Không Gian Vectơ – Wikipedia Tiếng Việt

Đừng nhầm lẫn với trường vector.

Cấu trúc đại số
Giống với Nhóm Nhóm Nửa nhóm Tựa nhóm và vòng Monoid Groupoid Magma Rack và quandle Nhóm Abel Nhóm Lie Lý thuyết nhóm
Giống với Vành Vành Nửa vành Gần-vành Vành giao hoán Miền Miền nguyên Trường Vành chia Lý thuyết vành
Giống với Dàn Dàn Nửa dàn Dàn bù Thứ tự toàn phần Đại số Heyting Đại số Boole Ánh xạ dàn Lý thuyết dàn
Giống với Mô đun Mô đun Nhóm toán tử Không gian vectơ Đại số tuyến tính
Giống với Đại số Đại số trên một trường Đại số kết hợp Đại số không kết hợp Đại số Lie Vành phân bậc Bialgebra
x t s

Trong toán học, không gian vectơ (hay còn gọi là không gian tuyến tính) là một tập hợp của các đại lượng gọi là vectơ, một đại lượng có thể cộng và nhân bởi một số, được gọi là vô hướng. Vô hướng thường được lấy là số thực, nhưng cũng có các không gian vectơ với nhân vô hướng là số phức hoặc số ảo, hoặc tổng quát hơn là một trường bất kì. Toán tử cộng và nhân vô hướng phải thỏa mãn các điều kiện nhất định gọi là tiên đề, được liệt kê bên dưới. Để phân loại vô hướng là thực hay phức, ta thường dùng thuật ngữ không gian vectơ thực hoặc không gian vectơ phức.

Không gian Euclid là một ví dụ của không gian vectơ. Chúng đại diện cho các đại lượng vô hướng như là lực: Mọi lực (cùng loại) có thể cộng với nhau để thu được lực thứ 3, và phép nhân vectơ lực với một số thực có thể thu được một vectơ lực. Cùng với đó, nhưng theo một cách hình học hơn, vectơ đại diện cho sự thay thế của mặt phẳng trong mặt phẳng hoặc trong không gian 3 chiều cũng từ không gian vectơ. vectơ trong không gian vectơ không cần thiết phải có một đại lượng dạng mũi tên như trong ví dụ của nó: vectơ được coi như là một đại lượng toán học với các tính chất cụ thể, đôi khi có thể mô tả một cách trực quan bằng một mũi tên.

Không gian vectơ là một phần trong đại số tuyến tính được quy định bởi số chiều của nó, nói một cách đại khái là số lượng các hướng độc lập trong không gian. Không gian vectơ vô hạn chiều xuất hiện tự nhiên trong toán phân tich, như là một không gian hàm, trong đó vectơ chính là các hàm. Những vectơ này được tổng quát với cấu trúc cộng thêm, được gọi là topology, cho phép xem xét các lỗi của tính địa phương và tính liên tục. topology được định nghĩa bởi norm hoặc tích vô hướng, được hiểu là có kí hiệu khoảng cách giữa các vectơ. Đây là trường hợp cụ thể của không gian Banach và không gian Hilbert, chúng là những khái niệm cơ bản trong toán học phân tích.

Các không gian vectơ quen thuộc là không gian Euclid hai chiều và ba chiều. Các vectơ trong các không gian này là các cặp số thực hay các bộ 3 số thực, có trật tự, và thường được biểu diễn như là một vectơ hình học với độ lớn và phương hướng.

Định nghĩa

[sửa | sửa mã nguồn]

Một vectơ được định nghĩa qua trường F là một tập V cùng với 2 toán tử thỏa mãn 8 tiên đề dưới đây. Theo đó, V × V kí hiệu cho phép nhân Cartesian của V với chính nó, và → kí hiệu cho một ánh xạ từ một nhóm đến một nhóm khác

• Toán tử đầu tiên, được gọi là phép cộng vectơ hoặc đơn giản là phép cộng +: V × V → V, lấy 2 vectơ bất kì v và w và đánh dấu một vectơ thứ 3 được viết là v + w, được gọi là tổng của các vectơ.
• Toán tử thứ 2 được gọi là phép nhân vô hướng: F × V → V, lấy một vô hướng a bất kì và một vectơ v, cho ta một vectơ khác av

1. Phép cộng vectơ có tính kết hợp:

   Với mọi u, v, w ∈ {\displaystyle \in } V, ta có u + (v + w) = (u + v) + w.

2. Phép cộng vectơ có tính giao hoán:

   Với mọi v, w ∈ {\displaystyle \in } V, ta có v + w = w + v.

3. Phép cộng vectơ có phần tử trung hòa:

   Có một phần tử 0 ∈ {\displaystyle \in } V, gọi là vectơ không, sao cho v + 0 = v với mọi v ∈ {\displaystyle \in } V.

4. Phép cộng vectơ có phần tử đối:

   Với mọi v ∈ V, có một phần tử w ∈ {\displaystyle \in } V, gọi là phần ngược của v, sao cho v + w = 0.

5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vectơ:

   Với mọi a ∈ {\displaystyle \in } F và v, w ∈ {\displaystyle \in } V, ta có a (v + w) = a v + a w.

6. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vô hướng:

   Với mọi a, b ∈ {\displaystyle \in } F và v ∈ {\displaystyle \in } V, ta có (a + b) v = a v + b v.

7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô hướng:

   Với mọi a, b ∈ {\displaystyle \in } F và v ∈ {\displaystyle \in } V, ta có a (b v) = (ab) v.

8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: Với mọi v ∈ {\displaystyle \in } V, ta có 1 v = v, 1 ký hiệu đơn vị của phép nhân trong F.
9. Với mọi x; y ∈ {\displaystyle \in } V, ta có x + y ∈ {\displaystyle \in } V
10. Với mọi x ∈ {\displaystyle \in } V và a ∈ {\displaystyle \in } V, ta có a.x ∈ {\displaystyle \in } V

Một cách chính xác, những tiên đề trên là cho một module, do vậy không gian vectơ có thể được mô tả ngắn gọn là một "module trên một trường". Một không gian vectơ chỉ là một trường hợp đặc biệt của một module.

Để ý rằng trong định đề thứ 7, nói rằng a (b v) = (ab) v, là không phải khẳng định về tính kết hợp của một toán tử, bởi vì có hai toán tử đang nói đến, nhân vô hướng: b v; và nhân trên trường số: ab.

Có người cho thêm hai tính chất đóng trong định nghĩa của không gian vectơ:

1. V đóng dưới phép cộng vectơ:

   Nếu u, v ∈ {\displaystyle \in } V, thì u + v ∈ {\displaystyle \in } V.

2. V đóng dưới phép nhân vô hướng:

   Nếu a ∈ {\displaystyle \in } F, v ∈ {\displaystyle \in } V, thì a v ∈ {\displaystyle \in } V.

Tuy nhiên, nếu hiểu phép toán là ánh xạ trên miền V thì không cần thêm các tiên đề tính chất đóng trong định nghĩa không gian vectơ.

Ví dụ

[sửa | sửa mã nguồn]

Không gian tọa độ

ví dụ đơn giản nhất của một không gian vectơ thông qua trường F chính là chính nó, kết hợp với tính chất cộng và nhân của nó. Một cách tổng quát hơn, tất cả chuỗi dài n:

(a1, a2,..., an)

của tất cả các phần tử của F cấu tạo nên một không gian vectơ thường được kí hiệu bởi Fn được gọi là không gian tọa độ.

Số phức và các trường mở rộng

Tập hợp các số phức C, chính là, một số có thể viết dưới dạng x+iy cho mọi số thực x và y trong đó i là đơn vị ảo, cấu thành nên một không gian vectơ thông qua số thực với phép cộng và nhân thông thường

(x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) và c ⋅ (x + iy) = (c ⋅ x) + i(c ⋅ y) cho mọi số x,y,a,b và c

Xem thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

• Vectơ (toán học và vật lý)
• Không gian con
• Đại số tuyến tính
• Không gian metric
• Không gian định chuẩn

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1
• Blass, Andreas (1984), “Existence of bases implies the axiom of choice”, Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983), Contemporary Mathematics, 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, tr. 31–33, MR 0763890
• Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5
• Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
• Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (ấn bản thứ 3), tr. 193–222, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8
• Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 135 (ấn bản thứ 2), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-24766-3
• Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups, CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5
• van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (bằng tiếng Đức) (ấn bản thứ 9), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56799-8

• Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-41129-1

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn] Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Không gian vectơ.

• Không gian vectơ Lưu trữ 2016-09-19 tại Wayback Machine trên Từ điển bách khoa Việt Nam

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng | Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê

Tiêu đề chuẩn	BNF: cb11947083w (data) GND: 4130622-3 LCCN: sh85142456 NKC: ph156663

x t s Các chủ đề trong Đại số tuyến tính
Khái niệm cơ bản	Vô hướng Vectơ Không gian vectơ Phép nhân vô hướng Chiếu vectơ Hệ sinh Ánh xạ tuyến tính Phép chiếu tuyến tính Độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Cơ sở Chuyển cơ sở Vectơ hàng và cột Không gian hàng và cột Hạt nhân Giá trị riêng và vectơ riêng Ma trận chuyển vị Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận	Khối Phân rã Nghịch đảo Định thức con Tích Hạng Biến đổi Quy tắc Cramer Phép khử Gauss
Song tuyến tính	Trực giao Tích vô hướng Không gian tích trong Tích ngoài Quá trình Gram–Schmidt
Đại số đa tuyến tính	Định thức Tích vectơ Tích ba Tích vectơ 7 chiều Đại số hình học Đại số ngoài Song vectơ Đa vectơ Tenxơ Cấu xạ ngoài
Xây dựng không gian vectơ	Không gian đối ngẫu Tổng trực tiếp Không gian hàm Thương Không gian con Tích tenxơ
Đại số tuyến tính số	Floating-point Bình phương tối thiểu tuyến tính Ổn định số Basic Linear Algebra Subprograms Ma trận thưa Comparison of linear algebra libraries
Thể loại Mục lục Chủ đề Toán học Wikibook Wikiversity

x t s Các chủ đề chính trong đại số
Các lĩnh vực chính	Đại số trừu tượng Lý thuyết phạm trù Đại số sơ cấp Lý thuyết K Đại số giao hoán Không giao hoán Lý thuyết thứ tự Đại số phổ dụng
Các cấu trúc đại số	Nhóm (Lý thuyết) Vành (Lý thuyết) Module (Lý thuyết) Trường Vành đa thức (Đa thức, Phương trình) Lý thuyết số đại số
Đại số tuyến tính	Ma trận (lý thuyết) Không gian vectơ (Vector) Mô-đun Inner product space (Tích vô hướng) Không gian Hilbert
Đại số đa tuyến	Đại số Tensor algebra Exterior algebra Đại số đối xứng Hình học đại số (Vectơ đa chiều)
Danh sách chủ đề	Đại số trừu tượng Cấu trúc đại số Lý thuyết nhóm Đại số tuyến tính
Thuật ngữ	Đại số tuyến tính Lý thuyết trường Lý thuyết vành Lý thuyết thứ tự
Thể loại Chủ đề Wikibooks Sơ cấp Tuyến tính Trừu tượng Wikiversity Tuyến tính Trừu tượng

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s