Các Dạng Bài Tập Về đường Elip Chọn Lọc, Có Lời Giải

Các dạng bài tập về đường Elip chọn lọc, có lời giải

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho elip: = 1. Có bao nhiêu điểm M thuộc elip sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

+ Ta có; a2 = 9; b2 = 5 nên c2 = a2 – b2 = 4

⇒ a = 3 và c = 2.

+ Elip có hai tiêu điểm là F1( - 2; 0) và F2 ( 2; 0)

+ Với mọi điểm M ta có: MF1 = a + = 3 + ; MF2 = a - = 3 -

MF1 + MF2 = 2a = 6

+ Xét tam giác MF1F2; áp dụng định lí cosin ta có:

F1F22 = MF12 + MF22 – 2. MF1. MF2. cosM

= [ ( MF1 + MF2)2 - MF1 = a + = 3 + ] – 2.MF1.MF2.cos600.

⇔ 42 = 62 – 3.MF1. MF2

⇔ 16 = 36 - 3. (3 + ) .( 3 - )

⇔ 20 = 3. ( 9 - ) ⇔ x2 =

⇔ x = ± ⇒ y = ±

Vậy có bốn điểm thỏa mãn là:

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho elíp có phương trình 16x2 + 25y2 = 100.Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x = 2 đến hai tiêu điểm.

A. √3 B. 2√2 C. 5 D. 4√3

Hướng dẫn giải:

Ta có: 16x2 + 25y2 = 100 ⇔

Tổng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc Elip đến 2 tiêu điểm bằng 2a = 5.

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho Elip (E): = 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng

A. 4 ± √2 B. 3 và 5. C. 3,5 và 4,5 . D. 4 ±

Hướng dẫn giải

Ta có a2 = 16; b2 = 12 nên c2 = a2 - b2 = 4

⇒ a = 4; c = 2 và hai tiêu điểm F1 ( - 2;0); F2 (2;0).

Điểm M thuộc (E) và xM = 1 ⇒ yM = ±

Tâm sai của elip e = ⇒ e = .

⇒ MF1 = a + exM = 4,5; MF2 = a - exM = 3,5

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho elip (E): = 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu M có hoành độ bằng- 13 thì khỏang cách từ M đến hai tiêu điểm bằng

A. 10 và 6 B. 8 và 18 C. 13 ± √5 D. 13 ± √10

Hướng dẫn giải

Từ dạng của elip = 1 ta có

Suy ra: c2 = a2 – b2 = 25 nên c = 5.

Tâm sai của elip e = ⇒ e = .

⇒ MF1 = a + exM = 8; MF2 = a - exM = 18

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho elip (E): = 1 , với tiêu điểm F1; F2. Lấy hai điểm A; B thuộc elip (E) sao cho AF1 + BF1 = 8. Khi đó, AF2 + BF2 = ?

A. 6 B. 8 C. 12 D. 10

Lời giải

+ Elip ( E): = 1 có a2 = 25 nên a = 5

+ Do A ∈( E) nên AF1 + AF2 = 2a = 10.

+ Do B ∈( E) nên BF1 + BF2 = 2a = 10

⇒ AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 20

⇔ (AF1 + BF1 ) + (AF2 + BF2 ) = 20

⇔ 8 + (AF2 + BF2 ) = 20

⇔ AF2 + BF2 = 12

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho elip (E): = 1. Qua một tiêu điểm của (E) dựng đường thẳng song song với trục Oy và cắt (E) tại hai điểm M và N. Tính độ dài MN.

A. B. C. 25 D.

Lời giải

+ Xét elip (E): = 1 có:

a2 = 100; b2 = 36 nên c2 = a2 – b2 = 64

+ Khi đó, Elip có tiêu điểm F1 ( - 8; 0)

⇒ đường thẳng d// Oy và đi qua F1 là x = - 8.

+ Giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình :

Vậy tọa độ hai giao điểm của d và (E) là M( - 8; ) và N( - 8; - )

⇒ MN =

Chọn B.

Ví dụ 7: Cho ( E): = 1. Một đường thẳng đi qua điểm A(2; 2) và song song với trục hoành cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N. Tính độ dài MN.

A. 3√5 B. 15√2 C. 2√15 D. 5√3

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng d:

⇒ (d) có phương trình là y = 2

+ Ta có d cắt (E) tại M và N nên tọa độ M và N là nghiệm hệ phương trình:

⇒ Tọa độ hai điểm M( √15; 2);N( - √15; 2)

Vậy độ dài đoạn thẳng MN = 2√15 .

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho elip: = 1. Hỏi có bao nhiêu điểm thuộc elip có tọa độ nguyên?

A. 1 B. 4 C. 3 D. 8

Lời giải

Nếu điểm M(x; y) thuộc elip thì các điểm A( x; - y) ; B( - x; y) ; C( - x; - y) cũng thuộc elip. Do đó; ta xét điểm M có tọa độ nguyên dương.

Từ = 1 ⇔ x2 = 8 - 4y2

Phương trình trên có nghiệm nếu: 8 - 4y2 ≥ 0

Kết hợp x; y > 0 nên 0 < y ≤ √2

⇒ y = 1 và x = 2.

⇒ Các điểm thuộc elip có tọa độ nguyên là: (2;1); (-2; 1); (2; -1) và ( -2; -1)

Chọn B.

Ví dụ 9: Biết Elip (E) có các tiêu điểm F1( - √7; 0), F2(√7; 0) và đi qua M(- √7; ) . Gọi N là điểm đối xứng với M qua gốc toạ độ. Khi đó

A. = 1 B. OM = 3

C. ON = 3 D. NF1 + MF1 = 8.

Hướng dẫn giải:

Ta có N đối xứng với M qua gốc tọa độ nên N(√7; - ) .

Suy ra: NF1 = ; MF1 =

Từ đó: NF1 + MF1 = 8.

Chọn D.