Các Dạng Toán Về Phương Trình đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz ...

Có thể bạn quan tâm

Vì vậy để các bạn học sinh lớp 12 nắm rõ phần nội dung kiến thức này, trong bài viết này chúng ta cùng tổng hợp lại các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian, giải một số ví dụ và bài tập một cách chi tiết và dễ hiểu để các em tự tin khi gặp các dạng toán này.

• xem thêm: Các dạng toán phương trình mặt phẳng trong không gian

I. Lý thuyết về đường thẳng trong không gian

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

* Đường thẳng (d) đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương small vec{u} = (a;b;c) có:

- Phương trình tham số của (d): $small left{egin{matrix} x=x_{o}+at y=y_{o}+bt z=z_{o}+ct end{matrix} ight.;(tin mathbb{R})$

- Phương trình chính tắc của (d): $small g_white fn_cm small frac{x-x_{o}}{a}=frac{y-y_{o}}{b}=frac{z-z_{o}}{c};(a,b,c eq 0)$

2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian

* Cho đường thẳng d0 đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương small vec{u} 0 = (a;b;c) và đường thẳng d1 đi qua điểm M1(x1;y1;z1) và có vectơ chỉ phương 1 = (a1;b1;c1) khi đó:

- d0 và d1 cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔ $small g_white fn_cm small g_white fn_cm small [vec{u}_{o},vec{u}_{1}].overrightarrow{M_{o}M_{1}}=0$

- d0 và d1 cắt nhau ⇔ $small small left{egin{matrix} [vec{u}_{o},vec{u}_{1}].overrightarrow{M_{o}M_{1}}=0 [vec{u}_{o},vec{u}_{1}] eq vec{0}end{matrix} ight.$

- d0 // d1 ⇔ $small small left{egin{matrix} [vec{u}_{o},vec{u}_{1}]=vec{0} [vec{u}_{o},.overrightarrow{M_{o}M_{1}}] eq vec{0} end{matrix} ight.$

- d0 Ξ d1 ⇔ $small [vec{u}_{o},vec{u}_{1}]= [vec{u}_{o},.overrightarrow{M_{o}M_{1}}]=vec{0}$

- d0 và d1 chéo nhau ⇔ $small [vec{u}_{o},vec{u}_{1}].overrightarrow{M_{o}M_{1}} eq 0$

3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

* Đường thẳng (d) đi qua M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương small vec{u} = (a;b;c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến small small vec{n} = (A;B;C) khi đó:

- d cắt (P) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0

- d//(P) ⇔ $small left{egin{matrix} Aa+Bb+Cc=0 Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D eq 0 end{matrix} ight.$

- d ⊂ (P) ⇔ $small small left{egin{matrix} Aa+Bb+Cc=0 Ax_{o}+By_{o}+Cz_{o}+D=0 end{matrix} ight.$

- d ⊥ (P) ⇔ small vec{u} // small small vec{n} ⇔ $small g_white fn_cm small [vec{u},vec{n}]= vec{0}$

4. Góc giữa 2 đường thẳng

- Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương small vec{u} = (a;b;c) và (d') có vectơ chỉ phương = (a';b';c'), gọi 00 ≤ ∝ ≤ 900 là góc giữa 2 đường thẳng đó, ta có:

cos∝ = $small frac{left | vec{u}.vec{u}' ight |}{left | vec{u} ight |.left | vec{u}' ight |}=frac{left | aa'+bb'+cc' ight |}{sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.sqrt{a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}}$

5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương small vec{u} = (a;b;c) và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến small vec{n}=(A;B;C) , gọi 00 ≤ φ ≤ 900 là góc giữa đường thẳng (d) và mp (P), ta có:

sinφ = $small frac{left | vec{u}.vec{n} ight |}{left | vec{u} ight |.left | vec{n} ight |}=frac{left | Aa+Bb+Cc ight |}{sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

6. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

- Tính khoảng cách từ điểm M1(x1;y1;z1) tới đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương small vec{u} :

* Cách tính 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M1 và vuông góc với Δ.

- Tìm tọa độ giao điểm H của Δ và mặt phẳng (Q).

- Khi đó: d(M1,Δ) = M1H

* Cách tính 2:

- Sử dụng công thức: d(M1,Δ) = $small frac{left | [overrightarrow{M_{1}M_{0}},vec{u}] ight |}{left | vec{u} ight |}$ (với M0∈Δ)

7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

- Cho đường thẳng Δ0 đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương small vec{u} 0 = (a;b;c) và đường thẳng Δ1 đi qua điểm M1(x1;y1;z1) và có vectơ chỉ phương 1 = (a1;b1;c1):

* Cách tính 1:

- Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa (Δ) và song song với (Δ1).

- Tính khoảng cách từ M0M1 tới mặt phẳng (Q).

- d(Δ0,Δ1) = d(M1,Q)

* Cách tính 2:

- Sử dụng công thức: $\small d(\Delta _0,\Delta _1)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_0},\overrightarrow{u_1}].\overrightarrow{M_0M_1} \right |}{\left | [\overrightarrow{u_0},\overrightarrow{u_1}] \right |}$

hayhochoi dn11

II. Các dạng bài tập về đường thẳng trong không gian

Dạng 1: Viết PT đường thẳng (d) qua 1 điểm và có VTCP

- Điểm M0(x0;y0;z0), VTCP small vec{u} 0 = (a;b;c)

* Phương pháp:

- Phương trình tham số của (d) là: $small left{egin{matrix} x=x_{o}+at y=y_{o}+bt z=z_{o}+ct end{matrix} ight.;(tin mathbb{R})$

- Nếu a.b.c ≠ 0 thì (d) có PT chính tắc là: $small g_white fn_cm small frac{x-x_{o}}{a}=frac{y-y_{o}}{b}=frac{z-z_{o}}{c};(a,b,c eq 0)$

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2;-1) và nhận vec tơ small vec{u} (1;2;3) làm vec tơ chỉ phương

* Lời giải:

- Phương trình tham số của (d) là: small left{egin{matrix} x=1+t y=2+2t z=-1+3t end{matrix} ight.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm có vectơ chỉ phương u

Dạng 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

* Phương pháp

- Bước 1: Tìm VTCP small overrightarrow{AB}

- Bước 2: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và nhận small overrightarrow{AB} làm VTCP.

Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3);

* Lời giải:

- Ta có: small overrightarrow{AB} (-2;-1;3)

- Vậy PTĐT (d) đi qua A có VTCP là small overrightarrow{AB} có PT tham số: small left{egin{matrix} x=1-2t y=2-t z=3t end{matrix} ight.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B trong không gian Oxyz

Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng Δ

* Phương pháp

- Bước 1: Tìm VTCP small vec{u} của Δ.

- Bước 2: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và nhận small vec{u} làm VTCP.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1;-3) và song song với đường thẳng Δ: $small frac{x}{2}=frac{y}{4}=frac{z}{1}$

* Lời giải:

- VTCP $small overrightarrow{u_{Delta }}=(2;4;1)$ vì (d)//Δ nên nhận $small overrightarrow{u_{Delta }}=(2;4;1)$ làm VTCP

- Phương trình tham số của (d): small left{egin{matrix} x=2+2t y=1+4t z=-3+t end{matrix} ight.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng trong Oxyz

Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp (∝).

* Phương pháp

- Bước 1: Tìm VTPT small vec{n} của mp (∝)

- Bước 2: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và nhận small vec{n} làm VTCP.

Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) và vuông góc với mp (P): x-y-z-1=0

* Lời giải:

- Ta có VTPT của mp (P): small vec{n} = (1;-1;-1) là VTCP của đường thẳng (d).

- PT đường thẳng (d) qua A và nhận small vec{n} làm VTCP có PT tham số là: small left{egin{matrix} x=1+t y=1-t z=-2-t end{matrix} ight.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng trong Oxyz

Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2).

* Phương pháp:

- Bước 1: Tìm VTCP $small vec{u}_{1}$ , $small vec{u}_{2}$ của (d1) và (d2).

- Bước 2: Đường thẳng (d) có VTCP là: =[ $small vec{u}_{1}$ , $small vec{u}_{2}$ ]

- Bước 3: Viết PT đường thẳng (d) đi qua điểm A và nhận small vec{u} làm VTCP.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(1;-3;2) vuông góc với d1: small left{egin{matrix} x=2-3t y=3+t z=-1+2t end{matrix} ight. và d2: $small dpi{100} g_white fn_cm small dpi{100} g_white fn_cm small frac{x+1}{2}=frac{y}{5}=frac{z+3}{3}$

* Lời giải:

- Ta có VTCP của d1 là $small vec{u}_{1}$ = (-3;1;2) của d2 là $small vec{u}_{2}$ = (2;5;3)

- d ⊥ d1 và d ⊥ d2 nên VTCP của d là: = [ $small vec{u}_{1}$ , $small vec{u}_{2}$ ]

= $small dpi{100} g_white fn_cm small left ( egin{vmatrix} 1 &2 5&3 end{vmatrix}; egin{vmatrix} 2 &-3 3&2 end{vmatrix}; egin{vmatrix} -3 &1 2&5 end{vmatrix} ight )$ = (-7;13;-17)

- Phương trình tham số của (d) là: small left{egin{matrix} x=1-7t y=-3+13t z=2-17t end{matrix} ight.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng trong Oxyz

Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mp

- mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0;

* Phương pháp:

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Giải hệ small left{egin{matrix} Ax+By+Cz+D=0 A'x+B'y+C'z+D'=0 end{matrix} ight. ta tìm 1 nghiệm (x0;y0;z0) bằng cách cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định, rồi giải hệ tìm giá trị 2 ẩn còn lại, ta được 1 điểm M0(x0;y0;z0) ∈ (d).

- Bước 2: Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là: small vec{u} = small left ( egin{vmatrix} b &c b'&c' end{vmatrix}; egin{vmatrix} c &a c'&a' end{vmatrix}; egin{vmatrix} a &b a'&b' end{vmatrix} ight )

- Bước 3: Viết PT đường thẳng (d) qua M0 và có VTCP small vec{u} .

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B ∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)

- Bước 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm AB.

+ Cách giải 3:

- Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phằng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+z-1=0.

* Lời giải:

- Ta sẽ tìm 2 điểm A, B nằm trên (d) là nghiệm của hệ PT: small left{egin{matrix} 2x+y-z-3=0 x+y+z-1=0 end{matrix} ight.

- Cho z = 0 ⇒ x = 2 và y = - 1 ⇒ A(2;-1;0)

- Cho z = 1 ⇒ x = 4 và y = - 4 ⇒ B(4;-4;1)

⇒ small overrightarrow{AB}=(2;-3;1)

⇒ PTĐT (d) đi qua A(2;-1;0) và có VTCP small overrightarrow{AB}=(2;-3;1) có PTCT là: $small frac{x-2}{2}=frac{y+1}{-3}=frac{z}{1}$

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong Oxyz

Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp (P).

* Phương pháp

- Bước 1: Viết PT mp(Q) chứa d và vuông góc với mp (P).

- Bước 2: Hình chiếu cần tìm d’= (P)∩(Q)

- Chú ý: Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d là điểm H=d∩(P)

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: small left{egin{matrix} x-2z=0 3x-2y+z-3=0 end{matrix} ight. trên mp(P): x - 2y + z + 5 = 0.

* Lời giải:

- Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0

⇔ (m+3n)x - 2ny + (-2m+n)z - 3n = 0

Q ⊥ P ⇔ 1.(m+3n) - 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0

⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0 ⇔ -m + 8n = 0

Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x - 2y - 15z - 3 = 0

- Vì hình chiếu d’ của d trên P nên d' là giao tuyến của P và Q, phương trình của d’ sẽ là:

small left{egin{matrix} x-2y+z+5=0 11x-2y-15z-3=0 end{matrix} ight.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian Oxyz

Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2

* Phương pháp

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1.

- Bước 2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d2)

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1

- Bước 2: Viết PT mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d’= (α) ∩ (β)

+ Cách giải 3:

- Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm B của d với d1 và C của d với d2

- Bước 2: Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính được toạ độ B, C

- Bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết PT của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1;0) và cắt cả 2 đường thẳng d1: small left{egin{matrix} x=1+t y=-t z=0 end{matrix} ight. và d2 : small left{egin{matrix} x=0 y=0 z=2+s end{matrix} ight.

* Lời giải:

- Gọi B, C lần lượt là các điểm và d cắt d1 và d2, ta có toạ độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s)

⇒ small overrightarrow{AB} =(t;-t-1;0) ; $small dpi{100} g_white fn_cm small overrightarrow{AC}$ =(-1;-1;2+s)

A,B,C thẳng hàng ⇒ small overrightarrow{AB} = k $small dpi{100} g_white fn_cm small overrightarrow{AC}$ ⇔ small left{egin{matrix} t=k(-1) -t-1=k(-1) 0=k(2+s) end{matrix} ight. giải hệ được s = -2; t= -1/2; k = 1/2;

Vậy d đi qua A(1;1;0) và C(0;0;0) ⇒ d có PT: small left{egin{matrix} x=t' y=t' z=0 end{matrix} ight.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz

Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3.

* Phương pháp

- Bước 1: Viết PT mp(P) song song với d1 và chứa d2.

- Bước 2: Viết PT mp(Q) song song với d1 và chứa d3.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1), (d2) có PT:

d1: $small frac{x+8}{2}=frac{y-6}{1}=frac{z-10}{-1}$ ; d2: small left{egin{matrix} x=t y=2-t z=-4+2t end{matrix} ight.

* Lời giải:

- VTCP của Ox là: small overrightarrow{u} = (1;0;0)

- VTCP của d1 là: $small dpi{100} g_white fn_cm small overrightarrow{u_{1}}$ =(2;1;-1); VTCP của d2 là: $small dpi{100} g_white fn_cm small dpi{100} g_white fn_cm small overrightarrow{u_{2}}$ =(1;-1;2)

- PT mp (P) chứa d1 và song song Ox có VTPT: $small overrightarrow{n_{1}}=[overrightarrow{u},overrightarrow{u_{1}}]$

= small left ( left | egin{matrix} 0 &0 1& -1 end{matrix} ight |;left | egin{matrix} 0 &1 -1 &2 end{matrix} ight |;left | egin{matrix} 1 &0 2 &1 end{matrix} ight | ight ) =(0;1;1)

- PT mp (Q) chứa d2 và song song Ox có VTPT: $small overrightarrow{n_{2}}=[overrightarrow{u},overrightarrow{u_{2}}]$

= small small left ( left | egin{matrix} 0 &0 -1& 2 end{matrix} ight |;left | egin{matrix} 0 &1 2 &1 end{matrix} ight |;left | egin{matrix} 1 &0 1 &-1 end{matrix} ight | ight ) =(0;-2;-1)

- PT mp (P) đi qua điểm (-8;6;10) ∈ d1 và có VTPT $small overrightarrow{n_{1}}$ (0;1;1) có PT:

(y-6) + (z-10) = 0 ⇔ y + z - 16 = 0

- PT mp (Q) đi qua điểm (0;2;-4) ∈ d2 và có VTPT $small overrightarrow{n_{2}}$ (0;-2;-1) có PT:

-2(y-2) - (z+4) = 0 ⇔ 2y + z = 0

⇒ PT đường thẳng d = (P) ∩ (Q): small left{egin{matrix} y+z-16=0 2y+z=0 end{matrix} ight.

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng song song với d và cắt d1 d2 trong Oxyz

Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

* Phương pháp

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua điểm A và vuông góc đường thẳng d1.

- Bước 2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d2)

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Viết PT mp (α) đi qua điểm A và vuông góc với d1.

- Bước 2: Viết PT mp (β) đi qua điểm A và chứa d2.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1), cắt đường thẳng d1: $small frac{x+2}{3}=frac{y}{1}=frac{z-1}{-2}$ và vuông góc với đường thẳng d2: x=-2+2t; y=-5t; z=2+t;

* Lời giải:

- PT mp (P) ⊥ d2 nên nhận VTCP d2 làm VTPT nên có PT: 2x - 5y + z + D = 0

- PT mp (P) đi qua M(1;1;1) nên có: 2.1 - 5.1 + 1 + D = 0 ⇒ D = 2

⇒ PT mp (P): 2x - 5y + z + 2 = 0

- Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: (-5;-1;3)

⇒ small overrightarrow{AM} = (6;2;-2) = (3;1;-1)

⇒ PTTQ của (d) là: $small frac{x-1}{3}=frac{y-1}{1}=frac{z-1}{-1}$

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với d1 cắt d2 trong Oxyz

Dạng 11: Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mp (α) và cắt đường thẳng d’

* Phương pháp:

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Viết PT mp (P) đi qua điểm A và song song với mp (α).

- Bước 2: Viết PT mp (Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng (α)

- Bước 2: Tìm giao điểm B = (P) ∩ d’

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;2;-1) cắt đường thẳng d: $small frac{x-3}{1}=frac{y-3}{3}=frac{z}{2}$ và song song với mặt phẳng (∝): x + y - z + 3 = 0.

* Lời giải:

- PTTS của (d): small left{egin{matrix} x=3+t y=3+3t z=2t end{matrix} ight.

- Giả sử Δ cắt d tại điểm B, thì tọa độ của B(3+t;3+3t;2t) nên ta có: small overrightarrow{AB}=(2+t;1+3t;2t+1)

- Vì AB// mp(∝) mà $small overrightarrow{n_{alpha }}=(1;1;-1)$ nên ta có: $small overrightarrow{AB}.overrightarrow{n_{alpha }}=(2+t).1+(1+3t).1+(2t+1)(-1)=0$ small Leftrightarrow 2+t+1+3t-2t-1=0Leftrightarrow t=-1

⇒ B(2;0;-2) small Rightarrow overrightarrow{AB}=(1;-2;-1) nên đường thẳng Δ có PTTQ: $small frac{x-1}{1}=frac{y-2}{-2}=frac{z+1}{-1}$

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và cắt đường thẳng d

Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước .

* Phương pháp:

- Bước 1: Tìm giao điểm A = d1∩(P); B = d2∩(P)

- Bước 2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .

Ví dụ: Cho 2 đường thẳng: $small d_{1}:frac{x+1}{2}=frac{y-1}{-1}=frac{z-1}{1};$ $small d_{2}:frac{x-1}{1}=frac{y-2}{1}=frac{z+1}{2}$ và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1 , d2;

* Lời giải:

- PTTS d1: small left{egin{matrix} x=-1+2t y=1-t z=1+t end{matrix} ight. PTTS d2: small left{egin{matrix} x=1+s y=2+s z=-1+2s end{matrix} ight.

- Gọi A = d1∩(P); B = d2∩(P) thì tọa độ của A và B là: A(-1+2t;1-t;1+t) và B(1+s;2+s;-1+2s)

- Ta lại có: A∈(P) nên: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0 ⇔ t = 1 ⇒ A(1;0;2)

- Tương tự: B∈(P) nên: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0 ⇔ s = 1 ⇒ B(2;3;1)

⇒ small overrightarrow{AB}=(1;3;-1)

⇒ PTĐT Δ qua A(1;0;2) có VTCP small overrightarrow{AB} có PTTQ là: $small frac{x-1}{1}=frac{y}{3}=frac{z+1}{-1}$

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz

Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp (P).

* Phương pháp

- Bước 1: Tìm giao điểm I = d’∩(P).

- Bước 2: Tìm VTCP small vec{u} của d’ và VTPT small vec{n} của (P) và small vec{v} =[,]

- Bước 3: Viết PT đường thẳng d qua điểm I và có VTCP small vec{v}

Dạng 14: Viết PT đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.

* Phương pháp

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Tìm các VTCP $small vec{u}_{1}$ , $small vec{u}_{2}$ của d1 và d2 . Khi đó đường thẳng d có VTCP là =[ $small vec{u}_{1}$ , $small vec{u}_{2}$ ]

- Bước 2: Viết PT mp(P) chứa d1 và có VTPT $small small vec{n}_{1}$ =[ small vec{u} , $small vec{u}_{1}$ ]

- Bước 3: Viết PT mp(Q) chứa d2 và có VTPT $small small vec{n}_{1}$ =[ small vec{u} , $small vec{u}_{2}$ ]

- Bước 4: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).

* Cách giải 2:

- Bước 1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct) ∈ d1; N(x0'+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’) ∈ d2 là chân các đường vuông góc chung của d1 và d2.

- Bước 2: Ta có $small left{egin{matrix} MNperp d_{1} MNperp d_{2} end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} overrightarrow{MN}.overrightarrow{u_{1}}=0 overrightarrow{MN}.overrightarrow{u_{2}}=0 end{matrix} ight.Rightarrow t,t'$

- Bước 3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N.

- Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng chéo nhau d1: small left{egin{matrix} x=1+2t y=2+t z=-3+3t end{matrix} ight. và d2: small left{egin{matrix} x=2+t' y=-3+2t' z=1+3t' end{matrix} ight. viết PT đường thẳng (d) vuông góc với d1 và d2

* Lời giải:

- d1 có VTCP $small vec{u}_{1}$ = (2;1;3); d2 có VTCP $small vec{u}_{2}$ = (1;2;3)

- Gọi AB là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 với A ∈ d1; B ∈ d2

⇒ A(1+2t;2+t;-3-3t) và B(2+t';-3+2t';1+3t')

⇒ small overrightarrow{AB} =(1+t'-2t;-5+2t'-t;4+3t'+3t)

Từ điều kiện $small small overrightarrow{AB}perp d_{1}$ và $small small overrightarrow{AB}perp d_{2}$ ta có: $small left{egin{matrix} overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_{1}}=0 overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_{2}}=0 end{matrix} ight.$

⇔ small left{egin{matrix} 2(1+t'-2t)+(-5+2t'-t)+3(4+3t'+3t)=0 (1+t'-2t)+2(-5+2t'-t)+3(4+3t'+3t')=0 end{matrix} ight.

⇔ $small left{egin{matrix} t=frac{29}{9} t'=frac{25}{9} end{matrix} ight.$ ⇒ $small A(frac{67}{9};frac{47}{9};frac{20}{3}); overrightarrow{AB}(frac{-24}{9};frac{-24}{9};frac{24}{9})$

⇒ PT (d) đi qua A nhận small overrightarrow{AB} (-1;-1;1) làm VTCP có dạng: $small left{egin{matrix} x=frac{67}{9}-t y=frac{47}{9}-t z=frac{20}{3}+t end{matrix} ight.$

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau

Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.

* Phương pháp 1:

- Bước 1: Viết PT mp(P) chứa d1 và vuông góc với (P).

- Bước 2: Viết PT mp(Q) chứa d2 và vuông góc với (P).

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q).

* Phương pháp 2:

- Bước 1: Giả sử d cắt d1 và d2 là lượt tai A và B, ta tham số hóa 2 điểm A ∈ d1 và B ∈ d2 (theo ẩn t và s).

- Bước 2: Do (d) ⊥ (P) nên $\small \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{n}_P\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{n}_P$ giải hệ tìm được t và s

- Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A có CTCP $\dpi{100} \small \overrightarrow{AB}$ .

Ví dụ: Trong không gian oxyz, cho 2 đường thẳng: $small dpi{100} fn_cm small d_{1}: frac{x}{2}=frac{y-1}{-1}=frac{z+2}{1};$ $small d_{2}: left{egin{matrix} x=-1+2t y=1+t z=3 end{matrix} ight. tin mathbb{R}$ , và mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0. Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với (P) và cắt đường thẳng d1 , d2.

* Lời giải:

- PTTS của d1: small left{egin{matrix} x=2s y=1-s z=-2+s end{matrix} ight.

- Giả sử A,B lần lượt là giao điểm của Δ với d1 và d2 ta có: A(2s;1-s;-2+s), B(-1+2t;1+t;3)

- VTCP của Δ là: small overrightarrow{AB} small =(-1+2t-2s;t+s;5-s)

- VTPT của (P) là: $small overrightarrow{n_{p}}=(7;1;-4)$

- do Δ ⊥ (P) nên small overrightarrow{AB} // $small overrightarrow{n_{p}}$ , tức ta có: $small frac{2t-2s-1}{7}=frac{t+s}{1}=frac{5-s}{-4}$

$small dpi{100} fn_cm small Leftrightarrow left{egin{matrix} 2t-2s-1=7t+7s 4(t+s)=s-5 end{matrix} ight.$ small Leftrightarrow left{egin{matrix} t=-2 s=1 end{matrix} ight. small Rightarrow overrightarrow{AB}=(-7;-1;4)

⇒ Phương trình đường thẳng Δ qua A(2;0;-1) có VTCP small overrightarrow{AB} có PTTQ là: $small dpi{100} fn_cm small frac{x-2}{-7}=frac{y}{-1}=frac{z+1}{4}$

» xem thêm ví dụ: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và cắt 2 đường thẳng trong Oxyz

Dạng 16: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.

* Phương pháp:

- Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10, phương pháp tương tự dạng 10.

Từ khóa » Công Thức Phương Trình Chính Tắc Lớp 12

Các Dạng Toán Về Phương Trình đường Thẳng Trong Không Gian Oxyz ...

Tổng Hợp Công Thức Phương Trình đường Thẳng Trong Không Gian ...

Hình Học 12 Bài 3: Phương Trình đường Thẳng Trong Không Gian

[CHUẨN NHẤT] Phương Trình Chính Tắc Của đường Thẳng - TopLoigiai

Phương Trình Chính Tắc Của đường Thẳng

Phương Trình Của đường Thẳng - Toán Học Lớp 12 - Baitap123

Cách Viết Phương Trình Chính Tắc Của đường Thẳng đi Qua 2 điểm ...

Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian: Lý Thuyết Và Bài Tập

Phương Trình Chính Tắc Của đường Thẳng - MarvelVietnam

Viết Phương Trình Tham Số Và Chính Tắc Của đường Thẳng

Phương Trình Chính Tắc Của đường Thẳng đi Qua điểm Nào Trong ...

Cách Tìm Vectơ Chỉ Phương Của Phương Trình đường Thẳng Chính Tắc ...

Công Thức Viết Phương Trình Chính Tắc Của Elip | Toán Lớp 10

Phương Trình Chính Tắc Và Mẹo Học Tọa độ Phẳng - Giáo Viên Việt Nam

Liên Hệ