Các Định Lý Weierstrass - VOER

Các khái niệm cơ bản

Giả sử X size 12{X} {} là một không gian của các hàm xác định trên A size 12{A} {}, f∈X size 12{f in X} {}. Ta cần tìm hàm đơn giản (thuận tiện cho tính toán) φ size 12{φ} {} từ một tập con Φ size 12{Φ} {} của X size 12{X} {} sao cho f size 12{f} {} rất gần với φ size 12{φ} {}.

Không gian X size 12{X} {} thường là không gian định chuẩn hoặc là không gian Bannach của các hàm xác định trên A size 12{A} {}, chẳng hạn như C(A),Lp(A) size 12{C \( A \) ,L rSub { size 8{p} } \( A \) } {} víi 1„p„∞. size 12{1„p„ infinity "." } {} Khi X size 12{X} {} là không định chuẩn thì khoảng cách giữa f size 12{f} {} và φ size 12{φ} {} được đo bằng Pf−φPX size 12{Pf - φP rSub { size 8{X} } } {}. Đại lượng Pf−φPX size 12{Pf - φP rSub { size 8{X} } } {} được gọi là sai số xấp xỉ f size 12{f} {} bëi φ size 12{φ} {}. Tập con Φ size 12{Φ} {} là một tập các hàm số có tính chất đơn giản, thuận tiện cho tính toán. Φ size 12{Φ} {} được gọi là không gian xấp xỉ. Dưới đây là một số không gian xấp xỉ quan trọng.

(a) Φ=Pn size 12{Φ=P rSub { size 8{n} } } {} là một tập các đa thức đại số bậc nhỏ hơn hoặc bằng n size 12{n} {}, tức là tập các hàm có dạng

Pn size 12{P rSub { size 8{n} } } {} thường dùng để xấp xỉ các hàm xác định trên [a,b] size 12{ \[ a,b \] } {}.

(b) Φ=Tn size 12{Φ=T rSub { size 8{n} } } {} là tập các đa thức lượng giác bậc nhỏ hơn hoặc bằng n size 12{n} {}, tức là các hàm xác định trên T size 12{T} {} có dạng

Hoặc

a k e ikx với ∣ a − n ∣ + ∣ a n ∣ = 0 . a rSub { size 8{k} } e rSup { size 8{ ital "ikx"} } `"víi" \lline a rSub { size 8{ - n} } \lline + \lline a rSub { size 8{n} } \lline { { {}=}}0 "." } {}

Tn size 12{T rSub { size 8{n} } } {} thường dùng để xấp xỉ các hàm xác định trên T size 12{T} {}.

(c) Lớp các hàm spline.

(d) Lớp các sóng nhỏ.

Chúng ta đã biết rằng khi A size 12{A} {} là tập compact thì C(A) size 12{C \( A \) } {} là không gian Bannach với chuẩn

PfP := max x ∈ A ∣ f ( x ) ∣ . size 12{PfP":=" {"max"} cSub { size 8{x in A} } \lline f \( x \) \lline "." } {}

Hai định lý dưới đây sẽ gải quyết vấn đề trên cho trường hợp X=C(A) size 12{X=C \( A \) } {} với A=[a,b]hoặcT size 12{A= \[ a,b \] `"hoặc"`T} {}.

Định lý 1 ( Weierstrass-1 ) Mỗi hàm f size 12{f} {} liên tục trên đoạn [ a , b ] size 12{ \[ a,b \] } {} có thể xấp xỉ bằng đa thức đại số với độ chính xác tuỳ ý, nghĩa là với mỗi ε >0 size 12{ε">0"} {} , tồn tại đa thức đại số P size 12{P} {} sao cho

Pf − PP C ( [ a , b ] ) „ ε . size 12{Pf - PP rSub { size 8{C \( \[ a,b \] \) } } „ε "." } {}

Định lý 2 ( Weierstrass-2 ) Mỗi hàm f size 12{f} {} liên tục trên T size 12{T} {} có thể xấp xỉ bằng đa thức lượng giác với độ chính xác tuỳ ý, nghĩa là với mỗi ε >0 size 12{ε">0"} {} , tồn tại đa thức lượng giác T size 12{T} {} sao cho

Pf − TP C ( T ) „ ε . size 12{Pf - TP rSub { size 8{C \( T \) } } „ε "." } {}

Hai định lý này được chứng minh trong các mục sau, dựa vào các tính chất của một số toán tử tuyến tính đặc biệt.

Đa thức Bernstein

Giả sử f∈C([0,1]) size 12{f in C \( \[ "0,1" \] \) } {}, công thức

xác định một ánh xạ từ C([0,1]) size 12{C \( \[ "0,1" \] \) } {} vào Pn size 12{P rSub { size 8{n} } } {}. Ta gọi Bn(f) size 12{B rSub { size 8{n} } \( f \) } {} là đa thức Bernstein bậc n size 12{n} {} của f size 12{f} {}. Mệnh đề sau cho ta biết các tính chất của Bn: size 12{B rSub { size 8{n} } :} {}

Mệnh đề 3

(i) Bn size 12{B rSub { size 8{n} } } {} là toán tử tuyến tính bị chặn với chuẩn 1 size 12{1} {}, xác định dương, tức là PB n P =1, B n ( f ) ≥ 0 với f ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ A . size 12{PB rSub { size 8{n} } P"=1,"B rSub { size 8{n} } \( f \) >= 0`"víif" \( x \) >= 0` forall `x in A "." } {}

(ii) Ký hiệu ek(x):=xk,k=0,1,2. size 12{e rSub { size 8{k} } \( x \) ":="x rSup { size 8{k} } ,`k"=0,1,2" "." } {} Ta có B n ( e 0 ) = e 0 , B n ( e 1 ) = e 1 , B n ( e 2 , x ) = e 2 ( x ) + x ( 1 − x ) 2 . size 12{B rSub { size 8{n} } \( e rSub { size 8{0} } \) =e rSub { size 8{0} } ,`B rSub { size 8{n} } \( e rSub { size 8{1} } \) =e rSub { size 8{1} } ,`B rSub { size 8{n} } \( e rSub { size 8{2} } ,x \) =e rSub { size 8{2} } \( x \) + { {x \( 1 - x \) } over {2} } "." } {}

Proof. (i). Hiển nhiên Bn size 12{B rSub { size 8{n} } } {} là toán tử tuyến tính và xác định dương. Với mỗi f∈C([0,1]) size 12{f in C \( \[ "0,1" \] \) } {} ta có Do đó PBn(fP) = PfP

Đặt biệt, với f=1 size 12{f"=1"} {} thì PBn(f)P=PfP size 12{PB rSub { size 8{n} } \( f \) P=PfP} {}. Suy ra PBnP=1. size 12{PB rSub { size 8{n} } P"=1" "." } {}

(ii). Ta có e0=1 size 12{e rSub { size 8{0} } "=1"} {} nên Bn(e0)=e0. size 12{B rSub { size 8{n} } \( e rSub { size 8{0} } \) =e rSub { size 8{0} } "." } {} Ta cũng có

và

Từ(1.1) suy ra , kết hợp với (1.2) ta có

Vậy Bn(e2,x)=e2(x)+x(1−x)n size 12{B rSub { size 8{n} } \( e rSub { size 8{2} } ,x \) =e rSub { size 8{2} } \( x \) + { {x \( 1 - x \) } over {n} } } {}.

Chuỗi Fourier

Giả sử

được gọi là chuỗi Fourier (dạng phức) của f size 12{f} {}, và fˆ(n) size 12{ { hat {f}} \( n \) } {} là hệ số Fourier của f size 12{f} {}. Chuỗi Fourier dạng thực của f size 12{f} {} là chuỗi có dạng trong đó là hệ số Fourier của f size 12{f} {}.

Ta có

và

như vậy ak size 12{a rSub { size 8{k} } } {}, bk size 12{b rSub { size 8{k} } } {} có thể biểu diễn qua fˆ(k) size 12{ { hat {f}} \( k \) } {} và fˆ(−k) size 12{ { hat {f}} \( - k \) } {}. Ngược lại ta cũng có fˆ(k)=(ak−ibk)/2. size 12{ { hat {f}} \( k \) = \( a rSub { size 8{k} } - ital "ib" rSub { size 8{k} } \) "/2" "." } {}

Giả sử f∈L1(T) size 12{f in L rSub { size 8{1} } \( T \) } {}, đại lượng

được gọi là tổng Fourier bậc n size 12{n} {} cña f size 12{f} {}. V× PSn(f)−fPL1(T) size 12{PS rSub { size 8{n} } \( f \) - fP rSub { size 8{L rSub {1} \( T \) } } } {} có thể không hội tụ đến không khi n→∞ size 12{n rightarrow infinity } {}, nên ta không dùng Sn(f) size 12{S rSub { size 8{n} } \( f \) } {} để xấp xỉ f size 12{f} {}. Ta có thể khắc phục nhược điểm này như sau:

Với f,g∈L1(T) size 12{f,g in L rSub { size 8{1} } \( T \) } {}, tích chập của hai hàm f size 12{f} {} và g size 12{g} {} là hàm f∗g size 12{f*g} {} được xác định bởi

Ta có

Ta gọi Dn(t) size 12{D rSub { size 8{n} } \( t \) } {} là nhân Dirichlet. Đặt

và

Khi đó ta có

(1.3)

Ta gọi Fn(x) size 12{F rSub { size 8{n} } \( x \) } {} là nhân Fejer. Dưới đây là các tính chất đơn giản của nhân Fejer và nhân Dirichlet.

Mệnh đề 4

(i) Dn size 12{D rSub { size 8{n} } } {} và Fn size 12{F rSub { size 8{n} } } {} là các đa thức lượng giác bậc n size 12{n} {}.

(ii)

D n ( x ) = sin ( 2n + 1 ) x 2 sin x 2 và F n ( x ) = sin 2 ( n + 1 ) x 2 ( n + 1 ) sin 2 x 2 size 12{D rSub { size 8{n} } \( x \) = { {"sin" { { \( 2n+1 \) x} over {2} } } over {"sin" { {x} over {2} } } } và F rSub { size 8{n} } \( x \) = { { {"sin"} rSup { size 8{2} } { { \( n+1 \) x} over {2} } } over { \( n+1 \) {"sin"} rSup { size 8{2} } { {x} over {2} } } } } {}

(iii) σn size 12{σ rSub { size 8{n} } } {} là toán tử tuyến tính xác định dương, Dn size 12{D rSub { size 8{n} } } {} đổi dấu.

(iv) PσnP=1 size 12{Pσ rSub { size 8{n} } P"=1"} {}.

Proof. (i) Dn(x) size 12{D rSub { size 8{n} } \( x \) } {} và Fn(x) size 12{F rSub { size 8{n} } \( x \) } {} là đa thức lượng giác vì