Các Dạng Toán Về Phương Trình đường Thẳng Trong Không Gian

I. Lý thuyết về đường thẳng trong không gian

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian

3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

4. Góc giữa 2 đường thẳng

5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

6. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

* Cách tính 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M1 và vuông góc với Δ.

- Tìm tọa độ giao điểm H của Δ và mặt phẳng (Q).

- d(M1,Δ) = M1H

* Cách tính 2:

7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

* Cách tính 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (Δ) và song song với (Δ1).

- Tính khoảng cách từ M0M1 tới mặt phẳng (Q).

- d(Δ,Δ1) = d(M1,Q)

* Cách tính 2:

II. Các dạng bài tập về đường thẳng trong không gian

Dạng 1: Viết PT đường thẳng (d) qua 1 điểm và có VTCP

Phương pháp:

Lời giải:

Dạng 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Phương pháp

Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3);

Lời giải:

Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng Δ

Phương pháp

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1;-3) và song song với đường thẳng Δ:

Lời giải:

Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp (∝).

Phương pháp

Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) và vuông góc với mp (P): x-y-z-1=0

Lời giải:

Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2).

Phương pháp:

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(1;-3;2) vuông góc với d1:

Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mp

- mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0;

Phương pháp:

+ Cách giải 1:

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B ∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)

- Bước 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm AB.

+ Cách giải 3:

- Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phằng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+z-1=0.

Lời giải:

Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp (P).

Phương pháp

- Bước 1: Viết PT mp(Q) chứa d và vuông góc với mp (P).

- Bước 2: Hình chiếu cần tìm d’= (P)∩(Q)

- Chú ý: Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d là điểm H=d∩(P)

Lời giải:

- Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0

⇔ (m+3n)x - 2ny + (-2m+n)z - 3n = 0

Q ⊥ P ⇔ 1.(m+3n) - 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0

⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0 ⇔ -m + 8n = 0

Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x - 2y - 15z - 3 = 0

- Vì hình chiếu d’ của d trên P nên d' là giao tuyến của P và Q, phương trình của d’ sẽ là:

Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2

Phương pháp

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1.

- Bước 2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d2)

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1

- Bước 2: Viết PT mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d’= (α) ∩ (β)

+ Cách giải 3:

- Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm B của d với d1 và C của d với d2

- Bước 2: Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính được toạ độ B, C

- Bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết PT của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1;0) và cắt cả 2 đường thẳng d1:

Lời giải:

- Gọi B, C lần lượt là các điểm và d cắt d1 và d2, ta có toạ độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s)

Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3.

Phương pháp

- Bước 1: Viết PT mp(P) song song với d1 và chứa d2.

- Bước 2: Viết PT mp(Q) song song với d1 và chứa d3.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1), (d2) có PT:

Lời giải:

Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

Phương pháp

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua điểm A và vuông góc đường thẳng d1.

- Bước 2: Tìm giao điểm B = (α) ∩ (d2)

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Viết PT mp (α) đi qua điểm A và vuông góc với d1.

- Bước 2: Viết PT mp (β) đi qua điểm A và chứa d2.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (α) ∩ (β)

Lời giải:

- PT mp (P) ⊥ d2 nên nhận VTCP d2 làm VTPT nên có PT: 2x - 5y + z + D = 0

- PT mp (P) đi qua M(1;1;1) nên có: 2.1 - 5.1 + 1 + D = 0 ⇒ D = 2

⇒ PT mp (P): 2x - 5y + z + 2 = 0

- Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: (-5;-1;3)

Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mp (α) và cắt đường thẳng d’

Phương pháp:

+ Cách giải 1:

- Bước 1: Viết PT mp (P) đi qua điểm A và song song với mp (α).

- Bước 2: Viết PT mp (Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q)

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng (α)

- Bước 2: Tìm giao điểm B = (P) ∩ d’

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.

Lời giải:

Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước .

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm giao điểm A = d1∩(P); B = d2∩(P)

- Bước 2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .

Ví dụ: Cho 2 đường thẳng:

và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1 , d2;

Lời giải:

- Gọi A = d1∩(P); B = d2∩(P) thì tọa độ của A và B là: A(-1+2t;1-t;1+t) và B(1+s;2+s;-1+2s)

- Ta lại có: A∈(P) nên: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0 ⇔ t = 1 ⇒ A(1;0;2)

- Tương tự: B∈(P) nên: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0 ⇔ s = 1 ⇒ B(2;3;1)

Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp (P).

Phương pháp

Dạng 14: Viết PT đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.

Phương pháp

+ Cách giải 1:

- Bước 4: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).

+ Cách giải 2:

- Bước 1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct) ∈ d1; N(x0'+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’) ∈ d2 là chân các đường vuông góc chung của d1 và d2.

- Bước 2: Ta có

- Bước 3: Thay t và t’ tìm được vào toạ độ M, N tìm được M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N.

- Chú ý : Cách 2 cho ta tìm được ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

Lời giải:

Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2.

Phương pháp:

- Bước 1: Viết PT mp(P) chứa d1 và vuông góc với (P).

- Bước 2: Viết PT mp(Q) chứa d2 và vuông góc với (P).

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q).

Lời giải:

Dạng 16: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Phương pháp:

- Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10, phương pháp tương tự dạng 10.