Các Dạng Toán Cực Trị Hàm Số Cơ Bản Và Nâng Cao

Trang chủ » Cực Trị Hàm Bậc 3 Nâng Cao » Các Dạng Toán Cực Trị Hàm Số Cơ Bản Và Nâng Cao

Có thể bạn quan tâm

Tài liệu miễn phí môn toán học - Tất cả các lớp
  • LỚP 12
  • LỚP 11
  • LỚP 10
  • LỚP 9
  • LỚP 8
  • LỚP 7
  • LỚP 6
LỚP 12 Cực trị của hàm số Các dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao Các dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao

Cập nhật lúc: 15:47 22-06-2016 Mục tin: LỚP 12

Trong bài viết trước chúng ta đã biết cách tìm cực trị của một hàm số. Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu một số dạng bài tập liên quan đến cực trị hàm số cơ bản và nâng cao. Các bài tập này chủ yếu là tìm tham số m để hàm số có cực trị thảo mãn một yêu cầu nào đó. Ta thường gặp một số dạng như sau:

Xem thêm:

  • Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
  • Các bài toán tìm cực trị của hàm số (có lời giải)
  • Tìm m để hàm số đạt cực trị
  • Cực trị hàm số bậc 3 (có lời giải chi tiết)
  • Cách tìm cực trị của hàm số
  • Cực trị của hàm số

Các dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao

Trong bài viết trước chúng ta đã biết cách tìm cực trị của một hàm số. Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu một số dạng bài tập liên quan đến cực trị hàm số cơ bản và nâng cao. Các bài tập này chủ yếu là tìm tham số m để hàm số có cực trị thảo mãn một yêu cầu nào đó. Ta thường gặp một số dạng như sau:

 

Dạng 1: Tìm m để hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại hoặc cực tiểu tại \({x_0}\)

Phương pháp: ta sử dụng điều kiện sau: 

  • Nếu \left\{ \begin{array}{l}f'({x_0}) = 0\\f thì hàm số đạt cực tiểu tại {x_0} .
  • Nếu \left\{ \begin{array}{l}f'({x_0}) = 0\\f thì hàm số đạt cực đại tại {x_0} .

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = {\textstyle{1 \over 3}}{x^3} + \left( {{m^2} - m + 2} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 1} \right)x + m - 5  đạt cực tiểu tại x = -2.

Giải

y'\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {{m^2} - m + 2} \right)x + 3{m^2} + 1 \Rightarrow y''\left( x \right) = 2x + 2\left( {{m^2} - m + 2} \right)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì điều kiện cần là y'\left( { - 2} \right) = 0 :

\Leftrightarrow - {m^2} + 4m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.

Với m = 3 thì y\left( { - 2} \right) = 8 data-recalc-dims= 0" /> nên hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 . Vậy m = 3  thỏa yêu cầu

Với m = 1 thì y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 4x - 4 . Sử dụng bảng biến thiên ta thấy hàm số không có cực trị nên m = 1 không thỏa yêu cầu.

Vậy với m = 3 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.

Lưu ý: Với m = 1 thì y\left( { - 2} \right) = 0  nên ta không thể kết luận mà phải sử dụng đến bảng biến thiên.

Dạng 2: Tìm m để hàm số y = f(x) có cực trị hoặc không có cực trị.

Đối với dạng toán này, ta thường chú ý đến 2 dạng hàm số chính:

1. Hàm số bậc 3: y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\left( {a \ne 0} \right)

  • Hàm số không có cực trị \Leftrightarrow phương trình y' = 0  vô nghiệm hoặc nghiệm kép \Leftrightarrow \Delta\le 0 .
  • Hàm số có hai cực trị \Leftrightarrow phương trình y' = 0  có hai nghiệm phân biệt \Leftrightarrow \Delta data-recalc-dims= 

2. Hàm số bậc 4 trùng phương: y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\left( {a \ne 0} \right)

  • Hàm số có 1 cực trị \Leftrightarrow phương trình y' = 0 có một nghiệm duy nhất \Leftrightarrow   a.b>0.
  • Hàm số có 3 cực trị \Leftrightarrow phương trình y' = 0 có ba nghiệm \Leftrightarrow   a.b<0.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = {x^3} - 3(m + 1){x^2} + 9x - m , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho có hai cực trị.

Giải

Ta có: y' = 3{x^2} - 6(m + 1)x + 9.

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y' = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

\Leftrightarrow {x^2} - 2(m + 1)x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

\Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 1)^2} - 3 data-recalc-dims=

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) = m{x^3} + 3m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x - 1 , m là tham số. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị.

Giải

Với m = 0 \Rightarrow y = x - 1 \Rightarrow nên hàm số không có cực trị.

Với m \ne 0 \Rightarrow y' = 3m{x^2} + 6mx - \left( {m - 1} \right)

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

\Leftrightarrow \Delta ' = 9{m^2} + 3m\left( {m - 1} \right) = 12{m^2} - 3m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{1}{4}

Vậy với 0 \le m \le \frac{1}{4} thì hàm số không có cực trị.

Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn yêu cầu.

Đây là dạng bài tập nâng cao ta thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng. Để làm được dạng toán này, trước tiên ta cần nắm được phương pháp giải các dạng toán đã nêu bên trên, đồng thời phải kết hợp với một số kiến thức khác về hình học, dãy số...

Ví dụ 4: Cho hàm số y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 1\,\,\left( {{C_m}} \right) . Tìm m dể hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Giải

Trước tiên ta áp dụng phương pháp ở dạng 2 tìm m để hàm số có 3 cực trị.

Ta có: y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right)

y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2} (*)\end{array} \right.

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt.

\Leftrightarrow Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác o \Leftrightarrow m \ne 0

Vậy với m \ne 0 thì hàm số có 3 cực trị.

Bây giờ ta sẽ tìm m để 3 cực trị này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

Ta có: với m \ne 0 thì y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = m \Rightarrow y = 1 - {m^4}\\x = - m \Rightarrow y = 1 - {m^4}\end{array} \right.

Gọi 3 điểm cực trị lần lượt là: A\left( {0;1} \right);B\left( { - m;1 - {m^4}} \right);C\left( {m;1 - {m^4}} \right)

Theo tính chất của hàm số bậc 4 trùng phương thì tam giác ABC cân tại A nên để ABC vuông cân thì AB vuông góc với AC

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\) 

<=> m = 0 (loại)  hoặc m =-1; m= 1 ( thỏa mãn)

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trên đây là ba dạng toán cực trị hàm số mà chúng ta thường gặp. Trong đó dạng 1 và 2 là các dạng cơ bản chúng ta phải nắm vững trước khi tìm hiểu đến dạng 3.

 

 

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục

  • 110 Câu trắc nghiệm đường thẳng trong không gian (có đáp án)(03/01)
  • Lãi đơn, lãi kép - Lý thuyết và bài tập - Có lời giải chi tiết (hot)(30/12)
  • Đề ôn tập HK1 môn Toán Lớp 12 - trắc nghiệm có đáp án - Đề số 1(13/12)
  • Trắc nghiệm Tích phân và ứng dụng của tích phân - có lời giải chi tiết (hot)(11/01)
  • Nguyên hàm - tích phân - ứng dụng (hay)(25/03)
  • Hiểu bản chất bài toán cực trị trong hình tọa độ trong không gian (có hướng dẫn chi tiết)(23/03)
  • Tuyển tập 651 bài tập trắc nghiệm số phức cơ bản và nâng cao - Nguyễn Bảo Vương(16/01)
  • Các dạng bài tập trắc nghiệm hình giải tích trong không gian - có đáp án (hay)(16/01)
  • Tổng hợp 151 bài tập Toán ứng dụng - có lời giải chi tiết - Đặng Việt Đông(16/01)
  • Các quan hệ vuông góc trong không gian(14/07)

chuyên đề được quan tâm

  • Chương 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
  • Chương 2: Hình học không gian
  • Chương 3: Hàm số mũ - hàm số logarit
  • Chương 4: Nguyên hàm - tích phân
  • Toàn bộ công thức toán học
  • Căn bậc hai, Căn bậc ba
  • Tổng hợp các đề kiểm tra 1 tiết chương 1...
  • Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp
  • Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng...
  • Chương 2: Tổ hợp - xác suất - nhị thức...

bài viết mới nhất

  • Các bất đẳng thức THCS cơ bản và nâng cao
  • Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Phần...
  • Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Phần...
  • Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất...
  • Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất...
  • Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất...
  • Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường...
  • Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một...
  • Ôn tập chương 8: Thống kê (Phần 2)
  • Ôn tập chương 8: Thống kê (Phần 1)
Gửi bài tập - Có ngay lời giải! Copyright 2025 - 2026 - toanhoc247.com

Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT 2025

Từ khóa » Cực Trị Hàm Bậc 3 Nâng Cao