Các Dạng Toán Phương Trình Lượng Giác, Phương Pháp Giải Và Bài ...

Có thể bạn quan tâm

Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này, đồng thời vận dụng các phương pháp giải này để làm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Lý thuyết về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa sinα = a, khi đó phương trình (1) có các nghiệm là:

x = α + k2π, ( small kin mathbb{Z} )

và x = π - α + k2π, ( small kin mathbb{Z} )

- Nếu α thỏa mãn điều kiện $small -frac{pi}{2}leq alpha leq frac{pi}{2}$ và sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

x = arcsina + k2π, ( small kin mathbb{Z} )

và x = π - arcsina + k2π, ( small kin mathbb{Z} )

- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là:

x = β0 + k3600, ( small kin mathbb{Z} )

và x = 1800 - β0 + k3600, ( small kin mathbb{Z} )

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

x = ±α + k2π, ( small kin mathbb{Z} )

- Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:

x = ±arccosa + k2π, ( small kin mathbb{Z} )

- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là:

x = ±β0 + k3600, ( small kin mathbb{Z} )

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là: $small x eq frac{pi }{2}+kpi,kin mathbb{Z}$

- Nếu α thỏa mãn điều kiện $small -frac{pi}{2}< alpha< frac{pi}{2}$ và tanα = a thì ta viết α = arctana. Khi đó nghiệm của phương trình (3) là:

x = arctana + kπ, ( small kin mathbb{Z} )

- Phương trình tanx = tanβ0 có các nghiệm là:

x = β0 + k1800, ( small kin mathbb{Z} )

4. Phương trình cotx = a. (4)

- Tập xác định, hay điều kiện của phương trình (3) là: small x eq kpi,kin mathbb{Z}

- Nếu α thỏa mãn điều kiện small 0< alpha< pi và cotα = a thì ta viết α = arccota. Khi đó nghiệm của phương trình (4) là:

x = arccota + kπ, ( small kin mathbb{Z} )

- Phương trình cotx = cotβ0 có các nghiệm là:

x = β0 + k1800, ( small kin mathbb{Z} )

5. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

• Dạng: asinx + b = 0; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx + b = 0 (a,b ∈ R; a≠0).

• Phương pháp giải:

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: $small asinx + b = 0Leftrightarrow sinx=-frac{b}{a}$

• Dạng tổng quát: asin[f(x)] + b = 0 ; acos[f(x)] + b = 0; atan[f(x)] + b = 0; acot[f(x)] + b = 0 (a,b ∈ R; a≠0).

6. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

• Dạng: asin2x + bsinx + c = 0; (a,b ∈ R; a≠0).

• Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

• Dạng tổng quát: asin2[f(x)] + bsin[f(x)] + c = 0; (a,b ∈ R; a≠0). (các hàm cos, tan, cot tương tự).

7. Phương trình dạng asinx + bcosx = c (a≠0,b≠0).

• Phương pháp giải:

◊ Cách 1: Chia hai vế phương trình cho $small sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , ta được:

$small frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}sinx+frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}sinx = frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

- Nếu $small left | frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} ight |> 1$ thì phương trình vô nghiệm

- Nếu $small left | frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} ight |leq 1$ thì đặt $small cosvarphi = frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}Rightarrow sinvarphi = frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

(hoặc $small sinvarphi = frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}Rightarrow cosvarphi = frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ )

- Đưa PT về dạng: $small sin(x+varphi )= frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ (hoặc $small cos(x-varphi )= frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ ).

◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo $small t=tanfrac{x}{2}$ ;

$small sinx=frac{2t}{1+t^{2}};cosx=frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

- Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin[f(x)] + bcos[f(x)] = c, (a≠0,b≠0).

hayhochoi dn1

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) $small sin(x+2)=frac{1}{3}$ b) small sin3x=1

b) $small sin(frac{2x}{3}-frac{pi }{3})=0$

d) $small sin(2x+20^{0})=frac{-sqrt{3}}{2}$

* Lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) $small sin(x+2)=frac{1}{3}$ small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x+2=arcsin(1/3)+k2pi,kin mathbb{Z} x+2=pi-arcsin(1/3)+k2pi,kin mathbb{Z} end{matrix}

small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=arcsin(1/3)-2+k2pi,kin mathbb{Z} x=pi-arcsin(1/3)-2+k2pi,kin mathbb{Z} end{matrix}

b) small sin3x=1 $small Leftrightarrow sin3x=sinleft ( frac{pi }{2} ight )$

$small Leftrightarrow 3x=frac{pi }{2}+k2pi,(kin mathbb{Z})$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{6}+frac{k2pi}{2},(kin mathbb{Z})$

c) $small sin(frac{2x}{3}-frac{pi }{3})=0$ $small Leftrightarrow sin(frac{2x}{3}-frac{pi }{3})=sin(kpi)$

$small Leftrightarrow frac{2x}{3}-frac{pi }{3}=kpi,(kin mathbb{Z})$

$small Leftrightarrow frac{2x}{3}=frac{pi }{3}+kpi,(kin mathbb{Z})$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+frac{3kpi}{2},(kin mathbb{Z})$

d) $small sin(2x+20^{0})=-frac{sqrt{3}}{2}$ $small Leftrightarrow sin(2x+20^{0})=sin(-60^{0})$

$small Leftrightarrow left [ egin{matrix} 2x+20^{0}=-60^{0}+k360^{0} 2x+20^{0}=180^{0}+60^{0}+k360^{0} end{matrix} ;kin mathbb{Z}$

$small Leftrightarrow left [ egin{matrix} 2x=-80^{0}+k360^{0} 2x=220^{0}+k360^{0} end{matrix}$ $small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=-40^{0}+k180^{0} x=110^{0}+k180^{0} end{matrix}$ small ,kin mathbb{Z}

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $small sin2x=frac{1}{2}$

b) $small cos2x=-frac{sqrt{2}}{2}$

c) $small tan(x+60^{0})=-sqrt{3}$

d) $small cot(frac{pi }{5}-3x)=frac{1}{3}$

° Lời giải:

a) $small sin2x=frac{1}{2}$ $small Leftrightarrow sin2x=sinleft ( frac{pi }{6} ight )$

small Leftrightarrow left [ egin{matrix} 2x=(pi/6)+k2pi 2x=pi -(pi/6)+k2pi end{matrix} $small dpi{100} fn_cm small kin mathbb{Z}$

b) $small cos2x=-frac{sqrt{2}}{2}$ $small Leftrightarrow cos2x=-cosleft ( frac{pi }{4} ight )=cosleft (pi -frac{pi }{4} ight )$

$small Leftrightarrow cos2x=cosleft ( frac{3pi }{4} ight )$ $small Leftrightarrow 2x=frac{3pi }{4}+k2pi$ $small Leftrightarrow x=pm frac{3pi }{8}+kpi,(kin mathbb{Z})$

c) $small tan(x+60^{0})=-sqrt{3}$ $small Leftrightarrow tan(x+60^{0})=-tan(60^{0})=tan(-60^{0})$

$small Leftrightarrow x+60^{0}=-60^{0}+k180^{0}$ $small Leftrightarrow x=-120^{0}+k180^{0},(kin mathbb{Z})$

d) $small cot(frac{pi }{5}-3x)=frac{1}{3}$ $small Leftrightarrow frac{pi }{5}-3x=arccotleft ( frac{1}{3} ight )+kpi$

$small Leftrightarrow -3x=arccotleft ( frac{1}{3} ight )-frac{pi }{5}+kpi$ $small Leftrightarrow x=-frac{arccot(1/3)}{3}+frac{pi }{15}+frac{kpi }{3},(kin mathbb{Z})$

° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác đưa được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Dùng các công thức biến đổi để đưa về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bản như Dạng 1.

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $small sin^{2}x=frac{1}{2}$

b) $small cos^{2}(2x)=1$

c) $small sin^{4}x+cos^{4}x=frac{1}{2}$

d) small sinx+cosx=1

° Lời giải:

a) $small dpi{100} fn_cm small sin^{2}x=frac{1}{2}$ $small Leftrightarrow sin^{2}x-left ( frac{sqrt{2}}{2} ight )^{2}=0$

$small Leftrightarrow left ( sinx-frac{sqrt{2}}{2} ight )left ( sinx+frac{sqrt{2}}{2} ight )=0$ small Leftrightarrow left [ egin{matrix} sinx-(sqrt{2}/{2})=0 sinx+left (sqrt{2}/{2} ight )=0 end{matrix}

+ Với $small sinx=frac{-sqrt{2}}{2}Leftrightarrow sinx=sinleft ( -frac{pi }{4} ight )$ $small Leftrightarrow x=-frac{pi }{4}+k2pi$ hoặc $small x=pi -frac{pi }{4}+k2pi =frac{5pi }{4}+k2pi ,(kin mathbb{Z})$

+ Với $small dpi{100} fn_cm small sinx=frac{-sqrt{2}}{2}Leftrightarrow sinx=sinleft ( frac{pi }{4} ight )$ $small x=frac{pi }{4}+k2pi$ hoặc $small x=pi -frac{pi }{4}+k2pi =frac{3pi }{4}+k2pi,left (kin mathbb{Z} ight )$

b) $small cos^{2}2x=1$ $small Leftrightarrow 1-sin^{2}2x=1Leftrightarrow sin^22x=0$

small Leftrightarrow sin2x=0Leftrightarrow 2x=kpi $small Leftrightarrow x=frac{kpi }{2},(kin mathbb{Z})$

c) $small sin^{4}x+cos^{4}x=frac{1}{2}$ $small Leftrightarrow (sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-2sin^{2}xcos^{2}x=frac{1}{2}$

$small Leftrightarrow 1-frac{1}{2}sin^{2}2x=frac{1}{2}Leftrightarrow frac{1}{2}sin^{2}2x=frac{1}{2}$

$small Leftrightarrow sin^{2}2x=1Leftrightarrow 1-cos^{2}2x=1$

$small Leftrightarrow cos^{2}2x=0Leftrightarrow 2x=frac{pi }{2}+k2pi$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi ,(kin mathbb{Z})$

d) small sinx+cosx=1 $small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow sqrt{2}sin(x+frac{pi }{4})=1$

$small Leftrightarrow sin(x+frac{pi }{4})=frac{1}{sqrt{2}}$ $small Leftrightarrow sin(x+frac{pi }{4})=sinleft ( frac{pi }{4} ight )$

$small Leftrightarrow x+frac{pi }{4}=frac{pi }{4}+k2pi$ hoặc $small x+frac{pi }{4}=pi -frac{pi }{4}+k2pi$

small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=k2pi x=(pi/2)+k2pi end{matrix};kin mathbb{Z}

* Lưu ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

$small sinx+cosx=sqrt{2}sinleft ( x+frac{pi }{4} ight )$ $small =sqrt{2}cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )$

$small small sinx-cosx=sqrt{2}sinleft ( x-frac{pi }{4} ight )$ $small =sqrt{2}cosleft ( x+frac{pi }{4} ight )$

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) small cos2x.cos5x=cos7x

b) small sin4xsin3x=cosx

° Lời giải:

a) small cos2x.cos5x=cos7x

$small Leftrightarrow frac{1}{2}(cos3x+cos7x)=cos7x$ $small Leftrightarrow frac{1}{2}cos3x=frac{1}{2}cos7x$

small Leftrightarrow cos3x=cos7x small Leftrightarrowleft [ egin{matrix} 3x=7x+k2pi 3x=-7x+k2pi end{matrix}

$small Leftrightarrow x=frac{kpi }{2}$ hoặc $small x=frac{kpi }{5}$ với small left ( kin mathbb{Z} ight )

b) small sin4xsin3x=cosx

$small Leftrightarrow frac{1}{2}(cosx-cos7x)=cosx$ $small Leftrightarrow -frac{1}{2}cos7x=frac{1}{2}cosx$

small Leftrightarrow -cos7x=cosx small Leftrightarrow cos(pi -x)=cosx

small Leftrightarrow left [ egin{matrix} pi -7x=x+k2pi pi -7x=pi -x+k2pi end{matrix}

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{8}+frac{kpi }{4}$ hoặc $small Leftrightarrow x=frac{pi }{6}+frac{kpi }{3}$ với small (kin mathbb{Z})

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

$small cosa.cosb=frac{1}{2}left [ cos(a-b)+cos(a+b) ight ]$

$small sina.cosb=frac{1}{2}left [ sin(a-b)+sin(a+b) ight ]$

$small sina.sinb=frac{1}{2}left [ cos(a-b)-cos(a+b) ight ]$

* Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a) small 1 + 2cosx+cos2x=0

$small Leftrightarrow 2cos^{2}x+cosx=0$ small Leftrightarrow 2cosxleft (1+cosx ight )=0

small Leftrightarrow left [ egin{matrix} cosx=0 cosx=-1 end{matrix}

b) small cosx+cos2x+cos3x=0

small Leftrightarrow 2cos2xcosx+cos2x=0 small Leftrightarrow cos2xleft (2cosx+1 ight )=0

small Leftrightarrow left [ egin{matrix} cos2x=0 cosx=1/2 end{matrix}

c) small sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

small Leftrightarrow left (sinx+sin4x ight )+(sin2x+sin3x)=0

$small Leftrightarrow 2sinfrac{5x}{2}cosfrac{3x}{2}+2sinfrac{5x}{2}cosfrac{x}{2}=0$

$small Leftrightarrow 2sinfrac{5x}{2}left (cosfrac{3x}{2}+cosfrac{x}{2} ight )=0$

$small Leftrightarrow sinfrac{5x}{2}=0$ hoặc $small cosfrac{3x}{2}=-cosfrac{x}{2}$

$small Leftrightarrow sinfrac{5x}{2}=0$ hoặc $small Leftrightarrow cosfrac{3x}{2}=cosleft (pi -frac{x }{2} ight )$

$small Leftrightarrow frac{5x}{2}=kpi$ hoặc $small frac{3x}{2}=pi -frac{x}{2}+k2pi$ hoặc $small frac{3x}{2}=-pi +frac{x}{2}+k2pi$

$small Leftrightarrow x=frac{k2pi }{5}$ hoặc $small x=frac{pi }{2}+kpi$ hoặc small x=-pi +k2pi với small left ( kin mathbb{Z} ight )

d) $small sin^{2}x+sin^{2}2x=sin^{2}3x$

$small Leftrightarrow frac{1-cos2x}{2}+frac{1-cos4x}{2}=frac{1-cos6x}{2}$

small Leftrightarrow 1-cos2x+1-cos4x=1-cos6x

small Leftrightarrow 1-cos2x-cos4x+cos6x=0

small Leftrightarrow left (1-cos4x ight )+left (cos6x-cos2x ight )=0

$small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow2sin^{2}2x+2sin2x.sin4x=0$

small Leftrightarrow2sin2xleft (sin2x+sin4x ight )=0

small Leftrightarrow left [ egin{matrix} sin2x=0 sin2x=-sin4x end{matrix}

$small Leftrightarrow x=frac{kpi }{2}$ hoặc $small Leftrightarrow x=frac{kpi }{3}$ hoặc $small Leftrightarrow x=-frac{pi}{2}+kpi$

* Lưu ý: Bài toán trên có vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi:

$small cosa+cosb=2cosleft ( frac{a+b}{2} ight )cosleft ( frac{a-b}{2} ight )$

$small cosa-cosb=-2sinleft ( frac{a+b}{2} ight )sinleft ( frac{a-b}{2} ight )$

$small sina+sinb=2sinleft ( frac{a+b}{2} ight )cosleft ( frac{a-b}{2} ight )$

$small sina-sinb=2cosleft ( frac{a+b}{2} ight )sinleft ( frac{a-b}{2} ight )$

small sin2x=2sinx.cosx

$small cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x$ $small =2cos^{2}x-1=1-2sin^{2}x$

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ: $small asinx + b = 0Leftrightarrow sinx=-frac{b}{a}$

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) $small cos^{2}x-cosx=0$

b) $small sin^{2}left ( x-frac{pi}{3} ight )+2cosleft ( x-frac{pi}{3} ight )=1$

° Lời giải:

a) $small cos^{2}x-cosx=0$

small Leftrightarrow cosx(cosx-1)=0 small Leftrightarrow left [ egin{matrix} cosx=0 cosx-1=0 end{matrix}

+ Với $small cosx=0Leftrightarrow x=frac{pi}{2}+kpi,(kin mathbb{Z})$

+ Với small cosx=1Leftrightarrow x=k2pi,(kin mathbb{Z})

b) $small sin^{2}left ( x-frac{pi}{3} ight )+2cosleft ( x-frac{pi}{3} ight )=1$

$small Leftrightarrow 1-sin^{2}left ( x-frac{pi}{3} ight )-2cosleft ( x-frac{pi}{3} ight )=0$

$small Leftrightarrow cos^{2}left ( x-frac{pi}{3} ight )-2cosleft ( x-frac{pi}{3} ight )=0$

$small Leftrightarrow cosleft ( x-frac{pi}{3} ight )left [ cos(x-frac{pi}{3})-2 ight ]=0$

$small Leftrightarrow cosleft ( x-frac{pi}{3} ight )=0$ hoặc $small cos(x-frac{pi}{3})-2 =0$

+ Với $small cosleft ( x-frac{pi}{3} ight )=0$ $small Leftrightarrow x-frac{pi}{3}=frac{pi}{2}+kpi$ $small Leftrightarrow x=frac{5pi}{6}+kpi,kin mathbb{Z}$

+ Với $small cos(x-frac{pi}{3})-2=0Leftrightarrow cos(x-frac{pi}{3})=2$ : vô nghiệm.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

+ Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

+ Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta có phương trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) $small 2sin^{2}x-3sinx+1=0$

b) small 4sin^2x+4cosx-1=0

° Lời giải:

a) $small 2sin^{2}x-3sinx+1=0$

- Đặt small t=sinx,(-1leq tleq 1) ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ Với t = 1: sinx = 1 $small Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+k2pi$

+ Với t=1/2: $small sinx=frac{1}{2}=sinleft ( frac{pi }{6} ight )$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{6}+k2pi$ hoặc $small x=frac{5pi }{6}+k2pi ;(kin mathbb{Z})$

b) small 4sin^2x+4cosx-1=0

small Leftrightarrow 4(1-cos^2x)+4cosx-1=0

$\Leftrightarrow -4cos^2x+4cosx+3=0$

+ Đặt small t = cosx,(-1leq tleq 1) ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

⇔ t = 3/2 hoặc t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 nên loại

+ $small t = -frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow cosx=-\frac{1}{2}=cos\left (\frac{ 2\pi }{3} \right )$ $\dpi{100} \fn_cm \Leftrightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

- Ta có: cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình vì a≠0,

Chia 2 vế cho cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

- Nếu phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta thay d = d.sin2x + d.cos2x, và rút gọn đưa về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ Cách 1: Chia hai vế phương trình cho $small sqrt{a^{2}+b^{2}}$ , ta được:

$small frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}sinx+frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}sinx = frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

- Nếu $small left | frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} ight |> 1$ thì phương trình vô nghiệm

- Nếu $small left | frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}} ight |leq 1$ thì đặt $small cosvarphi = frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}Rightarrow sinvarphi = frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

(hoặc $small sinvarphi = frac{a}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}Rightarrow cosvarphi = frac{b}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ )

- Đưa PT về dạng: $small sin(x+varphi )= frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ (hoặc $small cos(x-varphi )= frac{c}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ ).

◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo $small t=tanfrac{x}{2}$ ;

$small sinx=frac{2t}{1+t^{2}};cosx=frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

- Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin[f(x)] + bcos[f(x)] = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) small 3sinx + 4cosx = 5

b) $small dpi{100} fn_cm small 2sin2x - 2cos2x = sqrt{2}$

° Lời giải:

a) small 3sinx + 4cosx = 5

+ Ta có: $small sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ khi đó:

small 3sinx + 4cosx = 5 $small Leftrightarrow frac{3}{5}sinx+frac{4}{5}cosx=1$

+ Đặt $small cosvarphi =frac{3}{5};sinvarphi =frac{4}{5},$ ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

small Leftrightarrow sin(x+varphi )=1 $small Leftrightarrow x+varphi =frac{pi }{2}+k2pi$ $small Leftrightarrow x =frac{pi }{2}-varphi+k2pi ,(kin mathbb{Z})$

b) $small dpi{100} fn_cm small 2sin2x - 2cos2x = sqrt{2}$

$small Leftrightarrow sin2x-cos2x=frac{sqrt{2}}{2}$ $small Leftrightarrow sqrt{2}sin(2x-frac{pi }{4})=frac{sqrt{2}}{2}$

$small Leftrightarrow sin(2x-frac{pi }{4})=frac{1}{2}=sinleft ( frac{pi }{6} ight )$

$small Leftrightarrow 2x-frac{pi }{4}=frac{pi }{6}+k2pi$ hoặc $small 2x-frac{pi }{4}=pi -frac{pi }{6}+k2pi$

$small Leftrightarrow x=frac{5pi }{24}+kpi$ hoặc $small Leftrightarrow x=frac{13pi }{24}+kpi,(kin mathbb{Z})$

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức:

$small sinx+cosx=sqrt{2}sinleft ( x+frac{pi }{4} ight )=sqrt{2}cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )$

$small sinx-cosx=sqrt{2}sinleft ( x-frac{pi }{4} ight )=-sqrt{2}cosleft ( x+frac{pi }{4} ight )$

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx, khi đó: $small sinx.cosx=frac{t^{2}-1}{2}$ thay vào phương trình ta được:

bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- Lưu ý: $small t = sinx + cosx=sqrt{2}cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )$ nên điều kiện của t là: small -sqrt{2}leq tleq sqrt{2}

- Do đó sau khi tìm được nghiệm của PT (*) cần kiểm tra (đối chiếu) lại điều kiện của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng nhưng cũng có thể giải bằng cách tương tự:

Đặt t = sinx - cosx; small -sqrt{2}leq tleq sqrt{2} $small Rightarrow sinx.cosx=frac{1-t^{2}}{2}$

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, small -sqrt{2}leq tleq sqrt{2} , khi đó: $small sinx.cosx=frac{t^{2}-1}{2}$ thay vào phương trình ta được:

$small 2t-4frac{t^{2}-1}{2}-1=0$ ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

$small Leftrightarrow t=frac{1+sqrt{3}}{2}$ hoặc $small t=frac{1-sqrt{3}}{2}$

+ Với $small Leftrightarrow t=frac{1+sqrt{3}}{2}$ $small Rightarrow sinx+cosx=frac{1+sqrt{3}}{2}$

$small Leftrightarrow sqrt{2}cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )=frac{1+sqrt{3}}{2}$ $small Leftrightarrow cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )=frac{1+sqrt{3}}{2sqrt{2}}$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{4}pm arccosleft ( frac{1+sqrt{3}}{2sqrt{2}} ight )+k2pi,(kin mathbb{Z})$

+ Tương tự, với $small t=frac{1-sqrt{3}}{2}$ $small Rightarrow x=frac{pi }{4}pm arccosleft ( frac{1-sqrt{3}}{2sqrt{2}} ight )+k2pi,(kin mathbb{Z})$

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

small Leftrightarrow 2sinxcosx-12(sinx+cosx)+12=0

small Leftrightarrow sinxcosx-6(sinx+cosx)+6=0

- Đặt t = sinx + cosx, small -sqrt{2}leq tleq sqrt{2} , khi đó: $small sinx.cosx=frac{t^{2}-1}{2}$ thay vào phương trình ta được:

$small frac{t^{2}-1}{2}-6t+6=0$ $small Leftrightarrow t^{2}-12t+11=0$ small Leftrightarrow left [ egin{matrix} t=1 t=11 end{matrix}

+ Với t=1 small Rightarrow sinx+cosx=1

$small Leftrightarrow sqrt{2}cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )=1$ $small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow cosleft ( x-frac{pi }{4} ight )=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2}=cos(frac{pi }{4})$

$small Leftrightarrow x-frac{pi }{4}=frac{pi }{4}+k2pi$ hoặc $small x-frac{pi }{4}=-frac{pi }{4}+k2pi$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+k2pi$ hoặc small x=k2pi.(kin mathbb{Z})

+ Với small t=11> sqrt{2} : loại

III. Bài tập về các dạng toán Phương trình lượng giác

* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: small sin3x = sinx

small Leftrightarrow left [ egin{matrix} 3x=x+k2pi 3x=pi-x+k2pi end{matrix};kin mathbb{Z}

small Leftrightarrow left [ egin{matrix} x=kpi x=left (pi/4 ight )+left (kpi/2 ight ) end{matrix};kin mathbb{Z}

- Vậy với $small x=kpi ;x=frac{pi }{4}+frac{kpi }{2},(kin mathbb{Z})$ thì small sinx = sin3x.

* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a) $small cos(x-1)=frac{2}{3}$

b) $small cos3x=12^{0}$

c) $small cosleft ( frac{3x}{2} -frac{pi }{4} ight )=-frac{1}{2}$

d) $small cos^{2}2x=frac{1}{4}$

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) $small cos(x-1)=frac{2}{3}$

$small Leftrightarrow x-1=arccosleft ( frac{2}{3} ight )+k2pi$ $small Leftrightarrow x=1pm arccosleft ( frac{2}{3} ight )+k2pi ,kin mathbb{Z}$

- Kết luận: PT có nghiệm $small x=1pm arccosleft ( frac{2}{3} ight )+k2pi ,kin mathbb{Z}$

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) $small cosleft ( frac{3x}{2} -frac{pi }{4} ight )=-frac{1}{2}$

$small Leftrightarrow cosleft ( frac{3x}{2} -frac{pi }{4} ight )=cosleft ( frac{2pi}{3} ight )$

$small Leftrightarrow frac{3x}{2}-frac{pi }{4}=frac{2pi }{3}+k2pi$ hoặc $small frac{3x}{2}-frac{pi }{4}=-frac{2pi }{3}+k2pi$

$small Leftrightarrow frac{3x}{2}=frac{11pi }{12}+k2pi$ hoặc $small frac{3x}{2}=-frac{5pi }{12}+k2pi$

$small Leftrightarrow x=frac{11pi }{18}+kfrac{4pi }{3}$ hoặc $small x=-frac{5pi }{18}+kfrac{4pi }{3},(kin mathbb{Z})$

d) $small cos^{2}2x=frac{1}{4}$

$small Leftrightarrow cos2x=frac{1}{2}$ hoặc $small cos2x=-frac{1}{2}$

$small Leftrightarrow cos2x=pm frac{pi }{3}+k2pi$ hoặc $small cos2x=pm frac{2pi }{3}+k2pi$

$small Leftrightarrow x=pm frac{pi }{6}+kpi$ hoặc $small x=pm frac{pi }{3}+kpi,(kin mathbb{Z})$

* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình $small frac{2cos2x}{1-sin2x}=0$

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có: $small frac{2cos2x}{1-sin2x}=0$ small Leftrightarrow 2cos2x=0

small Leftrightarrow cos2x=0 $small Leftrightarrow 2x=frac{pi }{2}+kpi ,(kin mathbb{Z})$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+frac{kpi}{2} ,(kin mathbb{Z})$

+ Đến đây ta cần đối chiếu với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

$small Rightarrow x=frac{pi }{4}+(2n+1)frac{pi }{2}=frac{3pi}{4}+npi$

$small dpi{100} fn_cm small Rightarrow sin2x=sinleft ( frac{3pi}{2}+2npi ight )=-1,forall nin mathbb{Z}$ (thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

$small Rightarrow x=frac{pi}{4}+npi$

$small Rightarrow sin2x=sinleft ( frac{pi}{2}+2npi ight )=1,forall nin mathbb{Z}$ (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT có họ nghiệm là $small x=frac{3pi}{4}+npi, nin mathbb{Z}$

* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0

° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

small Leftrightarrow sinx(sinx-1)=0

small Leftrightarrow left [ egin{matrix} sinx=0 (sinx-1)=0 end{matrix}

small Leftrightarrow x=kpi hoặc $small x=frac{pi }{2}+k2pi, (kin mathbb{Z})$

- Kết luận: PT có tập nghiệm $small left { kpi;frac{pi }{2}+k2pi ight }(kin mathbb{Z})$

* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x + small sqrt{2} .sin4x = 0

° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, khi đó PT (1) trở thành: 2t2 – 3t + 1 = 0

small Leftrightarrow t=1 hoặc $small t=frac{1}{2}$ (thỏa mãn ĐK).

+ Với t = 1 ⇒ cosx = 1 ⇔ x = k2π, (k ∈ Z)

+ Với $small t=frac{1}{2}$ $small Rightarrow cosx=frac{1}{2}=cosleft ( frac{pi }{3} ight )$ $small Leftrightarrow x=pm frac{pi }{3}+k2pi ,(kin mathbb{Z})$