Các Phép Biến Hình Trên Mặt Phẳng Và Trong Không Gian ...

Việc hình thành hình ảnh và các hành động khác nhau với nó đòi hỏi người dùng phải có kiến ​​thức toán học nhất định. Các khái niệm hình học, công thức và dữ kiện liên quan đến mặt phẳng và trường hợp ba chiều đóng một vai trò đặc biệt trong các bài toán đồ họa máy tính. Các nguyên tắc của hình học phân tích, kết hợp với khả năng ngày càng mở rộng của công nghệ máy tính, là nguồn không ngừng tạo ra những tiến bộ quan trọng trong sự phát triển của đồ họa máy tính, sử dụng hiệu quả nó trong CAD.

Raster và hình ảnh vector

Có hai loại hình ảnh: raster và vector. Một ảnh raster bao gồm một tập hợp các chấm - pixel (từ tiếng Anh là pixel - PIcture ELement), mỗi pixel có một màu nhất định. Các pixel càng dày đặc, kích thước của chúng càng nhỏ và số lượng màu càng nhiều thì chất lượng hình ảnh càng cao. Ví dụ về hình ảnh raster: in offset (báo), hình ảnh trên màn hình máy tính, bản vẽ được quét. Với độ phân giải tốt của các thiết bị đầu ra đồ họa, chất lượng hình ảnh raster rất cao sẽ đạt được, nhưng thật không may, làm việc với chúng cực kỳ bất tiện và chất lượng bị mất khi mở rộng. Trong trường hợp đơn giản nhất, một hình ảnh vectơ không bao gồm các điểm, mà là một tập hợp các đoạn thẳng được xác định bởi tọa độ của các điểm cuối của chúng. Một hình ảnh như vậy có thể dễ dàng thu nhỏ mà không làm giảm chất lượng và có thể dễ dàng xử lý. Trong hầu hết các gói đồ họa được sử dụng trong CAD, thông tin được trình bày dưới dạng vector.

Phép biến hình Affine trên mặt phẳng

Giả sử một hệ tọa độ tuyến tính được giới thiệu trên mặt phẳng. Khi đó mỗi điểm M được liên kết với một cặp số có thứ tự (x, y) tọa độ của nó (Hình 1). Giới thiệu một hệ trục tọa độ nghiêng khác trên mặt phẳng, chúng ta đặt tương ứng với cùng điểm M một cặp số khác - (x *, y *).

Sự chuyển đổi từ một hệ tọa độ trực tuyến trong mặt phẳng này sang một hệ tọa độ khác được mô tả bởi các quan hệ sau:

(*)

Các số tùy ý liên quan đến bất đẳng thức ở đâu:

Trong tương lai, chúng ta sẽ coi công thức (*) như một quy tắc, theo đó các điểm của mặt phẳng được biến đổi trong một hệ tọa độ cho trước.

Trong các phép biến đổi affine, một số trường hợp đặc biệt quan trọng có các đặc điểm hình học được truy tìm rõ ràng đã đóng một vai trò đặc biệt.

A. Chuyển động quay quanh điểm xuất phát một góc j (Hình 2a) được mô tả bằng công thức

B. Lực căng (nén) dọc theo các trục tọa độ (Hình 2b) có thể được thiết lập như sau:

C. Phản xạ về trục abscissa (Hình 2c) được thiết lập bằng công thức

D. Chuyển giao (Hình 2d) được cung cấp bởi các tỷ lệ

Như nó đã được chứng minh trong quá trình hình học giải tích, bất kỳ phép biến đổi nào có dạng (*) luôn có thể được biểu diễn dưới dạng thực hiện tuần tự (chồng chất) của các phép biến đổi đơn giản nhất có dạng A, B, C và D. Để sử dụng hiệu quả các công thức nổi tiếng này trong các bài toán đồ họa máy tính, viết chúng dưới dạng ma trận sẽ thuận tiện hơn. Các ma trận cho các trường hợp A, B và C được xây dựng dễ dàng và có dạng tương ứng như sau:

Để giải quyết vấn đề, rất mong muốn sử dụng phương pháp tiếp cận ma trận để bao hàm tất cả bốn phép biến đổi đơn giản nhất (bao gồm cả phép chuyển), và do đó, phép biến đổi affine tổng quát. Điều này có thể đạt được bằng cách mô tả một điểm tùy ý của mặt phẳng không phải bằng hai tọa độ, như đã làm ở trên, mà bằng một bộ ba số có thứ tự.

Tọa độ điểm thống nhất

Để cho được M- điểm tùy ý của mặt phẳng có tọa độ x và yđược tính toán đối với một hệ tọa độ tuyến tính nhất định. Tọa độ thuần nhất của điểm này là bất kỳ bộ ba nào đồng thời khác 0 x1, x2, x3, liên kết với các số nhất định x và y các tỷ lệ sau:

Khi giải các bài toán đồ họa máy tính, tọa độ thuần nhất thường được giới thiệu như sau: một điểm tùy ý M (x, y) máy bay được chỉ định một điểm M * (x, y, 1) trong không gian (Hình 3).

Với sự trợ giúp của bộ ba tọa độ thuần nhất và ma trận bậc ba, bất kỳ phép biến đổi affine nào trên mặt phẳng đều có thể được mô tả. So sánh phương trình (*) và ma trận sau:

,

ta dễ dàng nhận thấy rằng sau khi nhân các biểu thức ở vế phải của quan hệ cuối cùng ta được cả công thức (*) và đồng dạng 1 = 1. Như vậy, các bản ghi được so sánh là tương đương nhau.

Phép biến đổi Affine trong không gian

Để thực hiện các cấu tạo không gian, tương tự như bài toán hai chiều, tọa độ ba điểm (XYZ)được thay thế bằng bốn số (x, y, z, 1). Điều này làm cho nó có thể sử dụng ký hiệu ma trận trong các bài toán ba chiều phức tạp hơn.

Bất kỳ phép biến đổi affine nào trong không gian ba chiều đều có thể được biểu diễn dưới dạng chồng chất của phép quay, phép kéo giãn, phản xạ và phép tịnh tiến. Về mặt toán học, tất cả các phép biến đổi đều được rút gọn thành phép nhân ma trận bậc 4. Ví dụ, ma trận quay quanh trục abscissa theo góc j có dạng:

.

Các loại phép chiếu

Hình ảnh của các vật thể ba chiều trên mặt phẳng hình ảnh được liên kết với một phép toán hình học khác - phép chiếu bằng cách sử dụng một bó đường.

Có một số kiểu chiếu khác nhau được sử dụng trong đồ họa máy tính. Phép chiếu song song và phép chiếu trung tâm được sử dụng phổ biến nhất.

Để có hình chiếu của một vật thể lên mặt phẳng hình cần vẽ một đường thẳng từ một tia chiếu đã cho qua từng điểm của nó rồi tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng hình. Trong trường hợp chiếu trung tâm, tất cả các đường phát ra từ một điểm - trung tâm của chùm tia. Trong phép chiếu song song, giả thiết rằng tâm của chùm tia nằm ở vô cùng (Hình 4). Về mặt toán học, phép chiếu cũng giảm thành phép nhân các ma trận tương ứng.

Hãy lấy một số vectơ trên mặt phẳng (hoặc trong không gian) (Hình. 142). Với một phép biến đổi affine, các điểm tương ứng được chuyển đến các điểm có cùng tọa độ so với khung mới như các điểm có cùng tọa độ so với khung cũ. Vì tọa độ của một vectơ nhận được bằng cách trừ tọa độ của điểm bắt đầu cho tọa độ cuối của nó, nên tọa độ của vectơ so với khung mới cũng giống như tọa độ của vectơ so với khung cũ. Cho nên:

Trong một phép biến đổi affine, một vectơ được liên kết với một vectơ có cùng tọa độ so với khung mới mà vectơ đó có liên quan đến khung cũ.

Từ đó ngay lập tức theo một phép biến đổi affine, các vectơ bằng nhau tương ứng với các vectơ bằng nhau, do đó:

2 ° Phép biến đổi affine của một mặt phẳng (không gian) tạo ra một ánh xạ một-một lên chính nó (phép biến đổi) của đa tạp V của tất cả các vectơ tự do của mặt phẳng (tương ứng, của không gian).

Phép biến đổi này có tính chất tuyến tính sau: nếu, theo một phép biến đổi cho trước, các vectơ u, v tương ứng với vectơ u, v, thì vectơ sẽ tương ứng với vectơ và vectơ sẽ tương ứng với vectơ Lie ( được chứng minh ngay lập tức bằng cách chuyển đến tọa độ). Từ thuộc tính của tuyến tính sau đây, thêm nữa:

Nếu đối với một vectơ biến đổi affine đã cho tương ứng với vectơ, thì bất kỳ kết hợp tuyến tính nào

của vectơ tương ứng với một tổ hợp tuyến tính

vectơ (cùng hệ số).

Vì dưới một phép biến đổi affine, vectơ số không rõ ràng là tương ứng với số không, nó tuân theo những gì đã được chứng minh:

4 ° Với phép biến đổi affine, sự phụ thuộc tuyến tính của các vectơ được bảo toàn, có nghĩa là hai vectơ thẳng hàng bất kỳ trở thành thẳng hàng và ba vectơ đồng phẳng bất kỳ trở thành đồng phẳng).

5 ° Phép biến đổi nghịch đảo thành phép biến đổi affine là một phép biến đổi affine.

Thật vậy, nếu một phép biến đổi afin nhất định A của mặt phẳng được cho bởi một phép chuyển từ khung sang khung, thì phép biến đổi affine được cho bởi phép chuyển từ khung sang khung, như dễ thấy, là một phép biến đổi ngược với biến đổi A.

Điều này cũng đúng với không gian.

Chúng ta đã thấy rằng dưới một phép biến đổi affine, sự phụ thuộc tuyến tính của các vectơ được bảo toàn. Tính độc lập tuyến tính của các vectơ cũng được bảo toàn:

6 ° Theo phép biến đổi affine A, bất kỳ hệ vectơ ux độc lập tuyến tính nào,. được chuyển thành một độc lập tuyến tính - nếu không, với một phép biến đổi affine nghịch đảo với A, một hệ phụ thuộc tuyến tính u,. sẽ trở nên độc lập tuyến tính, điều này, như chúng ta biết, là không thể.

Vì khung là một hệ thống các vectơ độc lập tuyến tính (hai trong mặt phẳng, ba trong không gian) gắn với một điểm O cho trước, nên dưới một phép biến đổi affine, bất kỳ khung nào cũng đi vào một khung. Hơn nữa, có một mệnh đề

7 ° Với ánh xạ affine (được cho bởi phép chuyển từ khung I sang khung) bất kỳ khung II nào đi đến khung [và bất kỳ điểm M (bất kỳ vectơ i) đi đến điểm M (đối với vectơ) có cùng tọa độ so với khung, là điểm M và vectơ và có so với khung II.

Cách chứng minh trong trường hợp mặt phẳng và trong trường hợp không gian là như nhau. Chúng tôi tự giới hạn mình trong trường hợp máy bay. Gọi II là khung (Hình. 143), và đặt khung đầu tiên là một câu lệnh liên quan đến vectơ. Nếu vectơ và có tọa độ so với khung thì. Nhưng sau đó hình ảnh của vectơ, theo tính chất 3 °, là vectơ

có tọa độ so với điểm chuẩn. Cho điểm M có tọa độ so với khung.

Sau đó, theo phần trước, đối với khung, cung OM, và do đó là điểm M, có tọa độ. Khẳng định đã được chứng minh.

Câu lệnh đã được chứng minh là rất cần thiết: nó theo sau rằng, sau khi chỉ định một phép chuyển đổi affine bằng cách truyền từ một số khung sang khung, chúng ta có thể chỉ định nó bằng cách lấy bất kỳ khung nào làm khung ban đầu và chỉ định khung mà nó phải chuyển đến.

Như một ứng dụng của nhận xét vừa được thực hiện, chúng tôi chứng minh rằng tích của hai phép biến đổi affine là một phép biến đổi affine.

Thật vậy, hãy cho một phép biến đổi affine bằng cách truyền từ khung I sang khung II. Theo những gì vừa được chứng minh, chúng ta có thể xác định một phép biến đổi affine bằng cách chuyển từ khung II sang khung III nào đó. Khi đó, phép biến đổi affine được cho bởi sự chuyển đổi từ khung I sang khung III, rõ ràng là sản phẩm của phép biến đổi và phép biến hình.

Nhận xét 1. Các tính chất vừa được chứng minh của phép biến đổi affine 1 ° - 7 ° rõ ràng cũng phù hợp với các ánh xạ affine của một mặt phẳng lên mặt phẳng khác (một ví dụ của không gian ba chiều lên một mặt phẳng khác).

Phép biến đổi đồng dạng của một mặt phẳng, tương ứng với không gian, rõ ràng là một phép biến đổi affine. Nhớ lại rằng một phép biến đổi nghịch đảo với một phép chuyển đổi liên kết là một phép biến đổi liên kết. Cuối cùng, như chúng ta vừa chứng minh, tích của hai phép biến đổi affine là một phép biến đổi affine. Từ điều này - trên cơ sở điều kiện được đưa ra trong § 6, đoạn 6, Phụ lục - ngay sau đây

Định lý 1. Trong nhóm tất cả các phép biến đổi mặt phẳng (không gian), các phép biến đổi affine tạo thành một nhóm con.

Trong số các phép biến đổi affine, các chuyển động được phân biệt bởi thực tế là chúng có thể được xác định bằng cách chuyển từ hệ tọa độ hình chữ nhật này sang hệ tọa độ hình chữ nhật khác, cũng là hình chữ nhật và có cùng tỷ lệ. Phép biến đổi nghịch đảo thành chuyển động là chuyển động, và tích của hai chuyển động là chuyển động. Vì phép biến hình giống hệt nhau là một trường hợp đặc biệt của chuyển động, nên (tương tự hoàn toàn với Định lý 1) chúng ta cũng có

Định lý 1. Trong nhóm tất cả các phép biến đổi affine, các chuyển động tạo thành một nhóm con.

Chúng tôi tiếp tục liệt kê các thuộc tính đơn giản nhất của phép biến đổi và ánh xạ affine.

Ba điểm thẳng hàng (nghĩa là chúng nằm trên cùng một đường thẳng) nếu và chỉ khi các vectơ thẳng hàng. Và vì tính thẳng hàng của các vectơ được bảo toàn dưới một phép biến đổi affine, nên tính cộng tuyến của các điểm cũng được bảo toàn. Nó sau đây:

Dưới ánh xạ affine (của mặt phẳng hoặc không gian), một đường thẳng trở thành một đường thẳng.

Bây giờ chúng tôi sẽ đưa ra một bằng chứng thứ hai về thực tế này.

Cho một ánh xạ affine được đưa ra. Nó bao gồm thực tế là mỗi điểm M có tọa độ (trong hệ tọa độ) đi đến điểm M, có cùng tọa độ trong hệ thứ hai. Điều này nghĩa là:

9 ° Với một ánh xạ affine đã cho (được xác định bằng phép chuyển từ khung sang khung), tập hợp tất cả các điểm có tọa độ (trong hệ tọa độ) thỏa mãn một phương trình nào đó sẽ trở thành tập hợp các điểm có tọa độ trong hệ thỏa mãn cùng một phương trình.

Đặc biệt, đường thẳng có phương trình

(trong hệ) sẽ đi vào một đường thẳng có cùng phương trình, nhưng chỉ trong hệ tọa độ.

Theo cách tương tự, với một phép biến đổi affine của không gian (được xác định bởi sự chuyển từ khung này sang khung khác), một mặt phẳng có phương trình trong hệ

đi vào một mặt phẳng có cùng phương trình (2), nhưng chỉ trong hệ tọa độ.

Một đường thẳng cho trong không gian bởi "phương trình tổng quát" của nó

hoặc một hoặc một trong các giống đặc biệt của nó, ví dụ, phương trình chính tắc

dưới một phép biến đổi affine cho trước, nó sẽ đi thành một đường thẳng có cùng phương trình, nhưng chỉ trong hệ tọa độ. Vì vậy, đã được chứng minh

Định lý 2. Trong phép biến đổi afin của một mặt phẳng, trong không gian, đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng chuyển thành mặt phẳng.

Điều này duy trì tính song song.

Thật vậy, nếu hai đường thẳng (hoặc hai mặt phẳng, hoặc một đường thẳng và một mặt phẳng) song song thì phương trình của chúng đối với hệ khung thỏa mãn các điều kiện song song đã biết; nhưng ảnh của những đường thẳng (mặt phẳng) này có cùng phương trình đối với khung, và do đó, thỏa mãn cùng điều kiện song song.

Nhận xét 2. Bảo toàn tính song song trong phép biến đổi affine cũng có thể được suy ra bằng cách sử dụng thực tế rằng phép biến đổi affine là một-một.

Thật vậy, đối với bất kỳ ánh xạ một-một nào (ví dụ, của một không gian lên chính nó), ảnh của giao của hai (bất kỳ) tập hợp là giao của ảnh của các tập hợp này.

Do đó, hai tập hợp giao nhau dưới bất kỳ ánh xạ một-một nào sẽ biến thành những tập hợp giao nhau.

Theo đó, dưới phép biến đổi affine của một mặt phẳng, hai đường thẳng song song và dưới ánh xạ affine của không gian, hai mặt phẳng song song trở thành song song; tính chất song song giữa đường thẳng và mặt phẳng cũng được bảo toàn.

Cho hai đường thẳng song song trong không gian; chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. Dưới một phép biến đổi affine của không gian, hai đường thẳng này chuyển thành hai đường thẳng, cũng nằm trong cùng một mặt phẳng và không cắt nhau, nghĩa là thành hai đường thẳng song song.

Định lý 3. Trong một phép biến đổi afin của mặt phẳng (không gian) biến đường thẳng d thành đường thẳng, đoạn thẳng d thành đoạn thẳng và điểm M thuộc đường thẳng d, chia đoạn theo quan hệ này K, chuyển thành điểm

M đường thẳng d, chia đoạn theo tỉ lệ như nhau (Hình 144).

Bằng chứng. Vì đối với A. dương, chúng ta thu được các điểm nằm bên trong đoạn (tương ứng và đối với âm - bên ngoài đoạn này, thì phát biểu đầu tiên tiếp sau phát biểu thứ hai của Định lý 3. Chúng ta chứng minh phát biểu thứ hai của Định lý 3, tự giới hạn mình trong trường hợp của một mặt phẳng. Để (trong hệ tọa độ) ta có

Vì điểm M chia đoạn theo mối quan hệ với

trong không gian các bình đẳng này sẽ được nối với nhau bởi bình đẳng. Với phép biến đổi affine này, các điểm sẽ đi đến các điểm có cùng tọa độ với điểm, nhưng chỉ trong hệ tọa độ. Các tọa độ này vẫn được nối với nhau bằng quan hệ (3), từ đó nó theo sau mà đoạn MM chia theo quan hệ. Điều này chứng minh Định lý 3.

Giả sử, dưới một phép biến đổi affine A của không gian, mặt phẳng được ánh xạ lên mặt phẳng. Chúng ta hãy lấy một số khung trong mặt phẳng, tức là một cặp vectơ không đối chiếu áp dụng cho một số điểm o (Hình 145). Theo phép biến đổi A, điểm nằm trên mặt phẳng sẽ chuyển thành điểm nằm trên mặt phẳng, vectơ không thẳng hàng sẽ chuyển thành vectơ không thẳng hàng, tức là khung từ mặt phẳng sẽ đi đến khung của mặt phẳng.

Trong trường hợp này, bất kỳ vectơ nào nằm trong mặt phẳng sẽ chuyển thành một vectơ nằm trong mặt phẳng có cùng tọa độ đối với khung, mà vectơ đó đối với khung. Từ đó mọi điểm M của mặt phẳng cũng sẽ đi đến một điểm M của mặt phẳng, có cùng tọa độ đối với khung mà điểm M nằm trong mặt phẳng đối với khung. Định lý 4. Cho trong một phép biến đổi affine của không gian, mặt phẳng i đi vào mặt phẳng. Sau đó, phép biến hình A ánh xạ một khung tùy ý của mặt phẳng với một khung nào đó của oaplane và giao cho mỗi điểm M của mặt phẳng một điểm M của mặt phẳng mà đối với khung, cùng tọa độ mà điểm M có tôn trọng khung. Nói cách khác: phép biến đổi A tạo ra ánh xạ afin của một mặt phẳng lên một mặt phẳng.

Các phép biến đổi trên mặt phẳng và trong không gian

Trong đồ họa máy tính, mọi thứ liên quan đến vỏ máy bay thường được ký hiệu là hai chiều 2D (2-dimentional) và mọi thứ liên quan đến không gian - 3D.

Phép biến hình Affine trên mặt phẳng

Affinis - liên quan (vĩ độ). Vì các số liệu được bảo toàn trong quá trình biến đổi affine.

Giả sử có một hệ tọa độ tuyến tính (OXY) nào đó. Khi đó, mỗi điểm M có thể được liên kết với một cặp tọa độ (x, y). Bằng cách đưa vào một hệ tọa độ khác O * X * Y *, bạn có thể đặt một cặp tọa độ khác (x *, y *) trên cùng một điểm M. Chuyển đổi từ hệ thống này sang hệ thống khác:

x * = ax + by + c, với điều kiện | a b | ¹0

y * = dx + ey + f | d e |

Các công thức này có thể được xem xét theo hai cách, hoặc lưu điểm và thay đổi hệ tọa độ, hoặc lưu hệ tọa độ và thay đổi điểm. Trong tương lai, những công thức này sẽ được coi chính xác là một phép biến hình của các điểm trong một hệ tọa độ nhất định. Hơn nữa, tất cả các hệ thống được xem xét sẽ là hình chữ nhật (các công thức cho phép bạn làm việc với các hệ thống không phải là hình chữ nhật).

Cần lưu ý rằng toạ độ của điểm M có thể được biểu diễn dưới dạng véc tơ từ gốc toạ độ Mx, My.

Khi đó phép biến đổi có thể được viết dưới dạng vectơ (điều này chỉ đúng với hệ tọa độ hình chữ nhật).

M * = ((M-O *) X *, (M-O *) Y *)

Trong đó O * - tọa độ của điểm gốc của hệ thứ hai trong tọa độ của hệ thứ nhất. X *, Y * - orts (đạo diễn của vectơ) của hệ tọa độ thứ hai trong tọa độ của hệ thứ nhất.

a = (Xx *), b = (Xy *), c = -O * X *

d = (Yx *), e = (Yy *), f = -O * Y *

Phép biến đổi này cũng có thể được viết dưới dạng ma trận

, hoặc , trong đó các vectơ được coi là ma trận có dạng 1´2.

Cij phần tử của ma trận C = AB là tổng tích các phần tử của hàng thứ i của ma trận A và các phần tử của cột thứ j của ma trận B.

Biến đổi nghịch đảo - nghiệm của hệ phương trình tuyến tính hoặc sử dụng ma trận nghịch đảo , nhưng đối với trường hợp hệ thống được biểu diễn bởi các tổ chức, thì nó có thể đơn giản hơn. Trong trường hợp này, ma trận nghịch đảo bằng ma trận đã hoán vị.

Phép biến đổi Affine - một phép biến đổi hình học của một mặt phẳng hoặc không gian ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ có thể được thực hiện bằng cách kết hợp phép quay, phép tịnh tiến, phản chiếu và chia tỷ lệ theo các hướng của trục tọa độ.

Rotation (R - phép quay). Xung quanh gốc tọa độ một góc a.

x * = x * cosa-y * sina

y * = x * sina + y * cosa

Lực căng, nén dọc theo các trục tọa độ (D - giãn nở).

Phản xạ (M - gương). Tương đối với trục abscissa.

Chuyển (T - dịch).

Phép chuyển không thể được biểu diễn dưới dạng tích của một vectơ bởi một ma trận, nhưng nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các vectơ.

Trong quá trình hình học giải tích, người ta chứng minh rằng bất kỳ phép biến đổi nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng thực hiện liên tiếp (chồng chất) của các phép biến đổi đơn giản nhất này.

Đôi khi rất thuận tiện để biểu diễn tất cả các phép biến đổi ở một dạng ma trận; vì vậy, tọa độ thuần nhất được sử dụng.

Toạ độ đồng nhất

Đối với một điểm M có tọa độ x, y trên mặt phẳng tọa độ thuần nhất là bộ ba số x1, x2, x3 đồng thời không bằng 0 và liên hệ với nhau bằng các quan hệ x1 / x3 = x, x2 / x3 = y. Một điểm có tọa độ x, y trên mặt phẳng tương ứng với một điểm xh, y, h, h trong không gian thuần nhất, thường là h = 1 (x, y, 1).

Phép biến hình tổng quát của các điểm trong các tọa độ thuần nhất có thể được viết dưới dạng

Và các ma trận biến đổi cơ bản sẽ có dạng như sau:

tổ hợp các phép biến hình.

Giả sử chúng ta cần quay một điểm một góc xung quanh điểm A nào đó.

Bắt đầu di chuyển điểm A về gốc tọa độ (-Ax, -Ay). Lượt tiếp theo. Sau đó chuyển về điểm A. (Ax, Ay). Bạn có thể nhận được một chuyển đổi duy nhất

Phép biến đổi Affine trong không gian

Trong không gian 3D, một điểm (vectơ) được biểu diễn bằng ba tọa độ (x, y, z) hoặc bốn tọa độ đồng nhất (x, y, z, 1).

Các khái niệm về bộ ba trái và phải của vectơ nên được giới thiệu. Ba vectơ a, b, c tạo thành một bộ ba phải nếu sau khi kết hợp các đầu của vectơ, chuyển động ngắn nhất từ ​​a đến b dường như đối với người quan sát khi nhìn từ cuối vectơ c đi ngược chiều kim đồng hồ. Quy tắc bàn tay phải - vectơ a kết hợp với khuỷu tay, vectơ b vào lòng bàn tay, vectơ c trùng với ngón tay cái. Thông thường gọi một hệ tọa độ là đúng nếu các vectơ chỉ phương của nó tạo thành một bộ ba bên phải.

Tích chéo c = a´b, c là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ, tạo thành một bộ ba vuông với chúng.

Cx = Ay * Bz-Az * By, Cy = Az * Bx-Ax * Bz, C z = Ax * By- Ay * Bx

Các phép biến hình vẫn như cũ: quay (bây giờ chỉ quanh ba trục), kéo dài, phản xạ (đối với ba mặt phẳng), tịnh tiến.

Quay ngược chiều kim đồng hồ, nếu nhìn từ gốc đối với hệ tọa độ bên trái (đối với bên phải - ngược lại).

, ,

,

, ,

Ví dụ, bạn cần xây dựng một ma trận quay về một đường thẳng với vectơ trực tiếp L đi qua điểm A.

1. Chuyển A về điểm gốc

2. Căn chỉnh của đoạn thẳng với trục X.

Đầu tiên xoay quanh trục x

góc a, cosa = Lz / d, sina = Lx / d, trong đó d =

Nếu d = 0, thì đường thẳng đã trùng với trục X.

Sau đó quay quanh trục Y một góc b.

Vectơ quay là (Lx, Ly, Lz, 1) = (Lx, 0, d, 1).

cosb = Lx, sinb = d

3. Xoay quanh trục X đến góc mong muốn

4. Trở lại trục L,

5. Chuyển đến điểm A

Ma trận chung sẽ biến ra

Chuyển đổi sang một hệ tọa độ được cung cấp bởi các orts

Nếu hệ được cho bởi bộ ba vectơ vuông góc với nhau X *, Y *, Z *.

, phép biến đổi nghịch đảo là ma trận chuyển vị [R] T

Thiết kế

Thiết kế là điều cần thiết ngay từ đầu để hiển thị các đối tượng 3D trên màn hình phẳng, nhưng còn có những công dụng khác, chẳng hạn như bóng đổ.

Có hai kiểu thiết kế song song và trung tâm (phối cảnh) được sử dụng nhiều nhất.

Khi chiếu một vật thể lên mặt phẳng, cần kẻ một đường thẳng từ một tia chiếu đã cho qua từng điểm của vật thể đó và tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng.

Trong phép chiếu song song, chùm sáng bao gồm các đường thẳng song song; trong phép chiếu trung tâm, chùm tia đi qua một điểm nhất định.

Các phép chiếu song song có thể được chia thành hai loại, khi các đường tia vuông góc với mặt phẳng hình chiếu - các hình chiếu được gọi là trục và khi không, xiên (chúng ta sẽ không xét các phép chiếu như vậy).

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, để có được hình chiếu song song axonometric của một vật trên màn ảnh, bạn cần kết hợp hướng của chùm tia với một trong các trục (thường là Z). Trục X và Y sẽ trùng với trục X, Y trên màn hình và trục Z sẽ hướng sâu vào trong màn hình.

Để có được hình chiếu phối cảnh của một điểm, điều cực kỳ quan trọng là phải đặt điểm biến mất của chùm tia tại gốc toạ độ, căn chỉnh hướng tới màn hình (vuông góc từ điểm biến mất với mặt phẳng hình chiếu) với trục Z, sau đó Xp = X * d / Z, Yp = Y * d / Z, trong đó d là khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng thiết kế.

Phép biến đổi này có thể được viết dưới dạng ma trận. ,

Điều duy nhất là độ sâu (z) bị mất trong một phép biến đổi như vậy, nhưng nó có thể được tính toán từ tọa độ cuối cùng của vectơ.

Ngoài những biến đổi thiết kế này, điều cần thiết là phải thực hiện thêm một số thay đổi để hình ảnh hiển thị ngay trên màn hình. Trước hết, nó cần được kéo dài bằng kích thước của cửa sổ, thứ hai, nó cần được phản chiếu xung quanh trục X (vì trục Y thường hướng xuống), thứ ba, nó cần được di chuyển vào tâm của cửa sổ.

Ma trận biến đổi tổng thể trông như thế này.

Cx, Cy - tọa độ của tâm màn hình.

tỷ lệ - tỷ lệ giữa kích thước Y và kích thước X, khác nhau đối với các độ phân giải màn hình khác nhau. Độ phân giải - số điểm trên một đơn vị bề mặt, trong trường hợp này, đơn vị là toàn bộ màn hình điều khiển. Màn hình điều khiển có tỷ lệ giữa kích thước ngang và dọc là 4/3, vì vậy đối với độ phân giải có số chấm ngang và dọc là bội của số này, tỷ lệ = 1 (ví dụ: 640/480). Ngược lại, tỷ lệ = (4 * sizey) / (3 * sizex) (320x200 = 0,83).

S là hệ số tỷ lệ, đối với hình chiếu song song, nó được chọn bằng tay, đối với hình chiếu phối cảnh S bằng một, nhưng d (khoảng cách đến mặt phẳng hình chiếu) được tính dựa trên trường xem FOV (trường nhìn). FOV - góc lớn nhất mà các đường thẳng tạo thành trong chùm tia, góc trông.

FOV thường nằm trong khoảng từ 50 ° đến 100 °, FOV của mắt người là 90 °.

Hệ thống tọa độ thế giới, mô hình và màn hình

Thế giới - hệ tọa độ chính trong đó tất cả các đối tượng của cảnh được thiết lập.

Mô hình là một hệ tọa độ trong đó cấu trúc bên trong của các đối tượng được xác định.

Màn hình - hệ tọa độ của người quan sát, nó còn được gọi là hệ tọa độ camera.

Mô hình thường được đặt trong hệ thống mô hình sao cho trọng tâm của hệ thống trùng với hình học hoặc khối tâm của mô hình, trục X trùng với hướng về phía trước, trục Y ở bên phải, và trục Z hướng lên.

Mô hình được xác định trong hệ tọa độ thế giới bằng tọa độ của tâm mô hình M (vectơ) và định hướng (hoặc bởi ba vectơ đơn vị hoặc bởi ba góc cuộn (X), cao độ (Y), tiêu đề (Z), ma trận là Hình thành như một chuỗi các phép quay). Để chuyển đổi từ tọa độ mô hình, trước tiên bạn phải xoay theo ma trận định hướng và sau đó dịch sang.

Tiêu đề cuộn quảng cáo chiêu hàng

Vị trí và hướng của máy ảnh có thể được đặt chính xác giống như vị trí của mô hình. Nhưng thông thường, chỉ cần hướng quan sát của máy ảnh là đủ. Thông thường (trong đời thực) máy ảnh không quay, ᴛ.ᴇ. trục X (ở bên phải) luôn nằm ngang và do đó mặt phẳng YZ luôn thẳng đứng.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, nếu chúng ta giả định rằng trục Z của máy ảnh (hướng xem) không thẳng đứng, thì chúng ta có thể tìm thấy trục X = Norm (Z´Up), trong đó Up (0,0,1) là trục tung vector (X sẽ vuông góc với vector thẳng đứng Up, có nghĩa là nó nằm ngang). Cuối cùng là trục Y = X´Z (lên). Đảm bảo rằng hệ thống vẫn ở bên trái.

Để chuyển đổi điểm từ hệ thống thế giới thành điểm màn hình, trước tiên cần áp dụng phép tịnh tiến và sau đó xoay bằng ma trận định hướng máy ảnh chuyển vị T.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, để chuyển một điểm từ tọa độ mô hình sang tọa độ màn hình, điều cực kỳ quan trọng là thực hiện phép biến đổi T sau đây. Sau khi biến đổi như vậy, trục Z sẽ được hướng dọc theo hướng xem và bạn có thể thực hiện phép chiếu.

Bài giảng 6-7-8

Phép biến hình trên mặt phẳng và trong không gian - khái niệm và các loại. Phân loại và đặc điểm của chuyên mục "Biến hình trên mặt phẳng và trong không gian" 2017, 2018.

Khi làm việc với các đối tượng ba chiều, thường phải thực hiện các phép biến đổi khác nhau liên quan đến chúng: di chuyển, xoay, nén, kéo giãn, xiên, v.v. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, các thuộc tính nhất định được bảo toàn sau khi áp dụng các phép biến đổi này.

Sự định nghĩa. Phép biến hình mặt phẳng được gọi là affine(từ tiếng Anh . sự giống nhau - quan hệ họ hàng), nếu

• nó là 1-1;
• hình ảnh của bất kỳ dòng nào là một dòng.

Sự biến đổi được gọi là một đối một, nếu

• những điểm khác nhau chuyển thành những điểm khác nhau;
• một điểm đi đến mỗi điểm.

Các tính chất của phép biến đổi affine trong không gian ba chiều:

• ánh xạ một vật thể n chiều sang một vật thể n chiều: điểm tới điểm, dòng này sang dòng, bề mặt này sang bề mặt khác;
• duy trì tính song song của đường thẳng và mặt phẳng;
• bảo toàn tỷ lệ của các đối tượng song song - độ dài của các đoạn trên đường thẳng song song và diện tích trên mặt phẳng song song.

Mọi phép biến đổi affine được cho bởi ma trận 3x3 với định thức khác 0 và vectơ tịnh tiến:

Hãy xem điều này dưới góc độ toán học. R là một ma trận của toán tử tuyến tính trên không gian vectơ ba chiều. Vectơ T cần thiết để thực hiện phép tịnh tiến song song: nếu chúng ta nhân (000) với bất kỳ ma trận 3x3 nào, chúng ta lại nhận được (000) - gốc của hệ tọa độ, liên quan đến phép biến đổi R, là một điểm cố định. Yêu cầu rằng định thức phải khác không được quy định bởi định nghĩa. Trên thực tế, nếu định thức của ma trận R bằng 0, thì toàn bộ không gian chuyển thành một mặt phẳng, một đường thẳng hoặc một điểm. Do đó, nó không tuân thủ tính duy nhất của nhau.

Trong thực tế, rất tiện lợi khi chỉ định một phép biến đổi affine bởi một ma trận duy nhất. Điều này sử dụng các tọa độ thuần nhất đã giới thiệu trong bài viết trước. Phép biến đổi affine sẽ được cho bởi ma trận 4x4 sau:

Lưu ý rằng ba giá trị đầu tiên của hàng cuối cùng là 0. Đây là cần thiết điều kiện rằng phép biến đổi là affine. Nói chung, một ma trận 4x4 tùy ý xác định một phép biến đổi xạ ảnh. Những biến đổi như vậy, như bạn có thể đoán từ tên, được sử dụng để chiếu một cảnh ba chiều. Điều này sẽ được đề cập chi tiết hơn trong một bài viết sau.

Hãy xem xét các trường hợp đặc biệt của phép biến đổi affine.

Ghi chú.Ở đây và những gì tiếp theo, chúng tôi sẽ sử dụng hệ tọa độ được giới thiệu như sau:

• quyền hệ tọa độ;
• trục z hướng vào người quan sát, vuông góc với mặt phẳng của màn;
• trục y nằm trong mặt phẳng của màn hình và hướng lên trên;
• trục x nằm trong mặt phẳng của màn hình và hướng về bên phải.

Chúng ta sẽ đi sâu vào vấn đề này chi tiết hơn khi xem xét đường ống hình học.

Ma trận chuyển đổi có dạng như sau:

Trong trường hợp này, ma trận R = E, ma trận nhận dạng.

Các phép biến đổi được thảo luận dưới đây chỉ ảnh hưởng đến ma trận R, vì vậy chỉ nó sẽ được chỉ ra.

Turn (xoay)

Nếu trên một mặt phẳng, các phép quay được thực hiện xung quanh một điểm nhất định, thì trong không gian ba chiều, các phép quay được thực hiện xung quanh một vectơ nhất định. Trước khi chuyển sang xây dựng ma trận quay quanh một vectơ tùy ý, chúng ta hãy xem xét các trường hợp đặc biệt của phép quay quanh các trục tọa độ.

Ghi chú. Xoay quanh một vectơ tùy ý không công bằng xoay quanh một đường có hướng tùy ý.

Lưu ý rằng khi quay quanh trục y, hoành độ của các điểm (tọa độ y) không thay đổi. Cũng cần lưu ý rằng tọa độ x và z của một điểm được chuyển đổi bất kể tọa độ y. Điều này có nghĩa là bất kỳ điểm p (x, y, z) sẽ đi đến điểm p ’(x’ (x, z), y, z ’(x, y)). Bây giờ chúng ta vẫn phải hiểu các tọa độ x và z được biến đổi như thế nào: trong mặt phẳng Oxz, đây sẽ là một chuyển động quay theo chiều kim đồng hồ xung quanh gốc tọa độ (vì x z y là bộ ba bên trái), tức là theo chiều âm. Ma trận của một phép biến đổi như vậy đã biết (xem Phép quay của mặt phẳng):

Ma trận chuyển đổi R y (φ y):

Xoay quanh trục x và z

Bằng cách lập luận tương tự, người ta có thể thu được ma trận của phép quay R x (φ x) và R z (φ z) xung quanh các trục x và z, tương ứng.

Đây là kết quả cuối cùng:

Dễ thấy rằng định thức của các ma trận R x, R y, R z đều bằng 1. Ngoài ra, ma trận quay R rot có tính chất trực giao: R T R = RR T = E. Từ đó, đến lượt nó, tuân theo một tính chất hữu ích mà sự nghịch đảo của ma trận xoay có thể được thay thế bằng phép chuyển vị: R -1 (φ) = R T (φ).

Chia tỷ lệ (bóp / kéo căng, phản chiếu)

Hệ số nén / mở rộng, bằng cách tương tự với không gian hai chiều, được xác định bởi các số hạng đường chéo của ma trận R:

Kết quả:

Sự kết hợp của các hệ số s x = -1, s y = 1, s z = 1 sẽ thiết lập phản xạ từ mặt phẳng Oyz (x = 0). Với s x = s y = s z = -1 ta thu được phép đối xứng tâm về gốc tọa độ.

Giải thích ma trận R

Hãy xem xét ma trận R là gì theo quan điểm của đại số tuyến tính. Nó chỉ ra rằng ma trận R chứa cơ sở của hệ tọa độ mới.

Thật vậy, ma trận

(R 11 R 12 R 13)

(R 21 R 22 R 33)

(R 31 R 32 R 33)

dịch các vectơ của cơ sở Descartes:

(100) → (R 11 R 21 R 31)

(010) → (R 12 R 22 R 32)

(001) → (R 13 R 23 R 33)

Bây giờ, thật dễ dàng để có được phép chuyển đổi góc xiên. Ví dụ:

Ghi chú. Nếu chúng ta bám vào thuật ngữ được chấp nhận chung, thì sự chuyển đổi trên được gọi là sự chuyển dịch. sự thay đổi (cắt) sẽ có bất kỳ phép biến đổi nào mà đường chéo chính của ma trận R là đơn vị. Nếu định thức của ma trận R bằng 0 thì phép biến đổi không phải là affine.

Các phép biến đổi affine phức tạp

Các phép biến đổi affine phức tạp có thể nhận được dưới dạng kết hợp của các phép biến đổi đơn giản (cơ bản). Trong trường hợp này, các phép biến đổi affine đơn giản có thể được chọn theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, xoay vòng có thể được coi là sự kết hợp của chia tỷ lệ và cắt. Tuy nhiên, để thuận tiện, chuyển động quay cũng được coi là một phép biến hình sơ cấp. Một phép quay xung quanh một vectơ tùy ý được biểu diễn dưới dạng tổ hợp các phép quay quanh các trục tọa độ. Điều này sẽ được thảo luận chi tiết trong bài viết tiếp theo.

5. CÁC BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC

Việc hiển thị một hình ảnh trên màn hình hiển thị và các hành động khác nhau với nó, bao gồm cả phân tích hình ảnh, đòi hỏi người dùng phải có kiến ​​thức hình học nhất định. Các khái niệm, công thức và dữ kiện hình học, chủ yếu liên quan đến mặt phẳng và trường hợp ba chiều, đóng một vai trò đặc biệt trong các bài toán đồ họa máy tính. Những cân nhắc, cách tiếp cận và ý tưởng về hình học, kết hợp với khả năng ngày càng mở rộng của công nghệ máy tính, là nguồn không ngừng tạo ra những tiến bộ quan trọng trong sự phát triển của đồ họa máy tính, sử dụng hiệu quả nó trong nghiên cứu khoa học và nghiên cứu khác. Đôi khi, ngay cả những kỹ thuật hình học đơn giản nhất cũng mang lại sự tiến bộ đáng chú ý ở từng giai đoạn giải quyết một vấn đề đồ họa lớn.

5.1. Các phép biến đổi trên mặt phẳng và trong không gian

Để giải quyết các vấn đề như chuyển động của các đối tượng và các bộ phận của chúng, điều khiển máy ảnh được sử dụng phép biến đổi affine(AP), hãy xem xét các thuộc tính chính của chúng:

1) các điểm nằm trên cùng một đường thẳng, sau khi biến đổi, nằm trên cùng một đường thẳng;

2) các đường thẳng cắt nhau vẫn cắt nhau, và các đường thẳng song song vẫn song song;

3) trong không gian AP, các mặt phẳng giao nhau vẫn cắt nhau, song song - song song và cắt nhau - cắt nhau;

4) AP bảo toàn tỉ số diện tích của hai hình vuông trong mặt phẳng và tỉ số thể tích của hai hình lập phương trong không gian.

Phép biến hình Affine trên mặt phẳng

Giả sử một hệ tọa độ tuyến tính được cho trên mặt phẳng. Sau đó, mỗi điểm M tương ứng với một cặp số có thứ tự (x, y) trong các tọa độ của nó (Hình 5.1). Giới thiệu một hệ tọa độ tuyến tính khác trên mặt phẳng, ta liên kết điểm M với một cặp số khác - (x *, y *).

Sự chuyển đổi từ một hệ tọa độ trực tuyến trong mặt phẳng này sang một hệ tọa độ khác được mô tả bởi các quan hệ sau:

x * = α x + β y + λ,

y * = γ x + δ y + µ,

trong đó α, β, λ, γ, µ, δ là các số tùy ý liên quan đến bất đẳng thức

α β ≠ 0.

γ δ

Công thức (1) có thể được xem xét theo hai cách: hoặc điểm được lưu và hệ tọa độ thay đổi (Hình 5.2) (trong trường hợp này, một điểm M tùy ý vẫn giữ nguyên, chỉ có tọa độ của nó thay đổi), hoặc điểm thay đổi và hệ tọa độ được lưu (Hình 5.3) (trong trường hợp này, công thức (1) xác định ánh xạ biến một điểm tùy ý M (x, y) thành điểm M * (x *, y *), tọa độ của nó được xác định trong cùng một hệ tọa độ).

Cơm. 5.1. Ban đầu				Cơm. 5.2. Đã biến đổi						Cơm. 5.3. Đã biến đổi
hệ tọa độ						chỉ

TẠI Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét công thức (1) như một quy tắc, theo đó các điểm của mặt phẳng được biến đổi trong một hệ tọa độ tuyến tính nhất định.

TẠI Trong các phép biến đổi affine của mặt phẳng, một số trường hợp đặc biệt quan trọng có các đặc trưng hình học được xác định rõ có một vai trò đặc biệt. Khi nghiên cứu ý nghĩa hình học của các hệ số trong công thức (1) đối với những trường hợp này, có thể thuận tiện khi cho rằng hệ tọa độ đã cho là một hệ Descartes hình chữ nhật.

1. Xoay quanh điểm bắt đầu một gócϕ được mô tả bằng các công thức

x * = x cosϕ - y sinϕ,

y * = x sinϕ + y cosϕ.

2. Kéo dài (nén) dọc theo các trục tọa độ có thể được thiết lập như sau:

x * = α x, y * = δ y, α> 0, δ> 0.

Lực căng dọc theo trục abscissa được cung cấp với điều kiện α> 1 và độ nén - ở 0