Các Dạng Bài Tập Về Qui Tắc đếm

1. Qui tắc cộng:

a) Định nghĩa: Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc cộng

Nếu các tập ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$ đôi một rời nhau. Khi đó:

$\left| {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup ...\cup {{A}_{n}} \right|=\left| {{A}_{1}} \right|+\left| {{A}_{2}} \right|+...+\left| {{A}_{n}} \right|$

2. Qui tắc nhân:

a) Định nghĩa:

            Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.

b) Công thức quy tắc nhân

Nếu các tập ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$ đôi một rời nhau. Khi đó:

$\left| {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}\cap ...\cap {{A}_{n}} \right|=\left| {{A}_{1}} \right|.\left| {{A}_{2}} \right|.....\left| {{A}_{n}} \right|$.

3. Các bài toán đếm cơ bản

Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên

Khi lập một số tự nhiên $x=\overline{{{a}_{1}}...{{a}_{n}}}$ ta cần lưu ý:

* ${{a}_{i}}\in \left\{ 0,1,2,...,9 \right\}$ và ${{a}_{1}}\ne 0$.

* $x$ là số chẵn $\Leftrightarrow {{a}_{n}}$ là số chẵn

* $x$ là số lẻ $\Leftrightarrow {{a}_{n}}$ là số lẻ

* $x$ chia hết cho $3\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}$ chia hết cho $3$

* $x$ chia hết cho $4$ $\Leftrightarrow \overline{{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}}$ chia hết cho $4$

* $x$ chia hết cho $5\Leftrightarrow {{a}_{n}}\in \left\{ 0,5 \right\}$

* $x$ chia hết cho 6 $\Leftrightarrow x$ là số chẵn và chia hết cho $3$

* $x$ chia hết cho $8\Leftrightarrow \overline{{{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}}$ chia hết cho $8$

* $x$ chia hết cho $9\Leftrightarrow {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}$ chia hết cho $9$.

* $x$ chia hết cho $11\Leftrightarrow $tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho $11$.

* $x$ chia hết cho $25\Leftrightarrow $ hai chữ số tận cùng là $00,25,50,75$.

Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế

Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học

Chú ý: 1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động $H$ thỏa mãn tính chất $T$. Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau

Cách 1: Đếm trực tiếp

$\bullet $ Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.

$\bullet $ Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó

$\bullet $ Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên

Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)

Trong trường hợp hành động $H$ chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:

$\bullet $ Đếm số phương án thực hiện hành động $H$ (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất $T$ hay không) ta được $a$phương án.

$\bullet $ Đếm số phương án thực hiện hành động $H$ không thỏa tính chất $T$ ta được $b$ phương án.

Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: $a-b$.