0); F2 (2;0).

Điểm M thuộc (E) và xM = 1 ⇒ yM = ±

Tâm sai của elip e = ⇒ e = .

⇒ MF1 = a + exM = 4,5; MF2 = a - exM = 3,5

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho elip (E): = 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu M có hoành độ bằng - 13 thì khỏang cách từ M đến hai tiêu điểm bằng

A. 10 và 6 B. 8 và 18 C. 13 ± √5 D. 13 ± √10

Hướng dẫn giải

Từ dạng của elip = 1 ta có

Suy ra: c2 = a2 – b2 = 25 nên c = 5.

Tâm sai của elip e = ⇒ e = .

⇒ MF1 = a + exM = 8; MF2 = a - exM = 18

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Cho elip (E): = 1 , với tiêu điểm F1; F2. Lấy hai điểm A; B thuộc elip (E) sao cho AF1 + BF1 = 8. Khi đó, AF2 + BF2 = ?

A. 6 B. 8 C. 12 D. 10

Lời giải

+ Elip ( E): = 1 có a2 = 25 nên a = 5

+ Do A ∈( E) nên AF1 + AF2 = 2a = 10.

+ Do B ∈( E) nên BF1 + BF2 = 2a = 10

⇒ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 20

⇔ (AF1 + BF1 ) + (AF2 + BF2 ) = 20

⇔ 8 + (AF2 + BF2 ) = 20

⇔ AF2 + BF2 = 12

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho elip (E): = 1. Qua một tiêu điểm của (E) dựng đường thẳng song song với trục Oy và cắt (E) tại hai điểm M và N. Tính độ dài MN.

A. B. C. 25 D.

Lời giải

+ Xét elip (E): = 1 có:

a2 = 100; b2 = 36 nên c2 = a2 – b2 = 64

+ Khi đó, Elip có tiêu điểm F1 ( - 8; 0)

⇒ đường thẳng d// Oy và đi qua F1 là x = - 8.

+ Giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình :

Vậy tọa độ hai giao điểm của d và (E) là M( - 8; ) và N( - 8; - )

⇒ MN =

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 7: Cho ( E): = 1. Một đường thẳng đi qua điểm A(2; 2) và song song với trục hoành cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N. Tính độ dài MN.

A. 3√5 B. 15√2 C. 2√15 D. 5√3

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng d:

⇒ (d) có phương trình là y = 2

+ Ta có d cắt (E) tại M và N nên tọa độ M và N là nghiệm hệ phương trình:

⇒ Tọa độ hai điểm M( √15; 2);N( - √15; 2)

Vậy độ dài đoạn thẳng MN = 2√15 .

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho elip: = 1. Hỏi có bao nhiêu điểm thuộc elip có tọa độ nguyên?

A. 1 B. 4 C. 3 D. 8

Lời giải

Nếu điểm M(x; y) thuộc elip thì các điểm A( x; - y) ; B( - x; y) ; C( - x; - y) cũng thuộc elip. Do đó; ta xét điểm M có tọa độ nguyên dương.

Từ = 1 ⇔ x2 = 8 - 4y2

Phương trình trên có nghiệm nếu: 8 - 4y2 ≥ 0

Kết hợp x; y > 0 nên 0 < y ≤ √2

⇒ y = 1 và x = 2.

⇒ Các điểm thuộc elip có tọa độ nguyên là: (2;1); (-2; 1); (2; -1) và ( -2; -1)

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho elip: = 1. Có bao nhiêu điểm M thuộc elip sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

+ Ta có; a2 = 9; b2 = 5 nên c2 = a2 – b2 = 4

⇒ a = 3 và c = 2.

+ Elip có hai tiêu điểm là F1( - 2; 0) và F2 ( 2; 0)

+ Với mọi điểm M ta có: MF1 = a + = 3 + ; MF2 = a - = 3 -

MF1 + MF2 = 2a = 6

+ Xét tam giác MF1F2; áp dụng định lí cosin ta có:

F1F22 = MF12 + MF22 – 2. MF1. MF2. cosM

= [ ( MF1 + MF2)2 - MF1 = a + = 3 + ] – 2.MF1.MF2.cos600.

⇔ 42 = 62 – 3.MF1. MF2

⇔ 16 = 36 - 3. (3 + ) .( 3 - )

⇔ 20 = 3. ( 9 - ) ⇔ x2 =

⇔ x = ± ⇒ y = ±

Vậy có bốn điểm thỏa mãn là:

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho elip (E): = 1. Hai điểm A; B là hai đỉnh của elip lần lượt nằm trên hai trục Ox; Oy. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. 34 B. √34 C. 5 D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: a2 = 25 và b2 = 9

⇒ a = 5; b = 3.

⇒ Tọa độ hai đỉnh A và B là ( 5;0) và (0; 3).

⇒ OA = 5 và OB = 3.

Tam giác OAB vuông tại O có AB = = √34

Vậy AB = √34.

Câu 2: Một elip (E) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:

A. e = B. e = C. e = D. e =

Lời giải:

Đáp án: D

Xét phương trình chính tắc của elip ( E): = 1

Độ dài trục lớn là 2a.

Độ dài trục nhỏ là 2b.

Do độ dài trục lớn dài gấp ba lần độ dài trục nhỏ nên: 2a = 3.(2b)

⇔ a = 3b ⇔ a2 = 9b2

⇔ a2 = 9(a2 – c2) ⇔ 8a2 = 9c2

⇔

Vậy e = .

Câu 3: Một elip (E): = 1. Khoảng cách giữa hai đỉnh A( a;0) và B(0; b) gấp lần tiêu cự của nó. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:

A. e = B. e = C. e = D. e =

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có khoảng cách giữa hai điểm A và B là: AB =

Tiêu cự của elip đã cho là 2c.

Do khoảng cách giữa hai điểm AB gấp lần tiêu cự của nó nên:

AB = F1F2 ⇔ = .2c = 3c

⇔ a2 + b2 = 9c2

⇔ a2 + (a2 - c2) = 9c2

⇔ 2a2 = 10c2 ⇔ a2 = 5c2

⇔

Vậy e = .

Câu 4: Cho điểm M(2; 3) nằm trên đường elip (E) có phương trình chính tắc: = 1. Trong các điểm sau đây điểm nào không nằm trên (E):

A. M1(-2; 3) B. M2(2; -3) C. M3(-2; -3) D. M4(3; 2)

Lời giải:

Đáp án: D

Điểm M đối xứng qua Ox có tọa độ là (2; -3)

Điểm M đối xứng qua Oy có tọa độ là (-2; 3).

Điểm M đối xứng qua gốc tọa độ O có tọa độ là (-2; -3).

Elip nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng; nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nên các điểm M1; M2; M3 đều thuộc elip (E).

Câu 5: Elip (E): = 1 có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:

A. e = 1 B. e = √2 C. e = D. e =

Lời giải:

Đáp án: C

Elip (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b; tiêu cự là 2c với c =

Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên: 2b = 2c ⇔ b = c

Suy ra: b2 = c2 ⇔ a2 - c2 = c2

⇔ a2 = 2c2

⇔

Vậy tâm sai e =

Câu 6: Elip (E): = 1 có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:

A. e = 1. B. e = √2 C. e = D. e =

Lời giải:

Đáp án: C

Elip (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b; tiêu cự là 2c với c =

Eip (E) có hai tiêu điểm là F1 ( - c; 0) và F2 (c; 0).

Hai đỉnh trên trục nhỏ là: B1(0; - b) và B2 (0; b).

Do hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông nên tứ giác B2F2B1F1 là hình vuông.

⇒ tam giác F2B1F1 vuông cân tại B1

⇒ OB1 = (F1 F2)/2 ⇒ b = c

Suy ra: b2 = c2 ⇔ a2 - c2 = c2

⇔ a2 = 2c2

⇔

Vậy tâm sai e =

Câu 7: Cho elip (E): ): = 1 và M là một điểm tùy ý trên (E). Khi đó:

A. 3 ≤ OM ≤ 4 B. 4 ≤ OM ≤ 5 C. OM ≥ 5 D. OM ≤ 3

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có: a2 = 16 nên a = 4 và b2 = 9 nên b = 3.

Mà OB ≤ OM ≤ OA

⇒ 3 ≤ OM ≤ 4

Câu 8: Cho elip ( E): = 1. Tìm điểm M trên ( E) sao cho MF1 = 2MF2 trong đó F1; F2 là hai tiêu điểm của elip?

A. M(5; 0) và M( 0; -3) B. ( ; ) và ( ; - )

C. ( ; ) và ( ; - ) D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: B

Elip đã cho có: a2 = 25; b2 = 9

⇒ c2 = a2 – b2 = 16.

Suy ra: a = 5 và c = 4.

+ Ta có: MF1 = a + = 5 + ; MF2 = a - = 5 -

+ Để MF1 = 2MF2 ⇔ 5 + = 2(5 - )

⇔ 5 + = 10 - 2. ⇔ 3. = 5

⇔ x = ⇒ y = ±

Vậy có hai điểm M thòa mãn: ( ; ) và ( ; - )

Câu 9: Cho elip: = 1. Có bao nhiêu điểm M thuộc elip sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 900?

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: A

+ Ta có; a2 = 9; b2 = 5 nên c2 = a2 – b2 = 4

⇒ a = 3 và c = 2.

+ Elip có hai tiêu điểm là F1(-2; 0) và F2 ( 2; 0)

+ Do điểm M nhìn hai tiêu điểm một góc 900 nên M thuộc đường tròn đường kính F1F2.

⇒ M là giao điểm của elip (E) và đường tròn đường kính F1F2.

+ Lập phương trình đường tròn đường kính F1F2:

( C) :

⇒ Phương trình (C): x2 + y2 = 4

+ Đường tròn và elip cắt nhau tại M nên tọa độ M là nghiệm hệ

⇒ Hệ phương trình trên vô nghiệm nên đường tròn và elip không cắt nhau

Vậy không có điểm M nào thỏa mãn.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một elip (E) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tính tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn.

Bài 2. Xác định độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình: x225+y29=1.

Bài 3. Cho elip có phương trình x2100+y264. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip. .

Bài 4. Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 10, độ dài trục nhỏ là 6.

Bài 5. Lập phương trình chính tắc của elip (E) khi biết một tiêu điểm là F1(-3;0) và elip đi qua điểm A(1;32).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của Elip
• Viết phương trình chính tắc của Elip
• Lập phương trình Elip đi qua 2 điểm hoặc qua 1 điểm thỏa mãn điều kiện
• Tìm giao điểm của đường thẳng và Elip

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 10 (từ 99k )
• Trọng tâm Toán - Văn- Anh- Lý -Hoá lớp 11 (từ 99k )
• 30 đề DGNL Bách Khoa, DHQG Hà Nội, tp. Hồ Chí Minh 2025 (cho 2k7) (từ 119k )

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 10 Global Success
• Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
• Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
• Lớp 10 - Kết nối tri thức
• Soạn văn 10 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - KNTT
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - KNTT
• Giải sgk Toán 10 - KNTT
• Giải sgk Vật lí 10 - KNTT
• Giải sgk Hóa học 10 - KNTT
• Giải sgk Sinh học 10 - KNTT
• Giải sgk Địa lí 10 - KNTT
• Giải sgk Lịch sử 10 - KNTT
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - KNTT
• Giải sgk Tin học 10 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 10 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - KNTT
• Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
• Giải Toán 10 - CTST
• Giải sgk Vật lí 10 - CTST
• Giải sgk Hóa học 10 - CTST
• Giải sgk Sinh học 10 - CTST
• Giải sgk Địa lí 10 - CTST
• Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST
• Lớp 10 - Cánh diều
• Soạn văn 10 (hay nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (ngắn nhất) - Cánh diều
• Soạn văn 10 (siêu ngắn) - Cánh diều
• Giải sgk Toán 10 - Cánh diều
• Giải sgk Vật lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hóa học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Sinh học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Địa lí 10 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch sử 10 - Cánh diều
• Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 10 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 10 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục quốc phòng 10 - Cánh diều