Tìm Nghiệm Của Phương Trình Lượng Giác Trong ...

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

A. Phương pháp giải

Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất;bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau:

+ Bước 1. Giải phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lương giác( chú ý có thể phải sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổ tổng thành tích; tích thành tổng để giải phương trình )

+ Bước 2: Xét họ nghiệm trên khoảng (a; b) để tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình cos(x- 1800) + 2sin(900- x) = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 3600)

A. 0

B.1

C. 2

D .3

Lời giải

Ta có : cos(x- 1800) = - cosx và sin(900- x)= cosx

Do đó; cos( x- 1800) + 2sin(900– x)

⇒ - cosx +2cosx = 1

⇒ cosx = 1 ⇒ x= k.3600

Với x∈ ( 900; 3600) ta có:

900 < x < 3600 ⇒ 900 < k.3600 < 3600

⇒ 1/4 < k < 1

⇒ Không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho phương trình cosx – sin2x =0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 3600]

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Lời giải

Ta có:cosx – sin2x= 0

⇒ cosx= sin 2x ⇒ cosx= cos(900-2x)

+ Ta tìm các nghiệm của phương trình trên đoạn [00; 3600]

*Với họ nghiệm: x= 300+k.1200 ta có:

00 ≤ 300+k.1200 ≤ 3600

⇒ -300 ≤ k.1200 ≤ 3300 (-1)/4 ≤ k ≤ 11/4

Mà k nguyên nên k = 0;1 hoặc 2. Khi đó nghiệm của phương trình là: 300; 1500; 2700

* Với họ nghiệm x= 900-k.3600 ta có:

00 ≤ 900-k.3600 ≤ 3600

⇒ - 900 ≤ -k.3600 ≤ 2700

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 1/4

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó nghiệm phương trình là x= 900

⇒ Phương trình đã cho có bốn nghiệm

Chọn A.

Ví dụ 3. Tìm các nghiệm của phương trình - 2tan2 x+ 4tanx – 2= 0 trên khoảng (900; 2700)

A. 1350

B. 1650

C. 2250

D. Tất cả sai

Lời giải

Ta có: -2tan2x + 4tanx – 2= 0

⇒ - 2( tanx- 1)2 = 0 ⇒ tan x= 1

⇒ x= 450+ k.1800

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 2700)

Ta có: 900 < x < 2700 ⇒ 900 < 450+ k.1800 < 2700

⇒ 450 < k.1800 < 2250

⇒ 1/4 < k < 5/4

Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó: nghiệm của phương trình là: x= 2250

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho phương trình sin2 2x +2 cos2 x = 0. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (00; 1800).

A.900

B. 1800

C. 1650

D. 2700

Lời giải.

Ta có: sin2 2x + 2cos2 x= 0

⇒ 1- cos2 2x + 1+ cos2x= 0

⇒ - cos2 2x + cos2x + 2= 0

Với cos2x= -1 ⇒ 2x=1800+ k.3600

⇒ x= 900 + k.1800

Ta xét các nghiệm của phương trình trên (0; 1800)

⇒ 00 < 900+ k.1800 < 1800

⇒ -900 < k.1800 < 900

⇒ (- 1)/2 < k < 1/2

K nguyên nên k= 0. Khi đó;x= 900

Chọn A.

Ví dụ 5. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos4 x- sin4 x= 0 trên khoảng (0;2π)

A. 15π/4

B. 13π/4

C. 5π/2

D. Đáp án khác

Lời giaỉ

Ta có; cos4 x- sin4 x = 0

⇒ ( cos2 x – sin2 x) .(cos2 x+ sin2 x) = 0

⇒ cos2x. 1= 0 ⇒ cos2x= 0

⇒ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng(0; 2π)

Ta có: 0 < x < 2π nên 0 < π/4+ kπ/2 < 2π

⇒ π/4 < kπ/2 < 7π/4 ⇒ 1/2 < k < 7/2

Mà k nguyên nên k∈{1;2;3}

⇒ Ba nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0;2 π) là: 3π/4; 5π/4 và 7π/4

⇒ Tổng các nghiệm là : 15π/4

Chọn A.

Ví dụ 6. Cho phương trình cos2 x + sinx +1= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 7200]

A. 0

B. 3

C. 4

D. 2

Lời giải

Ta có: cos0 x+ sinx +1= 0

⇒ 1-sin0 x + sinx +1 = 0

⇒ - sin0 x+ sinx + 2= 0

⇒ sinx= - 1 ⇒ x= 2700+ k.3600

+ Ta có: 00 ≤ 2700+k.3600 ≤ 7200

⇒ -2700 ≤ k.3600 ≤ 4500

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 5/4

Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k=1.

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [00; 7200]

Chọn D

Ví dụ 7. Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin2x – 3sinx +1= 0 thõa điều kiện 0 ≤x≤π/2 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 8. Số nghiệm của phương trình sin2 x- sinx= 0 trên khoảng (0; 2π) là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Ta có sin2 x- sinx= 0

+ với họ nghiệm x= kπ.

Ta có: 0 < kπ < 2π

⇒ 0 < k < 2

Mà k nguyên nên k= 1

+ Với họ nghiệm x= π/2+k2π

Ta có; 0 < π/2+ k2π < 2π

⇒ - π/2 < k2π < 3π/2 ⇒ (- 1)/4 < k < 3/4

Mà k nguyên nên k= 0

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2π)

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình: 2cos2 x- √3cosx=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0;2π) ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Câu 2:Cho phương trình: sin2 x+ 1- sin2 2x= 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [π/2;2π]

A. 5

B.3

C.4

D. 6

Câu 3:Cho phương trình 3cot⁡(x+ π/3)=3√3. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [2π;8π]?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Câu 4:Cho phương trình: .Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?

A. 3

B.5

C.6

D.4

Câu 5:Cho phương trình : tan4 x - 3tan2 x= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π)

A. 27

B. 28

C. 29

D. 30

Câu 6:Cho phương trình . Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 4π]?

A. 3

B.4

C. 5

D. 6

Câu 7:Cho phương trình – 2sin2x – 6cosx+ 6 = 0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 8:Cho phương trình:. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (-2π;2π)?

A. 3

B.5

C. 4

D.6