Các Dạng Toán Về Xác Suất - Trung Tâm Gia Sư Alpha

Các dạng toán về xác suất

CÁC DẠNG TOÁN VỀ XÁC SUẤT PHỔ THÔNG.

I/ Kiến thức cơ bản.

1/ Phép thử ngẩu nhiên: là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

2/ Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử .Kí hiệu là .Ta chỉ xét các phép thử với là tập hữu hạn.

3/ Biến cố A là tập con của không gian mẫu .Tập Ø gọi là biến cố không thể, Tập gọi là biến cố chắc chắn.

4/Nếu khi phép thử tiến hành mà kết quả của nó là một phần tử của A thì ta nói rằng A xảy ra,hay phép thử là thuận lợi cho A.

5/Biến cố \ A được gọi là biến cố đối của A.

6/ A và B đối nhau

7/A xảy ra không xảy ra.

VD: Gọi biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” thì là biến cố :”Lấy hai quả khác màu”

VD: Gọi biến cố A :” Lấy được ít nhất một quả cầu màu trắng ”

nên là biến cố :”Không lấy được quả cầu màu trắng nào ”.

8/ Biến cố xảy ra A hoặc B xảy ra.

9/ Biến cố xảy ra A và B cùng xảy ra.

10/ Nếu Ø thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.

11/ Định nghĩa xác suất.

Kí hiệu n(A) là số phần tử của biến cố A liên quan đến phép thử với không gian mẫu còn n( ) là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử ,thì tỉ số gọi là xác suất của biến cố A, Kí hiệu là P(A).

12/Tính chất của xác suất.

+ P(Ø) = 0; P( ) = 1; với mọi biến cố A.

+ Nếu A và B xung khắc thì .

+ Với mọi biến cố A thì ta có .

+ Mở rộng : Với hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến phép thử thì :

13/Biến cố độc lập.

Định nghĩa: Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu sự xảy ra của một trong hai biến cố không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

14/ Tính chất của biến cố độc lập.

+ A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

+ A và B độc lập và B độc lập và A độc lập và độc lập.

II/ Các dạng bài tập.

DẠNG 1/ XẾP CHỖ NGỒI VÀ CHỌN NGƯỜI.

Bài 1: Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một cái bàn có 5 chỗ ngồi.Tính xác suất để

a/ A và B ngồi đầu bàn.

b/ A và B ngồi cạnh nhau ở bàn dài.

c/ A và B ngồi cạnh nhau ở bàn tròn.

Giải 1.

a/ A và B ngồi đầu bàn chỉ có ở dạng bàn dài.

Xếp 5 người vào bàn 5 chỗ là một hoán vị của 5 phần tử nên 5! = 120

Gọi biến cố M là:” Xếp 5 người trong đó A và B ngồi đầu bàn” có 2 giai đoạn:

+ Xếp A, B ngồi đầu bàn có 2 cách.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ có 3! cách

Nên n (M) = 2.3!

Vậy P (M) =

b/Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn dài trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có hai giai đoạn.

+ Buộc A vào B có hai cách là AB;BA

+ Xếp 4 người trong đó có một người đôi ( AB hoặc BA) vào 4 chỗ có 4! cách

Nên n (M) = 2.4! cách.

Vậy P (M) =

c/ Cách 1: Bàn tròn có dánh số chỗ ngồi.

Xếp 5 người vào 5 chỗ nên 5!

Gọi biến cố M là: ”Xếp 5 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có ba giai đoạn.

+ Xếp A vào bàn trước có 5 cách.

+ Xếp B cạnh A có 2 cách.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại có 3! Cách.

Nên n (M) = 5.2.3! cách.

Vậy P (M) =

Cách 2: Bàn tròn không đánh số chỗ ngồi.

Xếp 5 người vào bàn tròn không đánh số chỗ ngồi để A,B ngồi cạnh nhau có 2 giai đoạn.

+ Xếp A vào bàn có 1 cách.

+ Xếp 4 người còn lại vào 4 chỗ còn lại có 4! cách.

Nên 1.4! = 24.

Gọi biến cố M: “ Xếp 5 người vào bàn tròn trong đó A và B ngồi cạnh nhau” có 3 giai đoạn.

+ Xếp A vào 1 chỗ có 1 cách.

+ xếp B cạnh A có 2 cách.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại có 3! cách.

Nên n (M) = 1.2.3! = 12

Vậy P (M) =

Bài 2/

Xếp ngẫu nhiên 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi vào 6 ghế kê theo hàng ngang.Tìm xác suất sao cho :

a/Namnữ ngồi xen kẽ nhau.(ĐS: 0.1)

b/ Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.(ĐS:0.2)

Bài 3/

Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau.Tính xác suất sao cho:

a/Nam,nữ ngồi đối diện nhau.(ĐS:2/3)

b/Nữ ngồi dối diện nhau.(ĐS: 1/3)

Bài 4/ Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người .Tìm xác suất sao cho trong hai người đó:

a/ Cả hai đều là nữ.(ĐS:1/15)

b/ Không có nữ nào.(ĐS: 7/15)

c/ Ít nhất một người là nữ.(ĐS: 8/15)

d/ Có đúng một người là nữ.(ĐS: 7/15)

Bài 5/ Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một bàn tròn . Tính xác suất sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau. (ĐS: 0,008)

Bài 6/ Xếp ngẫu nhiên 3 người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi 6 cái ghế xếp thành hang ngang. Tính xác suất sao cho.

a/ Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà.

b/ Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông.

Giải 6/

Xếp 6 người vào 6 cái ghế nên số cách xếp là một hoán vị của 6.Do đó

a/ Gọi biến cố A:”Đứa bé được xếp giữa hai người đàn bà” Ta xếp như sau:

+ Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ 2 đến ghế thứ 5 nên có 4 cách xếp.

+ Ứng với mỗi cách xếp đứa bé thì có 2 cách xếp hai người đàn bà ngồi hai bên.

+ Còn ba chỗ còn lại xếp ba người đàn ông thì có 3! Cách xếp

Theo quy tắc nhân ta có 4.2.3! = 48

Vậy

b/ Gọi biến cố B:”Đứa bé được xếp giữa hai người đàn ông”.Ta xếp như sau:

+ Xếp đứa bé ngồi vào ghế thứ 2 đến ghế thứ 5 nên có 4 cách xếp.

+ Chọn 2 trong số 3 người đàn ông.Có cách.

+ Ứng với mỗi cách xếp đứa bé thì có 2 cách xếp hai người đàn ông ngồi hai bên.

+ Xếp 3 người còn lại vào 3 chỗ còn lại. Có 3! Cách.

Theo quy tắc nhân ta có n(B) = 4.3.2.3!= 144

Vậy

Bài 7/ Cũng hỏi như bài 6 nhưng 6 ghế được xếp quanh bàn tròn.(ĐS:a/ 1/10 b/3/10)

Bài 8/ Có bao nhiêu cách xếp 7 người vào 2 dãy ghế sao cho dãy ghế đầu có 4 người và dãy ghế sau có 3 người.

Giải 8/ Chọn 4 người trong 7 người để xếp vào 4 ghế ở dãy đầu. Có cách.

Còn lại 3 người xếp vào dãy sau thì có 3! Cách. Vậy có tất cả .3! = 5040 cách xếp.

DẠNG 2/CHỌN QUẢ CẦU.

Bài 1/ Có hai hộp chứa các quả cầu .Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng,4 quả đen.

Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen.Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả.

Gọi A là biến cố :” Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”.và B là biến cố:”Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”.

a/Xét xem A và B có độc lập không.(ĐS: Độc lập)

b/Tính xác suất sao cho hai quả lấy ra cùng màu.(ĐS:12/25)

c/ Tính xác suất sao cho hai quả lấy ra khác màu.(ĐS:13/25)

Bài 2/ Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen,lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 quả.Tính xác suất sao cho :

a/Bốn quả lấy ra cùng màu.(ĐS: 8/105)

b/Có ít nhất một quả màu trắng.(ĐS:209/210)

Bài 3/Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đên 10. 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đên 20. Lấy ngẫu nhiên 1 quả.Tìm xác suất sao cho quả được chọn:

a/ Ghi số chẵn.(ĐS: 1/2)

b/ Màu đỏ.(ĐS: 1/3)

c/ Màu đỏ và ghi số chẵn.(ĐS: 1/6)

d/ Màu xanh hoặc ghi số lẻ.(ĐS: 5/6)

Bài 4/Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến 6 được sơn màu đỏ.Lấy ngẫu nhiên một quả. Gọi A là biến cố: “ Quả lấy ra màu đỏ” B là biến cố :” Quả lấy ra ghi số chẵn” Hỏi A và B có độc lập không.(ĐS:Độc lập)

Bài 5/ Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho:

a/ Cả 2 quả đều đỏ.

b/ Hai quả cùng màu.

c/ Hai quả khác màu.

Giải 5: Gọi biến cố A:”Lấy 1 quả ở hộp thứ nhất màu đỏ”.Biến cố B:” Lấy 1 quả ở hộp thứ hai màu đỏ”.Ta có A và B là hai biến cố độc lập.

a/ Lấy cả hai quả màu đỏ là biến cố

Ta có mà P(A) = 3/5 và P(B) = 4/10 = 2/5 nên

b/ Gọi biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” nên

Do tính xung khắc và độc lập của các biến cố, ta có

Nên P( C) =

c/ Do biến cố C:” Lấy 2 quả cùng màu” nên là biến cố :”Lấy hai quả khác màu” mà = 1 – 0,48 = 0,52.

Bài 6/ Một hộp đựng 4 bi xanh,3 bi đỏ, 2 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi.

a/ Tính xác suất để chọn được 2 bi cùng màu.

b/ Tính xác suất để chọn được 2 bi khác màu.

Giải 6/

a/Gọi A là biến cố:”Chọn được 2 viên bi xanh”.B là biến cố :”Chọn được 2 viên bi đỏ”.C là biến cố:”Chọn được 2 viên bi vàng”

và H là biến cố:”Chọn được 2 viên bi cùng màu”

Ta có và các biến cố A,B,C đôi một xung khắc do đó

Mà nên P(H) = 5/18.

b/ Gọi D là biến cố:”Chọn được 1 viên bi xanh và 1 bi đỏ”.E là biến cố :”Chọn được 1 viên bi xanh và 1 bi vàng”.Flà biến cố:”Chọn được 1 viên bi vàng và 1 bi đỏ”và G là biến cố chọn được 2 viên bi khác màu.

Ta có:

Nên

Cách khác: Do biến cố H:” Chọn 2 quả cùng màu” nên là biến cố :”Lấy hai quả khác màu” mà = 1 – 5/18 = 13/18.

DẠNG 3/GIEO SÚC SẮC VÀ ĐỒNG XU.

Bài 1/ Một con súc sắc cân đối và đông chất được gieo 2 lần. Tính xác suất sao cho:

a/Tổng số chấm của hai lần gieo là 6.(ĐS: 5/36)

b/ It nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm.(ĐS:11/36)

Bài 2/ Gieo 3 đồng xu cân đối và đồng chất một cách độc lập.Tính xác suất để

a/ Cả 3 đồng xu đều sấp.

b/Có ít nhất một đồng xu sấp.

c/Có đúng một đồng xu sấp.

Giải 2/ a/Không gian mẫu :

Gọi A là biến cố để cả 3 đồng xu đều sấp nên n(A) = 1Vậy P(A) = 1/8

b/ Gọi B là biến cố có ít nhất một đồng xu sấp nên n(B) = 7Vậy P(B) = 7/8.

c/ Gọi C là biến cố có đúng một đồng xu sấp nên n( C ) = 3 vậy P( C )= 3/8

Bài 3/ Gieo 2 đồng xu A và B.Đồn xu A chế tạo cân đối,đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa.Tính xác suất để

a/ Khi gieo 2 đồng xu một lần thì 2 đồng xu đều ngửa.

b/Khi gieo 2 đồng xu 2 lần thì 2 lần cả 2 đồng xu đều ngửa.

Giải 3/

a/ Xác suất xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa của đồng xu A bằng nhau và bằng ½

Ở đồng xu B thì xác suất xuất hiện mặt sấp bằng 3/4 và xác suất xuất hiện mặt ngửa là ¼. Nên xác suất để cả 2 đồng xu đều ngửa là 1/2 .1/4= 1/8

b/ Xác suất Khi gieo 2 đồng xu 2 lần thì 2 lần cả 2 đồng xu đều ngửa là 1/8.1/8 = 1/64

Bài 4/ Gieo 6 đồng xu cân đối. Tính xác suất để có ít nhât một đồng xu sấp.

Giải 4/

Xác suất để cả 6 đồng xu đều ngửa là nên xác suất để có ít nhất một đồng xu sấp là .

Bài 5/

Gieo 2 con xúc sắc cân đối.Tính xác suất để được ít nhất một mặt xuất hiện là mặt 6 chấm (ĐS: 11/36)

Bài 6/

Gieo 3 con xúc sắc cân đối.Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên các mặt của 3 xúc sắc đó bằng nhau (ĐS: 1/36)

Bài 7/ Gieo 2 con xúc sắc cân đối.Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của 2 xúc sắc đó không vượt quá 5. (ĐS: 5/18)

DẠNG 4/ RÚT LÁ BÀI.

Bài 1/ Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con,rút ngẫu nhiên cùng một lúc 4 con. Tính xác suất sao cho:

a/Cả 4 con đều là át. .(ĐS: 0.000 0037)

b/Được ít nhất một con át. .(ĐS: 0.28123)

c/ Được hai con át và 2 con K.(ĐS: 0.000133)

Bài 2/ Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con bích, 3 con rô, 3 con cơ,và 3 con chuồn.

Giải 2:

Rút 13 lá bài từ 52 lá nên số cách rút là:

Gọi biến cố A:” Trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con bích, 3 con rô, 3 con cơ,và 3 con chuồn.” nên n(A) =

Vậy .

Bài 3/ Ba quân bài rút từ 13 quân cùng chất rô( 2,3,4..10,J,Q,K,A)

a/ Tính xác suất để trong 3 quân bài đó không có Q và K.

b/ Tính xác suất để trong 3 quân bài đó có Q hoặc K hoặc cả hai.

c/ Tính xác suất trong 3 quân bài đó để rút được cả Q và K.

Bài 4/ Từ một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con,lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại từng con cho đến khi lần đầu tiên lấy được con át thì dừng,Tính xác suất sao cho

a/ Quá trình lấy dừng lại ở lần thứ hai.

b/ Quá trình lấy dừng lại sau khi lấy không quá hai lần.

Giải.a/ Gọi Ak là lần thứ k lấy được con át, ,A1, A2 độc lập

a/ Ta cần tính

b/ Ta cần tính .

DẠNG 5/ BẮN VÀO BIA.

Bài 1/Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn độc lập:

a/ Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần.

b/ Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.

Giải 1:

a/ Xác suất bắn trúng hồng tâm là 0,2 nên xác suất bắn không trúng là 1- 0,2 = 0,8

Trong 3 lần bắn độc lập

Xác suất để chỉ lần thứ nhất bắn trúng hồng tâm là 0,2.0,8.0,8 = 0,128

Tương tự chỉ lần thứ 2 hoặc lần thứ 3 bắn trúng cũng là 0,128

Vậy xác suất bắn trúng hồng tâm đúng 1 lần là: 3. 0,128 = 0,384

b/ Xác suất để 3 lần bắn không trúng hồng tâm là 0,8.0,8.0,8 = 0,512

nên xác suất ít nhất một lần bắn trúng hồng tâm là: 1 – 0,512 = 0,488.

Bài 2/Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất , người thứ hai, người thứ 3 bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6; 0,5

a/ Tìm xác suất để cả 3 người cùng bắn trúng đích.

b/ Tìm xác suất để có it nhất 1 người bắn trúng đích.

c/ Tìm xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích.

Giải 2: a/ Xác suất để cả 3 người cùng bắn trúng đích là P = 0,8.0,6.0,5 = 0,24

b/ Xác suất để cả 3 người bắn không trúng đích là 0,2.0,4.0,5 = 0,04

Xác suất để có ít nhất 1 người bắn trúng đích: 1 – 0,04 = 0,96

c/ Xác suất để có đúng 2 người cùng bắn trúng đích là :

0,8.0,6.0,5 + 0.2.0,6.0,5 + 0,8.0,4.0,5 = 0.46

CÁC DẠNG KHÁC:

Bài 1/Một người chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 4 đôi giày cỡ khác nhau.Tính xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi.

Bài 2/Cho A và B là 2 biến cố độc lập,P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 Tính

a/ .

b/

Giải 2/a/Ta có

=0,6 + 0,3 – 0,6.0,3 = 0,72.

b/Do A và B độc lập nên độc lập.

= 1 – P(A).P(B)

= 1- 0,18 = 0,82.

Bài 3/ Một vé số có 4 chữ số.Nếu vé bạn mua có số trùng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn mua có đúng 3 chữ số trùng với kết quả (kể cả vị trí) thì bạn trúng giải nhì.Bạn An mua một vé số.

a/ Tính xác suất để An trúng giải nhất.(ĐS: 1/10000)

b/ Tính xác suất để An trúng giải nhì.(ĐS:36/10000)

III/ Lời kết.

Các bài tập xác suất rất đa dạng và phong phú. Trên đây là một số kiến thức cơ bản của xác suất phổ thông và một số bài toán thường gặp trong xác suất đã được sắp xếp theo các dạng toán nhằm giúp học sinh dễ nhớ khi học và ôn tập.

TIN KHÁC

• » Gia sư môn toán
• » Đề, đáp án môn Toán thi thử lần 2 liên trường THPT Nghệ An 2019
• » Gia sư môn toán lớp 1-12 tại thành phố Vinh và phụ cận
• » Phương pháp dạy học toán cho học sinh trung bình - Gia sư Toán giỏi tại Vinh
• » Phương pháp học toán hiệu quả - Gia sư toán lớp 1 2 3 5 5 6 7 8 910 11 12 tại Vinh
• » Gia sư Toán Lý, Hoá cho học sinh lớp 12, LTĐH tại thành phố VInh
• » Tớ đã học Toán để thi Đại học như thế nào? Gia sư toán tại thành phố Vinh
• » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - phần mệnh đề
• » Gia sư lớp toán tại tp vinh - Toán 10 HÀM SỐ. TẬP XÁC ĐỊNH – ĐỒ THỊ
• » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH
• » Gia sư toán 10 tại thành phố Vinh - Phương trình
• » Gia sư toán lớp 10 ở thành phố Vinh - Bất đẳng thức
• » Gia sư toán 10 tại Vinh - Thống kê
• » Dạy kèm toán lớp 10 tại Vinh - Lượng giác
• » Gia sư toán lớp 11 tại thành phố Vinh - Phương trình lượng giác
• » Gia sư toán 11 tại Vinh - Tổ hợp và xác suất
• » Gia su taon 11 tai Vinh - Dãy số, cấp số
• » Gia sư toán lớp 11 - Giới hạn dãy số
• » Gia sư toán lớp 11 tại TP Vinh - Giới hạn của hàm số
• » Gia sư toan 11 tai tp Vinh - Tính liên tục của hàm số
• » Gia sư toán 10 tại thành phố Vinh - Đạo hàm
• » Gia sư toán 11 tại Vinh - Phép biến hình phần 1
• » Gia su toan 11 tai Vinh - Phép biến hình phần 2
• » Gia sư toán 11 tại Vinh - Phép biến hình phần 3
• » Gia sư Toán 11 tại Vinh - Đường thẳng và mặt phẳng
• » Gia sư toán lớp 11 tại thành phố Vinh -Hai đường thẳng song song
• » Gia su toan 11 tai Vinh - Đường thẳng song song mặt phẳng
• » Tìm gia sư toán 11 tại Vinh - Hai mặt phẳng song song
• » Những công thức toán học cần nhớ - Gia sư môn Toán lớp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 tại Vinh
• » Gia sư toán 10 tại Vinh - Tập hợp
• » Gia sư lớp 10 ở tp Vinh - Hàm số thực
• » Toán 10 thành phố Vinh - Hàm lượng giác cơ bản
• » Gia sư toán lớp 10 ở tp Vinh - Hàm lượng giác ngược
• » Gia sư toán 10 tại Vinh - Hàm số mũ và logarit
• » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - Mệnh đề
• » Gia sư lớp 10 ở tp Vinh - Tập hợp
• » Gia sư toán 10 tại tp Vinh - Hàm số
• » Gia sư toán lớp 10 tại thành phố Vinh - Phương trình
• » Dạy kèm toán 10 tại thành phố Vinh - Hệ phương trình
• » Gia sư toán lớp 10 thành phố Vinh - Bất đẳng thức
• » Gia sư toán 10 tại tp Vinh - Bất đẳng thức Cô si
• » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - BĐT chứa dấu GTTĐ
• » Gia sư lớp 10 ở tp Vinh - Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
• » Gia sư lớp 10 ở tp Vinh - ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN VÀ GTNN
• » Gia sư toán tại Vinh - Bài tập nâng cao BĐT
• » Gia sư toán 10 tại Vinh - PT, BPT
• » Gia sư toán 10 tại thành phố Vinh - Phương trình - Bất phương trình
• » Gia sư toán lớp 10 tại thành phố Vinh - Thống kê
• » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - Vec tơ phần 1
• » Gia sư toán lớp 10 tại Vinh - Vec tơ phần2
• » Gia sư toán lớp 10 - Vec tơ phần 3
• » Gia su toan 10 tai Vinh - Tích vô hướng của 2 véc tơ P1
• » Gia su toan 10 tai Vinh - Tích vô hướng của 2 véc tơ P2
• » Gia su toan 10 tai Vinh - Phương trinh dương thang
• » Gia su toan 10 tai Vinh - Phương trinh dương tron
• » Gia su toan 10 tai Vinh - Elip
• » Gia sư toán lớp 11 tại thành phố Vinh - Hàm số ượng giác
• » Tìm gia sư toán 11 tại Vinh - Vec tơ trong không gian
• » Gia sư toán 11 tại Vinh - Hai đường thảng vuông góc
• » Gia sư toán 12 tại Vinh - Khảo sát hàm số và ứng dụng đồ thị hàm số
• » Gia sư toán lớp 12 tại TP Vinh - Đạo hàm và ứng dụng
• » Gia sư Toán tại Vinh -Đạo hàm và ứng dụng P3
• » Gia sư toán 12 tại tp Vinh - PT mũ - logarit
• » Mẹo làm bài thi tốt nghiệp môn Toán đạt điểm cao
• » Dạng bài tập dễ xuất hiện trong đề thi ĐH môn Toán
• » Môn Toán: Học sinh chỉ nháp ra giấy nội dung khó
• » Yếu tố nào quyết định BẠN đạt điểm cao môn toán
• » Mẹo làm bài thi tốt nghiệp môn Toán đạt điểm cao
• » Phân tích, dự đoán cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT mônToán
• » Phân tích đề Toán trước khi vào phòng thi
• » Cách giải khác của câu hỏi hóc búa nhất trong đề Toán
• » Phổ điểm Toán đề thi đại học khối A, A1 2014 ở khoảng 5-6
• » Giải câu hệ phương trình khối A năm 2014 bằng nhiều cách
• » Giải đề Toán khối A 2014 bằng nhiều cách
• » Mời bạn đọc xem gợi ý bài giải môn Toán khối B, khối D kỳ thi ĐH đợt 2.
• » 11 cách giải cho câu hình học phẳng (câu 7) khối A 2014
• » Làm đúng nhưng khác đáp án, có được điểm ?
• » Bài giải môn toán, kỳ thi cao đẳng 2014
• » Ôn thi đại học môn Toán: Tổ hợp và xác suất
• » Đề thi kiểm tra năng lực
• » Ôn thi đại học môn Toán: Cực trị của hàm số
• » Tính nhân bằng giao điểm
• » 7 mẹo tính toán mà chúng ta không được học ở trường
• » Đề, đáp thi thử Đại học môn Toán
• » Phương pháp viết phương trình tiếp tuyến
• » Phương pháp đồng bậc để giải hệ phương trình
• » 3 lỗi trình bày mất điểm như chơi khi làm bài thi môn Toán
• » 9 bài học giúp học sinh vượt qua các bài toán chứng minh hình học
• » 12 phương pháp chứng minh bất đẳng thức
• » Bí kíp sử dụng máy tính casio "triệt hạ" câu Hệ phương trình
• » CÁCH TÍNH LIM (giới hạn) BẰNG CASIO FX 570 ES
• » Đáp án đề thi THPT quốc gia môn Toán năm 2015 mới nhất (cập nhật)
• » 199 bài tập hệ phương trình có đáp án- luyện thi THPT Quốc Gia
• » Tuyển chọn 20 đề thi thử các trường chuyên có đáp án thang điểm chi tiết
• » Tuyển tập đề thi vào 10 các tỉnh năm học 2013 - 2014
• » Bài toán "Kim đồng hồ"
• » Nội dung ôn tập thi THPT 2018
• » Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
• » 14 tính chất hình học mặt phẳng giúp bạn lấy điểm tối đa
• » Công thức tính diện tích và thể tích các hình khối cơ bản
• » Đề cương ôn tập học kỳ 1 lớp 12 - THPT Huỳnh Thúc Kháng Vinh
• » Đề cương ôn tập học kỳ 1 lớp 11 - THPT Chuyên Vinh
• » Đề ôn tập học kỳ 1 lớp 12 - Vinh 1
• » Đề cương ôn tập học kỳ 1 lớp 12 - THPT Lê Viết Thuật
• » Đề cương ôn tập học kỳ 1 lớp 12
• » Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
• » Tại sao cơ số của lũy thừa với số mũ hữu tỉ phải dương?
• » Bài 2. Phép đối xứng qua mặt phẳng – HH12 NC
• » Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2019 lần 3 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội
• » Bộ đề thi thử THPT 2019 - Môn Toán (Đáp án chi tiết)
• » Bộ đề chống liệt môn Toán thi THPT 2019
• » Giải chi tiết đề Toán thi thử lần 3 Chuyên ĐH Vinh
• » Đáp án, đề thi thử THPT quốc gia lần 1 năm 2020 của liên trường THPT tỉnh Nghệ An