Các Tích Vectơ Trong Không Gian R3 - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.ppt) (28 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Cao đẳng - Đại học

các tích vectơ trong không gian r3

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.13 KB, 28 trang )

Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3CHƯƠNG 6:CHƯƠNG 6:CÁC TÍCH VECTƠ TRONG CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN RKHÔNG GIAN R33Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R31. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ – CÁC VUÔNG GÓC* Các trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và tạo thành một tam diện thuận (Khi một người đứng theo hướng dương trục Oz chân tại O, nhìn góc xoay hướng dương trục Ox đến hướng dương trục Oy là ngược chiều kim đồng hồ).xyzO* Các vectơ đơn vị chỉ hướng dương của các trục tương ứng là:kji,,Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R31. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ – CÁC VUÔNG GÓC (tt)* Trong không gian R3 lấy hai điểm M1(x1, y1, z1) và M2(x2, y2, z2), ta có vectơ từ điểm M1 đến M2 là:* Khoảng cách giữa M1 và M2 bằng độ dài của vectơ M1M2212212212211)z(z)y(y)x(xMM)M,d(M2−+−+−==),,()()()(12121212121221zzyyxxkzzjyyixxMM−−−=−+−+−=Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3Với ϕ là góc hợp giữa hai vectơ và (0 ≤ ϕ ≤ π).Ta có các bất đẳng thức sau:Ở đây: 332211bababa.cosb.ab)(a,++==ϕ* Trong không gian R3, lấy hai vectơ a = (a1, a2, a2) và b = (b1, b2, b3). Tích vô hướng của 2 vectơ a và b là một số và được ký hiệu là: (a, b)+ Bất đẳng thức Cauchy – Shwarz: .b.ab)(a, ≤+ Bất đẳng thức tam giác: .bab)(a +≤+2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ bToán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R33. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ a VÀ bVectơ này được xác định như sau:* Có độ dài bằng * Trong không gian R3, lấy hai vectơ a = (a1, a2, a2) và b = (b1, b2, b3). Tích có hướng của 2 vectơ a và b là 1 vectơ và được ký hiệu là: a × bϕsin ba* Có phương vuông góc với mặt phẳng chứa a và b (ϕ là góc hợp giữa 2 vectơ a và b )* Có hướng sao cho ba vectơ a , b và a × b tạo thành một tam diện thuận. Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R33. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ VÀ (tt)abChú ý: bằng diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ đóabba×−=×*)()()( bababaααα×=×=×*bxa**),,(122131132332babababababa−−−=*321321bbbaaakjiba=×Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R33. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ VÀ (tt)abChú ý (tt):*cabacba×+×=+× )( Ví dụ 1: Trong không gian R3 cho ba điểm A(1,–1,2), B(–1,0,3) và C(0,2,1). Tính diện tích của tam giác ABC.*baba⇔=×0 tỷ lệ. và Ta có:)5,3,4()1,3,1()1,1,2(−−−=×−−=−=ACABACABToán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R33. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ VÀ (tt)Ta có:2504sin821)(821)23()2(21=×××=×××=+×−×=πbabababaSNhận xét: là diện tích của hình bình hành dựng trên hai vectơ AB và AC . ACAB ×Ví dụ 2: Trong không gian R3, lấy hai vectơ và . Biết và góc giữa hai vectơ và là . Tính diện tích của tam giác có cạnh là các vectơ ab5==baab4πba23 vàb2-a +ab502121=×=∆ACABSABCDo đó:Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R33. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA 2 VECTƠ VÀ (tt)Ví dụ 3: Tính diện tích của tam giác và đường cao BD của tam giác ABC. Trong đó A(1,–1,2), B(5,–6,2), C(1,3,– 1).Ta có:Vậy:Cạnh AC của tam giác có độ dài là ⇒ Đường cao BD của ∆ABC là 5.)16,12,15()3,4,0()0,5,4(=×−=−=ACABACAB22521=×=∆ACABSABC5=ACabToán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R34. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠc,b,aTính chất: *321321321),,(cccbbbaaacba =*cba,,⇔=0),,( cbacùng phẳng. * Trong không gian R3 cho ba vectơ a = (a1, a2, a2), b = (b1, b2, b3) và c = (c1, c2, c3) . Tích hổn hợp của 3 vectơ a, b, c là 1 số và được ký hiệu là: (a, b, c) Thể tích của hình hộp dựng trên 3 vectơ a, b, c *=),,( cbaToán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R34. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ (tt) Tính chất (tt): *),,(),,( cabcba−=*),,(),,(),,( dcbdcadcbaβαβα+=+Ví dụ 1: Chứng minh rằng 4 điểm A(1,2,-1), B(0,1,5), C(-1,2,1) và D(2,3,1) cùng nằm trên một mặt phẳng. * Thể tích của tứ diện ABCD bằng 1/6 thể tích của hình hộp dựng trên 3 vectơ AB, AC, AD Ta có:)4,1,1()2,0,2()6,1,1(−=−=−−=ADACABc,b,aToán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R34. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ (tt)Ví dụ 1 (tt):Nhận xét:Ví dụ 2: Tính thể tích của tứ diện ABCD với các đỉnh là A(2,-3,5), B(0,2,1), C(-2,-2,3) và D(3,2,4). Ta có:0411202611),,( =−−−−=ADACABVậy ADACAB ,, thuộc cùng một mặt phẳng. Tức là 4điểm A, B, C, D cùng nằm trên một mặt phẳng. )1,5,1()2,1,4()4,5,2(−=−=−=ADACABc,b,aToán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R34. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ (tt )Ví dụ 2 (tt):Thể tích của hình hộp dựng trên ba vectơ này là:Mà thể tích của tứ diện ABCD là bằng 1/6 thể tích hình hộp dựng trên 3 vectơ nên thể tích của tứ diện ABCD bằng 6.Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD với các đỉnh là A(1,1,1), B(2,0,2), C(2,2,2) và D(3,4,-3). Tính chiều cao hạ từ đỉnh D của tứ diện. Ta có:36),,(==ADACABV)4,3,2()1,1,1()1,1,1(−==−=ADACABc,b,aToán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R34. TÍCH HỖN HỢP CỦA 3 VECTƠ (tt)Do thể tích tứ diện ABCD = diện tích đáy x đường cao31⇒ Đường cao hạ từ đỉnh D là:23223SV3hABC=×=×=∆Ví dụ 3 (tt):Nhận xét thể tích tứ diện ABCD 2),,(61== ADACAB2)2,0,2(2121=−=×=∆ACABSABCc,b,aToán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R35. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGa/ Đường thẳng:Cho ∆ là đường thẳng đi qua điểm M0(x0,y0,z0) và song song với vectơ ),,( pnmv=VậypzznyymxxΔM000−=−=−⇔∈Nếu ký hiệu các tỷ số trên là t, ta được phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: +=+=+=ptzzntyymtxx000Vậy ∆ sẽ bao gồm tất cả các điểm M(x,y,z) sao cho vMM//0Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R35. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGa/ Đường thẳng (tt):Khoảng cách từ điểm P đến đường thẳng ∆ được tính bởi công thức: Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm P(2,1,3) đến đường thẳng ∆:z42y51x=+=−Ta có:)0,2,1(),1,4,5(0−= MvVậyvvPMd0×=(1,3,3)M=P0Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R35. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGa/ Đường thẳng (tt):b/ Mặt phẳng:. )11,14,9(145331M0−−==×kjivP222222014511149++++=×=⇒vvPMdCho P là mặt phẳng qua điểm M0(x0,y0,z0) và vuông góc với vectơ n =(A, B, C). n =(A, B, C). Khi đó mặt phẳng P sẽ bao gồm tất cả các điểm M(x,y,z) có tính chất MM00M n M n Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R35. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGb/ Mặt phẳng (tt):M0(x0,y0,z0)M(x,y,z)⇔ A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng P được viết ở dạng: Ax + By + Cz + D = 0.nMM⊥0Trong đó: n= (A, B, C) là pháp vectơ của mặt phẳng. Khoảng cách từ điểm M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và được tính bởi công thức sau: sau:Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R35. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGb/ Mặt phẳng (tt):Ví dụ 1: Tìm phương trình của mặt phẳng đi qua M(2,3,0) và song song với mặt phẳng 5x – 3y – z – 4 = 0. Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 5(x – 2) – 3(y – 3) – 1(z – 0) = 0222000CBAD Cz By Axd+++++=Nhận xét: Pháp vectơ của mặt phẳng cần tìm cũng là pháp vectơ của mặt phẳng 5x – 3y – z – 4 = 0, tức là n = (5,-3,-1) hay là 5x – 3y – z – 1 = 0.Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R35. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGb/ Mặt phẳng (tt):Tìm tọa độ của H là chân đường vuông góc hạ từ gốc O xuống (d).Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc O và vuông góc với (d). Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là ⇒ Phương trình của (P) là: 2x + 3y + z = 0. Ví dụ 2: Cho đường thẳng (d): 13z31y22x−=−=−)1,3,2(=nToán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R35. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNGb/ Mặt phẳng (tt):Ví dụ 2 (tt):⇒ 2(2 + 2t) + 3(1 + 3t) + (3 + t) = 0 ⇒ t = 75−Vậy −716,78,74HPhương trình tham số của đường thẳng là:+=+=+=t3zt31yt22xMà H chính là giao điểm của (P) và (d) Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3BÀI TẬP CHƯƠNG 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3)2()2(;Tính bababa+×+×3π, góc giữa 2 vectơ là Bài 3:Cho tứ diện ABCD, trong đó A(1,0,2), B(3,-2,2), C(4,2,6) và D(3,5,-2). Tính thể tích của tứ diện.Bài 1: Cho a = (1,2,1), b = (2,3,5). Tìm a × b Bài 2: Trong không gian R3, cho hai vectơ a và b. Biết rằng2,1==baToán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3BÀI TẬP CHƯƠNG 6 (tt)Bài 5:Cho điểm A(1,2,4). Từ điểm A hạ các đường vuông góc với các mặt tọa độ. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua chân các đường vuông góc nói trên.Bài 6:Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A(1,7,-5) và cắt các trục tọa độ (Phần dương) theo các đoạn chắn bằng nhau. Bài 4:Tìm đỉnh thứ tư của tứ diện ABCD nếu biết A(-1,10,0), B(0,5,2), C(6,32,2), V = 29 và D nằm trên trục Oy.Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪNBài 2:3=×ba33)2()2(=+×+babaHướng dẫn: )(3)2()2( bababa×=+×+Bài 3: Thể tích tứ diện V = 16 Hướng dẫn: Bài 1: a × b = (7, -3, -1)Ở đây ta sử dụng tính chất (2a × a ) = 0 vì 2a và a tỷ lệ và tính chất ( (a a × b) = -(b × b) = -(b × a)× a)16452423022det61)AD,AC,AB(61V =−−==Toán 2 Chương 6: CÁC TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN R3PHẦN ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪNBài 4:Đỉnh thứ tư của tứ diện là D(0,0,0) hoặc D(0,29,0). Hướng dẫn: D nằm trên Oy nên có tọa độ là D(0,m,0). Ta có: ⇒ m = 0 hoặc m = 29.)0,10,1()2,22,7()2,5,1(−==−=mADACABMà161741261),,(61=−==mADACABV

Tài liệu liên quan

• Hình học giải tích: Vecto trong không gian
  • 3
  • 1
  • 30
• Chương III - Bài 1: Vectơ trong không gian
  • 12
  • 840
  • 9
• Chương III - Bài 1: Vectơ trong không gian
  • 9
  • 542
  • 5
• Chương III - Bài 1: Vectơ trong không gian
  • 5
  • 1
  • 11
• Chuyên đề Véctơ trong không gian
  • 26
  • 953
  • 9
• Chương III - Bài 1: Vectơ trong không gian
  • 22
  • 837
  • 3
• Vecto trong không gian
  • 13
  • 508
  • 0
• Vectơ trong không gian
  • 45
  • 456
  • 0
• Chủ đề: Vecto trong không gian. Sự đồng phẳng của các vecto (Hình học 11 - Chương III)
  • 28
  • 1
  • 6
• bai tap vecto trong khong gian
  • 3
  • 794
  • 13

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(1.36 MB - 28 trang) - các tích vectơ trong không gian r3 Tải bản đầy đủ ngay ×